双曲线的定义-3.2 双曲线知识点月考进阶自测题解析-河南省等高一数学选择必修,平均正确率44.00000000000001%

1. 已知点 $$P$$ 是双曲线 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0, b>0)$$ 左支上的一点，$$F_{1}, F_{2}$$ 分别是双曲线的左、右焦点，$$\angle P F_{1} F_{2}=\alpha, \angle P F_{2} F_{1}=\beta$$，双曲线离心率为 $$e$$，则 $$\frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta}{2}}=$$（ ）。

解：在三角形 $$PF_{1}F_{2}$$ 中，由正弦定理得：$$\frac{|PF_{2}|}{\sin \alpha} = \frac{|PF_{1}|}{\sin \beta} = \frac{|F_{1}F_{2}|}{\sin (\alpha+\beta)}$$。

根据双曲线定义，点 $$P$$ 在左支，有 $$|PF_{2}| - |PF_{1}| = 2a$$，焦距 $$|F_{1}F_{2}| = 2c$$。

由半角公式，$$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}$$，$$\tan \frac{\beta}{2} = \frac{\sin \beta}{1+\cos \beta}$$。

由正弦定理比例关系可得：$$\frac{|PF_{2}|}{|PF_{1}|} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$$。

结合双曲线定义和余弦定理，经过推导可得：$$\frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta}{2}} = \frac{|PF_{2}| - |F_{1}F_{2}|}{|PF_{1}| - |F_{1}F_{2}|}$$。

代入 $$|PF_{2}| = |PF_{1}| + 2a$$ 和 $$|F_{1}F_{2}| = 2c$$，化简得：$$\frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta}{2}} = \frac{(|PF_{1}|+2a) - 2c}{|PF_{1}| - 2c}$$。

由于点 $$P$$ 在左支，$$|PF_{1}|$$ 可趋向于 $$c-a$$（接近左顶点），代入极限值得：$$\frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta}{2}} = \frac{(c-a+2a)-2c}{(c-a)-2c} = \frac{c+a-2c}{c-a-2c} = \frac{a-c}{-a-c} = \frac{c-a}{a+c}$$。

由离心率 $$e = \frac{c}{a}$$，得 $$\frac{c-a}{a+c} = \frac{e-1}{e+1}$$。

故选 A。

2. 双曲线 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0, b>0)$$ 的左、右焦点分别为 $$F_{1}, F_{2}$$，$$M$$ 为双曲线右支上一点。若 $$|M F_{1}| = |F_{1} F_{2}|$$，直线 $$M F_{2}$$ 的斜率为 $$-2\sqrt{2}$$，则双曲线的离心率为（ ）。

解：由题意，$$|F_{1}F_{2}| = 2c$$，所以 $$|MF_{1}| = 2c$$。

根据双曲线定义，点 $$M$$ 在右支，有 $$|MF_{1}| - |MF_{2}| = 2a$$，即 $$2c - |MF_{2}| = 2a$$，所以 $$|MF_{2}| = 2c - 2a$$。

在三角形 $$MF_{1}F_{2}$$ 中，由余弦定理：$$\cos \angle F_{1}MF_{2} = \frac{|MF_{1}|^{2} + |MF_{2}|^{2} - |F_{1}F_{2}|^{2}}{2 \cdot |MF_{1}| \cdot |MF_{2}|}$$。

代入得：$$\cos \angle F_{1}MF_{2} = \frac{(2c)^{2} + (2c-2a)^{2} - (2c)^{2}}{2 \cdot 2c \cdot (2c-2a)} = \frac{(2c-2a)^{2}}{8c(c-a)} = \frac{4(c-a)^{2}}{8c(c-a)} = \frac{c-a}{2c}$$。

直线 $$MF_{2}$$ 的斜率为 $$-2\sqrt{2}$$，即 $$\tan (\pi - \angle F_{1}MF_{2}) = -2\sqrt{2}$$，所以 $$\tan \angle F_{1}MF_{2} = 2\sqrt{2}$$。

由 $$\tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta - 1$$，且 $$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$$，得：$$(2\sqrt{2})^{2} = \frac{1}{\cos^{2} \theta} - 1$$，即 $$8 = \frac{1}{\cos^{2} \theta} - 1$$，所以 $$\frac{1}{\cos^{2} \theta} = 9$$，$$\cos \theta = \frac{1}{3}$$（取锐角）。

因此 $$\frac{c-a}{2c} = \frac{1}{3}$$，解得 $$3(c-a) = 2c$$，即 $$3c - 3a = 2c$$，所以 $$c = 3a$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} = 3$$。

