.jpg)
正确率60.0%双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$的左右焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过点$${{F}_{2}}$$的直线$${{l}}$$与右支交于点$${{P}{，}{Q}}$$，若$$| P F_{1} |=| P Q |$$，则$${{|}{P}{{F}_{2}}{|}}$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{0}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '向量的数量积的定义'， '双曲线的定义']正确率19.999999999999996%设点$${{A}{，}{B}}$$分别为双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点，点$${{M}{，}{N}}$$分别在双曲线$${{C}}$$的左、右支上，若$$\overrightarrow{M N}=5 \overrightarrow{A M}， \overrightarrow{M B}^{2}=\overrightarrow{M N} \cdot\overrightarrow{M B}$$，且$$| \overrightarrow{M B} | < | \overrightarrow{N B} |$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{6 5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{8 5}} {5}$$
C.$$\frac{1 3} {5}$$
D.$$\frac{1 7} {7}$$
3、['双曲线的定义']正确率60.0%若双曲线$$\frac{y^{2}} {2}-\frac{x^{2}} {m}=1 ( m > 0 )$$的焦点与椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {9}=1$$的焦点重合，则$${{m}}$$的值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
4、['双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率60.0%若点$${{P}}$$在双曲线$${{C}_{1}}$$：$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$上，点$${{Q}}$$在圆$${{C}_{2}}$$：$$( x-5 )^{2}+y^{2}=1$$上，点$${{R}}$$在圆$${{C}_{3}}$$：$$( x+5 )^{2}+y^{2}=1$$上，则$$| P Q |-| P R |$$的最大值是（）
B
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{1}{2}}$$
5、['双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义'， '直线与双曲线的交点个数']正确率60.0%设双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}，$$过$${{F}_{1}}$$的直线与双曲线的左支交于点$${{A}{，}}$$与双曲线的渐近线在第一象限内交于点$${{B}{，}}$$若$$B F_{1} \perp B F_{2}，$$则$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$的周长为（）
C
A.$${{4}{\sqrt {3}}{+}{2}}$$
B.$${{4}{\sqrt {3}}{−}{2}}$$
C.$${{4}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}{−}{2}{\sqrt {3}}}$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率60.0%$${{M}}$$为双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \; ( a > 0， b > 0 )$$右支上一点，$${{A}{、}{F}}$$分别为双曲线的左顶点和右焦点，且$${{Δ}{M}{A}{F}}$$为等边三角形，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\sqrt{5}-1$$
D.$${{6}}$$
7、['椭圆的定义'， '椭圆的其他性质'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的定义']正确率40.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {m^{2}}+y^{2}=1 \ ( m > 1 )$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {n^{2}}-y^{2}=1 \ ( \ n > 0 )$$有公共焦点$$F_{1} \ ( \ {\bf\tau}-{\bf\tau}， \ 0 ) \， \ F_{2} \ ( \ {\bf\tau} c， \ 0 ) \， \ P$$是它们的一个交点，则以下判断正确的个数是（）
$$\oplus m^{2}+n^{2}=2 c^{2}$$
$$\oplus\， m^{2}-n^{2}=2$$
$$\oplus\angle F_{1} P F_{2}=9 0^{\circ}$$
$$\oplus\bigtriangleup F_{1} P F_{2}$$的面积为$${{1}}$$．
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
9、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$C \colon\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的左，右焦点，点$${{P}}$$在双曲线上，且$$| P F_{1} |=\lambda| P F_{2} |$$，则下列结论正确的是（）
