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正确率80.0%已知双曲线的方程为$${{x}^{2}{−}{8}{{y}^{2}}{=}{{3}{2}}{，}}$$则该双曲线的（）
B
A.实轴长为$${{4}{\sqrt {2}}{，}}$$虚轴长为$${{2}}$$
B.实轴长为$${{8}{\sqrt {2}}{，}}$$虚轴长为$${{4}}$$
C.实轴长为$${{2}{，}}$$虚轴长为$${{4}{\sqrt {2}}}$$
D.实轴长为$${{4}{，}}$$虚轴长为$${{8}{\sqrt {2}}}$$
2、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率60.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {2 5}-\frac{y^{2}} {9}=1$$上的一点到一个焦点的距离为$${{1}{2}}$$，则到另一个焦点的距离为（）
A
A.$${{2}{2}}$$或$${{2}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{2}{2}}$$
D.$${{2}}$$
3、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率40.0%在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{A}{B}{=}{4}{，}{A}{D}{=}{2}{\sqrt {2}}}$$，以$${{A}{，}{B}}$$为焦点的双曲线经过$${{C}{，}{D}}$$两点，则此双曲线的离心率为（）
D
A.$${{2}{(}{\sqrt {3}}{−}{1}{)}}$$
B.$${\sqrt {3}{+}{1}}$$
C.$$\frac{\sqrt6-\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt6+\sqrt2} {2}$$
4、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '直线的斜率']正确率19.999999999999996%双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$上任意一点$${{M}}$$与左右顶点$${{A}_{1}{、}{{A}_{2}}}$$连线的斜率之积为$$\frac{3} {4}，$$则该双曲线的离心率为（）
C
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}} {2}$$
D.$$\frac{5} {3}$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，若点$${{P}}$$满足$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{−}{|}{P}{{F}_{2}}{|}{=}{2}{a}}$$，且$$\operatorname{s i n} ( \angle P F_{1} F_{2}+\angle F_{1} P F_{2} )=1， \， \， \， \operatorname{c o s} \angle P F_{1} F_{2}=\frac{4 \sqrt{1 7}} {1 7}，$$则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
C
A.$${\sqrt {5}{+}{2}}$$
B.$${\sqrt {5}{+}{1}}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 7}+1} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}+1} {4}$$
6、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率80.0%双曲线$${{3}{{x}^{2}}{−}{{y}^{2}}{=}{9}}$$的虚轴长是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
7、['双曲线的离心率'， '圆的定义与标准方程'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率60.0%设点$${{M}}$$为双曲线$$E \! : \! \frac{x^{2}} {a^{2}} \!-\! \frac{y^{2}} {b^{2}} \!=\! 1 \， ( a \! > \! 0， b \! > 0 )$$和圆$${{C}{:}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{{a}^{2}}{+}{{b}^{2}}}$$的一个交点，若$${{∠}{M}{{F}_{1}}{{F}_{2}}{=}{2}{∠}{M}{{F}_{2}}{{F}_{1}}}$$，其中$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为双曲线$${{E}}$$的两焦点，则双曲线$${{E}}$$的离心率为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {3}{+}{1}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
8、['双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%函数$$y=\frac{1} {x}$$的图象是焦点坐标为$${（{\sqrt {2}}{、}{\sqrt {2}}{）}{，}{（}{−}{\sqrt {2}}{，}{−}{\sqrt {2}}{）}}$$的双曲线，现将它的图象绕原点顺时针旋转$${{4}{5}^{∘}}$$，则此双曲线的方程是（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {2}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
C.$$\frac{y^{2}} {2}-\frac{x^{2}} {2}=1$$
D.$$\frac{y^{2}} {4}-\frac{x^{2}} {4}=1$$
9、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率40.0%已知点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，过$${{F}_{2}}$$且垂直于$${{x}}$$轴的直线与双曲线交于$${{M}{，}{N}}$$两点，若$$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot\overrightarrow{N F_{1}} > 0，$$则该双曲线的离心率$${{e}}$$的取值范围是（）
