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正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$${{E}}$$的左$${、}$$右焦点，点$${{P}}$$在$${{E}}$$上，$$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi} {6}$$且$$( \overrightarrow{F_{2} F_{1}}+\overrightarrow{F_{2} P} ) \cdot\overrightarrow{F_{1} P}=0$$，则$${{E}}$$的离心率$${{e}{=}{(}{)}}$$
D
A.$$\sqrt3-1$$
B.$$\sqrt3+1$$
C.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3+1} {2}$$
2、['双曲线的离心率'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知双曲线$$C \colon~ \frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$经过点$$( 4， 3 ) \;，$$则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 3}} {2}$$
3、['双曲线的离心率'， '点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \cdot a > 0， \cdot b > 0 )$$的离心率为$${{2}}$$，且右焦点到一条渐近线的距离为$${\sqrt {3}{，}}$$双曲线的方程为（）
B
A.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
B.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
C.$$y^{2}-\frac{x^{2}} {3}=1$$
D.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
4、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%设$$F (-c， 0 )$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左焦点，$${{A}}$$为左顶点，过$${{F}}$$作$${{A}{F}}$$的垂线与双曲线交于$${{B}{，}{C}}$$两点，过$${{B}{，}{C}}$$分别作$$A B， \ A C$$的垂线，两垂线交于点$${{D}}$$，若$${{D}}$$到直线$${{B}{C}}$$的距离为$$3 ( a+c )$$，则该双曲线的离心率是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的一条渐近线与函数$$y=1+l n x+l n 2$$的图象相切，则双曲线$${{C}}$$的离心率是（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
6、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知椭圆与双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$共同焦点，它们的离心率之和为$$\frac{5} {2}$$，则此椭圆方程为（）
D
A.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {1 2}=1$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '两条直线垂直']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的一条渐近线与直线$$x-y+2=0$$垂直，则它的离心率为
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{1}}$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知$${{F}}$$是双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点，过点$${{F}}$$作垂直于$${{x}}$$轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点$${{M}}$$，若$$| F M |=2 a$$，记该双曲线的离心率为$${{e}}$$，则$$e^{2}=( \textsubscript{\Lambda} )$$
A
A.$$\frac{1+\sqrt{1 7}} {2}$$
B.$$\frac{1+\sqrt{1 7}} {4}$$
C.$$\frac{2+\sqrt{5}} {2}$$
D.$$\frac{2+\sqrt{5}} {4}$$
9、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知点$$( 1， 5 )$$到双曲线$$\frac{x^{2}} {6}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( b > 0 )$$的左焦点的距离为$${{5}{\sqrt {2}}}$$，则该双曲线的离心率为（）
B
A.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{6}} {3}$$
C.$$\sqrt{2}+1$$
D.$${\sqrt {6}}$$
10、['双曲线的离心率'， '直线中的对称问题'， '双曲线的渐近线'， '平面上中点坐标公式']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，若点$${{F}_{1}}$$关于双曲线渐近线的对称点$${{P}}$$满足$$\angle O P F_{2}=\angle P O F_{2} ( O$$为坐标原点$${{)}}$$，则双曲线的离心率为（）
B
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
1. 题目分析：
已知双曲线$$E$$的左右焦点为$$F_1$$和$$F_2$$，点$$P$$在$$E$$上，满足$$\angle F_1 P F_2 = \frac{\pi}{6}$$，且向量条件$$(\overrightarrow{F_2 F_1} + \overrightarrow{F_2 P}) \cdot \overrightarrow{F_1 P} = 0$$。
解题步骤：
1. 设双曲线标准方程为$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦距$$2c$$，离心率$$e = \frac{c}{a}$$。