故选 D。

3. 已知双曲线 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0, b>0)$$ 的左、右焦点分别为 $$F_{1}, F_{2}$$，若双曲线上存在点 $$P$$ 使 $$\frac{\sin \angle P F_{1} F_{2}}{\sin \angle P F_{2} F_{1}} = \frac{2a}{c}$$，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）。

解：在三角形 $$PF_{1}F_{2}$$ 中，由正弦定理：$$\frac{|PF_{2}|}{\sin \angle P F_{1} F_{2}} = \frac{|PF_{1}|}{\sin \angle P F_{2} F_{1}}$$。

所以 $$\frac{\sin \angle P F_{1} F_{2}}{\sin \angle P F_{2} F_{1}} = \frac{|PF_{2}|}{|PF_{1}|}$$。

由题意，$$\frac{|PF_{2}|}{|PF_{1}|} = \frac{2a}{c}$$。

根据双曲线定义，有 $$||PF_{2}| - |PF_{1}|| = 2a$$。

若点 $$P$$ 在右支，则 $$|PF_{2}| - |PF_{1}| = 2a$$，结合 $$\frac{|PF_{2}|}{|PF_{1}|} = \frac{2a}{c}$$，解得 $$|PF_{1}| = \frac{c}{2}$$，$$|PF_{2}| = a$$。

但在右支，需满足 $$|PF_{1}| \geq c + a$$（到左焦点距离最小值在右顶点处），所以 $$\frac{c}{2} \geq c + a$$，即 $$-\frac{c}{2} \geq a$$，不可能。

若点 $$P$$ 在左支，则 $$|PF_{1}| - |PF_{2}| = 2a$$，结合 $$\frac{|PF_{2}|}{|PF_{1}|} = \frac{2a}{c}$$，解得 $$|PF_{1}| = \frac{2ac}{c-2a}$$，$$|PF_{2}| = \frac{4a^{2}}{c-2a}$$。

在左支，需满足 $$|PF_{1}| \geq a + c$$（到左焦点距离最小值在左顶点处），即 $$\frac{2ac}{c-2a} \geq a + c$$。

化简：$$2ac \geq (a+c)(c-2a) = ac - 2a^{2} + c^{2} - 2ac$$，即 $$2ac \geq c^{2} - 2a^{2} - ac$$，所以 $$3ac \geq c^{2} - 2a^{2}$$。

两边除以 $$a^{2}$$（$$a>0$$）：$$3e \geq e^{2} - 2$$，即 $$e^{2} - 3e - 2 \leq 0$$。

解二次不等式：判别式 $$D = 9 + 8 = 17$$，根为 $$e = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$$，所以 $$\frac{3 - \sqrt{17}}{2} \leq e \leq \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$$。

又离心率 $$e > 1$$，且分母 $$c - 2a > 0$$ 即 $$e > 2$$，所以综合得 $$2 < e \leq \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$$。

故选 D。

4. 设 $$P$$ 是双曲线 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$$ 左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是 $$3x + 4y = 0$$，$$F_{1}, F_{2}$$ 分别是双曲线的左、右焦点，若 $$|P F_{1}| = 10$$，则 $$|P F_{2}|$$ 等于（ ）。

解：渐近线为 $$3x + 4y = 0$$，即 $$y = -\frac{3}{4}x$$，所以 $$\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$$。

已知 $$b^{2} = 9$$，所以 $$b = 3$$，则 $$\frac{3}{a} = \frac{3}{4}$$，解得 $$a = 4$$。

焦距 $$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5$$。

点 $$P$$ 在左支，由双曲线定义：$$|PF_{2}| - |PF_{1}| = 2a = 8$$。

已知 $$|PF_{1}| = 10$$，所以 $$|PF_{2}| = 10 + 8 = 18$$。

故选 C。

5. 已知 $$S$$ 为双曲线 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0, b>0)$$ 上的任意一点，过 $$S$$ 分别引其渐近线的平行线，分别交 $$x$$ 轴于点 $$M, N$$，交 $$y$$ 轴于点 $$P, Q$$，若 $$(\frac{1}{|OM|} + \frac{1}{|ON|}) \cdot (|OP| + |OQ|) \geq 8$$ 恒成立，则双曲线离心率 $$e$$ 的取值范围为（ ）。

解：双曲线渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。

设点 $$S(x_{0}, y_{0})$$ 在双曲线上，即 $$\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$$。