B
A.$${{(}{\sqrt {2}}{，}{\sqrt {2}}{+}{1}{)}}$$
B.$${{(}{1}{，}{\sqrt {2}}{+}{1}{)}}$$
C.$${{(}{1}{，}{\sqrt {3}}{)}}$$
D.$${{(}{\sqrt {3}}{，}{+}{∞}{)}}$$
10、['双曲线的渐近线'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {3 m^{2}}+\frac{y^{2}} {5 n^{2}}=1$$和双曲线$$\frac{x^{2}} {2 m^{2}}-\frac{y^{2}} {3 n^{2}}=1$$有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为（）
D
A.$$x=\pm\frac{\sqrt{1 5}} {2} y$$
B.$$y=\pm\frac{\sqrt{1 5}} {2} x$$
C.$$x=\pm\frac{\sqrt{3}} {4} y$$
D.$$y=\pm\frac{\sqrt{3}} {4} x$$
1. 将双曲线方程化为标准形式：$$x^2 - 8y^2 = 32 \Rightarrow \frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{4} = 1$$。实轴长为 $$2a = 2 \times \sqrt{32} = 8\sqrt{2}$$，虚轴长为 $$2b = 2 \times 2 = 4$$。故选 B。
2. 双曲线 $$\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$$ 的焦点距离为 $$2c = 2 \times \sqrt{25 + 9} = 2 \times \sqrt{34}$$。设点 $$P$$ 到两焦点的距离为 $$d_1$$ 和 $$d_2$$，则 $$|d_1 - d_2| = 2a = 10$$。已知 $$d_1 = 12$$，则 $$d_2 = 12 \pm 10$$，即 $$2$$ 或 $$22$$。故选 A。
3. 以 $$A$$ 和 $$B$$ 为焦点，设双曲线方程为 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦距 $$2c = AB = 4 \Rightarrow c = 2$$。矩形顶点 $$C(4, 2\sqrt{2})$$ 在双曲线上，代入得 $$\frac{16}{a^2} - \frac{8}{b^2} = 1$$，且 $$c^2 = a^2 + b^2 = 4$$。解得 $$a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{2}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$$。故选 D。
4. 双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的顶点为 $$A_1(-a, 0)$$ 和 $$A_2(a, 0)$$。设点 $$M(x, y)$$ 在双曲线上，斜率之积为 $$\frac{y}{x + a} \cdot \frac{y}{x - a} = \frac{y^2}{x^2 - a^2} = \frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{4}$$。故 $$\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{4}$$，离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$$。故选 C。
5. 由双曲线定义 $$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$，结合 $$\sin(\angle PF_1F_2 + \angle F_1PF_2) = 1$$，可得 $$\angle PF_1F_2 + \angle F_1PF_2 = 90^\circ$$。设 $$|PF_2| = x$$，则 $$|PF_1| = x + 2a$$。利用余弦定理和已知条件 $$\cos \angle PF_1F_2 = \frac{4\sqrt{17}}{17}$$，解得 $$x = a$$，进一步求得离心率 $$e = \frac{\sqrt{17} + 1}{4}$$。故选 C。
6. 双曲线 $$3x^2 - y^2 = 9$$ 化为标准形式 $$\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{9} = 1$$，虚轴长为 $$2b = 2 \times 3 = 6$$。故选 B。
7. 双曲线与圆的交点 $$M$$ 满足 $$|MF_1| - |MF_2| = 2a$$ 和 $$|MF_1|^2 + |MF_2|^2 = 4c^2$$。由题意 $$\angle MF_1F_2 = 2 \angle MF_2F_1$$，设 $$\angle MF_2F_1 = \theta$$，则 $$\angle MF_1F_2 = 2\theta$$。利用正弦定理和余弦定理，解得离心率 $$e = \sqrt{3}$$。故选 C。
8. 函数 $$y = \frac{1}{x}$$ 的图象旋转 $$45^\circ$$ 后，双曲线方程为 $$\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 1$$。故选 A。
9. 双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的焦点为 $$F_1(-c, 0)$$ 和 $$F_2(c, 0)$$。过 $$F_2$$ 的垂直线与双曲线交于 $$M(c, \frac{b^2}{a})$$ 和 $$N(c, -\frac{b^2}{a})$$。向量点积 $$\overrightarrow{MF_1} \cdot \overrightarrow{NF_1} = (-2c, -\frac{b^2}{a}) \cdot (-2c, \frac{b^2}{a}) = 4c^2 - \frac{b^4}{a^2} > 0$$，解得 $$e \in (1, \sqrt{2} + 1)$$。故选 B。
10. 椭圆 $$\frac{x^2}{3m^2} + \frac{y^2}{5n^2} = 1$$ 和双曲线 $$\frac{x^2}{2m^2} - \frac{y^2}{3n^2} = 1$$ 有公共焦点，故 $$3m^2 - 5n^2 = 2m^2 + 3n^2 \Rightarrow m^2 = 8n^2$$。双曲线的渐近线方程为 $$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n}{m} x = \pm \frac{\sqrt{3}}{4} x$$。故选 D。