C
A.若$$\lambda=\frac{1} {7}，$$则双曲线离心率的取值范围为$$[ \frac{1 0} {3}， ~+\infty)$$
B.若$$\lambda=\frac{1} {7}，$$则双曲线离心率的取值范围为$$( 1， ~ \frac{1 0} {3} ]$$
C.若$${{λ}{=}{7}{，}}$$则双曲线离心率的取值范围为$$( 1， ~ \frac{4} {3} ]$$
D.若$${{λ}{=}{7}{，}}$$则双曲线离心率的取值范围为$$[ \frac{4} {3}， ~+\infty)$$
10、['必要不充分条件'， '充分、必要条件的判定'， '双曲线的定义']正确率60.0%平面内有定点$${{A}{、}{B}}$$及动点$${{P}}$$，设命题$$M \colon\，^{\iota} | | P A |-| P B | |$$为定值$${{”}}$$，命题$${{N}{：}{“}{P}}$$点的轨迹是以$${{A}{、}{B}}$$为焦点的双曲线$${{”}}$$，则（）
A
A.$${{M}}$$是$${{N}}$$的必要不充分条件
B.$${{M}}$$是$${{N}}$$的充分不必要条件
C.$${{M}}$$是$${{N}}$$的充要条件
D.$${{M}}$$是$${{N}}$$的既不充分也不必要条件
1. 对于双曲线 $$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$$，其左右焦点为 $$F_1(-2,0)$$ 和 $$F_2(2,0)$$。设直线 $$l$$ 过 $$F_2$$ 并与右支交于点 $$P$$ 和 $$Q$$。由双曲线性质，$$|PF_1| - |PF_2| = 2a = 2$$。题目给出 $$|PF_1| = |PQ|$$，即 $$|PF_2| + 2 = |PF_2| + |F_2Q|$$，因此 $$|F_2Q| = 2$$。由于 $$Q$$ 在双曲线上，$$|QF_1| - |QF_2| = 2$$，所以 $$|QF_1| = 4$$。由 $$|PF_1| = |PQ| = |PF_2| + 2$$，代入得 $$|PF_2| = 6$$。答案为 $$\boxed{B}$$。
2. 设双曲线 $$C$$ 的离心率为 $$e$$，由题意 $$\overrightarrow{MN}=5\overrightarrow{AM}$$，说明 $$MN$$ 是 $$AM$$ 的 5 倍。根据向量条件 $$\overrightarrow{MB}^2 = \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MB}$$，可得 $$\overrightarrow{MB}$$ 与 $$\overrightarrow{MN}$$ 同向且 $$|MB| = \frac{|MN|}{5}$$。结合双曲线性质，推导得 $$e = \frac{\sqrt{85}}{5}$$。答案为 $$\boxed{B}$$。
3. 椭圆 $$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$$ 的焦点在 $$(0, \pm \sqrt{5})$$。双曲线 $$\frac{y^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{m}=1$$ 的焦点为 $$(0, \pm \sqrt{2 + m})$$。由焦点重合，$$\sqrt{2 + m} = \sqrt{5}$$，解得 $$m = 3$$。答案为 $$\boxed{B}$$。
4. 双曲线 $$C_1$$ 的焦点为 $$(\pm 5, 0)$$，与圆 $$C_2$$ 和 $$C_3$$ 的圆心重合。$$|PQ| - |PR|$$ 的最大值等于双曲线的顶点到圆的距离加上双曲线的参数。计算得最大值为 $$8 + 2 = 10$$。答案为 $$\boxed{B}$$。
5. 双曲线 $$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$$ 的渐近线为 $$y = \pm \sqrt{3}x$$。设 $$B$$ 在第一象限，由 $$BF_1 \perp BF_2$$，可得 $$B$$ 的坐标为 $$(1, \sqrt{3})$$。计算 $$|AB| + |BF_2| + |AF_2|$$ 得周长为 $$4 + 2\sqrt{3}$$。答案为 $$\boxed{C}$$。
6. 双曲线 $$C$$ 的右焦点为 $$(c, 0)$$，左顶点为 $$(-a, 0)$$。若 $$\triangle MAF$$ 为等边三角形，则 $$M$$ 的坐标为 $$(c, \sqrt{3}(c + a))$$。代入双曲线方程并化简得离心率 $$e = 4$$。答案为 $$\boxed{A}$$。
7. 椭圆与双曲线有公共焦点 $$F_1$$ 和 $$F_2$$，设 $$c = \sqrt{m^2 - 1} = \sqrt{n^2 + 1}$$，因此 $$m^2 - n^2 = 2$$。由椭圆和双曲线的性质，推导得 $$\angle F_1PF_2 = 90^\circ$$ 且面积为 1。故四个结论中有 3 个正确。答案为 $$\boxed{C}$$。
9. 对于双曲线 $$C$$，若 $$|PF_1| = \lambda |PF_2|$$，则离心率 $$e$$ 的范围需满足 $$\lambda \in (1, e + 1)$$ 或 $$\lambda \in (e - 1, 1)$$。当 $$\lambda = \frac{1}{7}$$ 时，$$e \in (1, \frac{10}{3}]$$；当 $$\lambda = 7$$ 时，$$e \in [\frac{4}{3}, +\infty)$$。答案为 $$\boxed{B}$$ 和 $$\boxed{D}$$。
10. 命题 $$M$$ 表示 $$|PA| - |PB|$$ 为定值，命题 $$N$$ 表示 $$P$$ 的轨迹是双曲线。$$M$$ 是 $$N$$ 的必要不充分条件，因为双曲线上的点满足 $$M$$，但满足 $$M$$ 的点不一定在双曲线上（如直线上的点）。答案为 $$\boxed{A}$$。