过 $$S$$ 作渐近线的平行线：

一条直线平行于 $$y = \frac{b}{a}x$$，斜率为 $$\frac{b}{a}$$，方程为 $$y - y_{0} = \frac{b}{a}(x - x_{0})$$。与 $$x$$ 轴交点 $$M$$：令 $$y=0$$，得 $$0 - y_{0} = \frac{b}{a}(x_{M} - x_{0})$$，所以 $$x_{M} = x_{0} - \frac{a}{b}y_{0}$$，$$|OM| = |x_{0} - \frac{a}{b}y_{0}|$$。

另一条平行于 $$y = -\frac{b}{a}x$$，斜率为 $$-\frac{b}{a}$$，方程为 $$y - y_{0} = -\frac{b}{a}(x - x_{0})$$。与 $$x$$ 轴交点 $$N$$：令 $$y=0$$，得 $$-y_{0} = -\frac{b}{a}(x_{N} - x_{0})$$，所以 $$x_{N} = x_{0} + \frac{a}{b}y_{0}$$，$$|ON| = |x_{0} + \frac{a}{b}y_{0}|$$。

同理，求与 $$y$$ 轴交点：

第一条直线与 $$y$$ 轴交点 $$P$$：令 $$x=0$$，$$y_{P} - y_{0} = \frac{b}{a}(0 - x_{0})$$，所以 $$y_{P} = y_{0} - \frac{b}{a}x_{0}$$，$$|OP| = |y_{0} - \frac{b}{a}x_{0}|$$。

第二条直线与 $$y$$ 轴交点 $$Q$$：令 $$x=0$$，$$y_{Q} - y_{0} = -\frac{b}{a}(0 - x_{0})$$，所以 $$y_{Q} = y_{0} + \frac{b}{a}x_{0}$$，$$|OQ| = |y_{0} + \frac{b}{a}x_{0}|$$。

因此，$$\frac{1}{|OM|} + \frac{1}{|ON|} = \frac{1}{|x_{0} - \frac{a}{b}y_{0}|} + \frac{1}{|x_{0} + \frac{a}{b}y_{0}|}$$。

$$|OP| + |OQ| = |y_{0} - \frac{b}{a}x_{0}| + |y_{0} + \frac{b}{a}x_{0}|$$。

由绝对值不等式和柯西不等式，可推导得最小值与 $$a, b$$ 有关。经过计算，当点 $$S$$ 在顶点时，表达式取最小值。

设 $$S(a, 0)$$，则 $$y_{0}=0$$，$$x_{0}=a$$。

则 $$|OM| = |a - 0| = a$$，$$|ON| = |a + 0| = a$$，所以 $$\frac{1}{|OM|} + \frac{1}{|ON|} = \frac{2}{a}$$。

$$|OP| = |0 - \frac{b}{a}a| = b$$，$$|OQ| = |0 + \frac{b}{a}a| = b$$，所以 $$|OP| + |OQ| = 2b$$。

乘积为 $$\frac{2}{a} \cdot 2b = \frac{4b}{a}$$。

由题意 $$\frac{4b}{a} \geq 8$$，即 $$\frac{b}{a} \geq 2$$。

离心率 $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + (\frac{b}{a})^{2}} \geq \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$。

所以 $$e \geq \sqrt{5}$$。

故选 B。

7. 已知双曲线 $$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1$$ 在左支上一点 $$M$$ 到右焦点 $$F_{1}$$ 的距离为 $$16$$，$$N$$ 是线段 $$M F_{1}$$ 的中点，$$O$$ 为坐标原点，则 $$|O N|$$ 等于（ ）。

解：双曲线参数：$$a^{2}=25$$，$$a=5$$；$$b^{2}=9$$，$$b=3$$；$$c = \sqrt{a^{2}+b^{2}} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$$。

焦点：左焦点 $$F_{2}(-c, 0) = (-\sqrt{34}, 0)$$，右焦点 $$F_{1}(c, 0) = (\sqrt{34}, 0)$$。

点 $$M$$ 在左支，到右焦点 $$F_{1}$$ 的距离 $$|MF_{1}| = 16$$。

由双曲线定义（左支）：$$|MF_{2}| - |MF_{1}| = -2a = -10$$（或 $$|MF_{1}| - |MF_{2}| = 10$$？需谨慎）。

正确：双曲线定义：$$||MF_{2}| - |MF_{1}|| = 2a$$。对于左支上的点 $$M$$，有 $$|MF_{2}| < |MF_{1}|$$，所以 $$|MF_{1}| - |MF_{2}| = 2a = 10$$。

已知 $$|MF_{1}| = 16$$，所以 $$|MF_{2}| = 16 - 10 = 6$$。

$$N$$ 是 $$MF _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}