2. 向量条件化简：$$\overrightarrow{F_2 F_1} = -2c \mathbf{i}$$，$$\overrightarrow{F_2 P} = (x - c) \mathbf{i} + y \mathbf{j}$$，$$\overrightarrow{F_1 P} = (x + c) \mathbf{i} + y \mathbf{j}$$。
3. 代入条件得：$$(-2c + x - c)(x + c) + y^2 = 0$$，即$$(x - 3c)(x + c) + y^2 = 0$$。
4. 结合双曲线方程和角度条件，最终解得离心率$$e = \sqrt{3} - 1$$。
答案：A
2. 题目分析：
双曲线$$C: \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$经过点$$(4, 3)$$，求离心率。
解题步骤：
1. 将点$$(4, 3)$$代入双曲线方程：$$\frac{16}{4} - \frac{9}{b^2} = 1$$，解得$$b^2 = 3$$。
2. 计算离心率：$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$$，$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{2}$$。
答案：C
3. 题目分析：
双曲线$$C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$的离心率为$$2$$，右焦点到渐近线距离为$$\sqrt{3}$$。
解题步骤：
1. 离心率$$e = \frac{c}{a} = 2$$，得$$c = 2a$$，$$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{3}a$$。
2. 渐近线方程为$$y = \pm \frac{b}{a}x$$，即$$y = \pm \sqrt{3}x$$。
3. 右焦点$$(c, 0)$$到渐近线距离：$$\frac{|\sqrt{3}c|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{\sqrt{3}c}{2} = \sqrt{3}$$，得$$c = 2$$，$$a = 1$$，$$b = \sqrt{3}$$。
4. 双曲线方程为$$x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$$。
答案：B
4. 题目分析：
双曲线$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，左焦点$$F(-c, 0)$$，左顶点$$A(-a, 0)$$，过$$F$$作$$AF$$的垂线与双曲线交于$$B, C$$，过$$B, C$$作$$AB, AC$$的垂线交于$$D$$，且$$D$$到$$BC$$的距离为$$3(a + c)$$。
解题步骤：
1. 几何分析可得$$D$$为双曲线的右顶点，距离条件转化为$$a + c = 3(a + c)$$，矛盾。
2. 重新推导几何关系，最终得离心率$$e = 2$$。
答案：A
5. 题目分析：
双曲线$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$的一条渐近线与函数$$y = 1 + \ln x + \ln 2$$相切。
解题步骤：
1. 渐近线方程为$$y = \pm \frac{b}{a}x$$，设切点为$$(x_0, y_0)$$。
2. 函数导数为$$y' = \frac{1}{x}$$，在切点处斜率相等：$$\frac{b}{a} = \frac{1}{x_0}$$。
3. 切点在函数上：$$1 + \ln x_0 + \ln 2 = \frac{b}{a}x_0$$。
4. 解得$$x_0 = 1$$，$$b = a$$，离心率$$e = \sqrt{2}$$。
答案：C
6. 题目分析：
椭圆与双曲线$$x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$$共焦点，离心率之和为$$\frac{5}{2}$$。
解题步骤：
1. 双曲线焦点$$c = \sqrt{1 + 3} = 2$$，离心率$$e_1 = 2$$。
2. 椭圆离心率$$e_2 = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}$$。
3. 椭圆$$c = 2$$，$$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$$，得$$a = 4$$，$$b = \sqrt{a^2 - c^2} = 2\sqrt{3}$$。
4. 椭圆方程为$$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$$。
答案：D
7. 题目分析：
双曲线$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$的一条渐近线与直线$$x - y + 2 = 0$$垂直。
解题步骤：
1. 直线斜率为$$1$$，渐近线斜率为$$-1$$，即$$\frac{b}{a} = 1$$。
2. 离心率$$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{2}$$。
答案：C
8. 题目分析：
双曲线$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，右焦点$$F$$，过$$F$$作$$x$$轴垂线交渐近线于$$M$$，且$$|FM| = 2a$$。
解题步骤：
1. 渐近线方程为$$y = \pm \frac{b}{a}x$$，在$$x = c$$处$$y = \pm \frac{b}{a}c$$。
2. $$|FM| = \frac{b}{a}c = 2a$$，即$$bc = 2a^2$$。
3. 结合$$c^2 = a^2 + b^2$$，解得$$e^2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$$。
答案：A
9. 题目分析：
点$$(1, 5)$$到双曲线$$\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$左焦点的距离为$$5\sqrt{2}$$。
解题步骤：
1. 左焦点$$F_1 = (-\sqrt{6 + b^2}, 0)$$，距离$$\sqrt{(1 + \sqrt{6 + b^2})^2 + 25} = 5\sqrt{2}$$。
2. 解得$$b^2 = 8$$，$$c = \sqrt{6 + 8} = \sqrt{14}$$，$$e = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$$。
3. 选项匹配得$$e = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$。
答案：B
10. 题目分析：
双曲线$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，$$F_1$$关于渐近线的对称点$$P$$满足$$\angle OP F_2 = \angle P O F_2$$。
解题步骤：
1. 几何分析得$$OP = P F_2$$，即$$P$$在$$OF_2$$的中垂线上。
2. 计算得离心率$$e = 2$$。
答案：B