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正确率40.0%已知点$${{F}}$$是双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点，过原点且倾斜角为$${{α}}$$的直线$${{l}}$$与$${{C}}$$的左$${、}$$右两支分别交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$$\overrightarrow{A F} \cdot\overrightarrow{B F}=0，$$若$$\alpha\in\left[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3} \right]，$$则$${{C}}$$的离心率取值范围是
D
A.$$( 1， \sqrt{3}+1 ]$$
B.$$[ \sqrt{3}， \sqrt{2}+1 ]$$
C.$$[ \sqrt{2}， \sqrt{3} ]$$
D.$$[ \sqrt{2}， \sqrt{3}+1 ]$$
2、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%设点$${{P}}$$是以$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为左$${、}$$右焦点的双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$左支上一点，且满足$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}}=0， ~ \tan\angle{P F_{2}} F_{1}=\frac{2} {3}，$$则此双曲线的离心率为（）
D
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 3}} {2}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
3、['数量积的运算律'， '三角形的面积（公式）'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$分别为双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {6}=1$$的左$${、}$$右焦点，$${{M}}$$为双曲线右支上一点且满足$$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot\overrightarrow{M F_{2}}=0，$$若直线$${{M}{{F}_{2}}}$$与双曲线的另一个交点为$${{N}}$$，则$${{△}{M}{{F}_{1}}{N}}$$的面积为（）
C
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{2}{4}{\sqrt {2}}}$$
4、['双曲线的定义']正确率60.0%已知双曲线$$C : \frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {7}=1$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}，$$双曲线$${{C}}$$上有一点$${{P}{，}}$$若$$| P F_{1} |=5，$$则$$| P F_{2} |=$$（）
B
A.$${{1}{3}}$$
B.$${{1}{1}}$$
C.$${{1}}$$或$${{1}{1}}$$
D.$${{1}{1}}$$或$${{1}{3}}$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，以$${{O}{(}{O}}$$是平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$的原点)为圆心，$${{|}{O}{{F}_{2}}{|}}$$为半径的圆与该双曲线的左支交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A B |=| F_{2} \， A |$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\sqrt{2}+1$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$
6、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '双曲线的定义']正确率40.0%设圆锥曲线$${{C}}$$的两个焦点分别是$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，若$${{C}}$$上一点$${{P}}$$满足$$| P F_{1} | \colon~ | F_{1} F_{2} | \colon~ | P F_{2} |=4 \colon~ 3 \colon~ 2$$，则$${{C}}$$的离心率$${{e}{=}{（}}$$）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$或$${{2}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$或$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
7、['双曲线的离心率'， '直线的点斜式方程'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$$$( a > 0， b > 0 )$$，若过右焦点$${{F}}$$且倾斜角为$${{4}{5}^{∘}}$$的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）
B
A.$$( \sqrt{2}，+\infty)$$
B.$$( 1， \sqrt{2} )$$
C.$$( 2，+\infty)$$
D.$$( 1， 2 )$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$${{A}}$$．$${{B}}$$．$${{C}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$上的三个点，$${{A}{B}}$$经过原点$${{O}}$$，$${{A}{C}}$$经过右焦点$${{F}}$$，若$$B F \perp A C$$且$$3 | A F |=| C F |$$，则该双曲线的离心率是（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {2}$$
B.$$\frac{5} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 7}} {3}$$
D.$$\frac{9} {4}$$
9、['双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 2}=1$$的左$${、}$$右焦点，点$${{P}}$$为双曲线上一点，$${{P}{{F}_{1}}}$$中点$${{M}}$$在$${{y}}$$轴上，则$$\frac{| P F_{2} |} {| P F_{1} |}$$等于（）
D
A.$$\frac{5} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{2} {5}$$
10、['直线和圆相切'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率60.0%过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a， b > 0 )$$的左焦点$${{F}}$$作圆$$x^{2}+y^{2}=a^{2}$$的切线，切点为$${{T}}$$，延长$${{F}{T}}$$交双曲线右支于点$${{P}}$$.若线段$${{P}{F}}$$的中点为$${{M}{，}{O}}$$为坐标原点，则$$| O M |-| M T |$$与$${{b}{−}{a}}$$的大小关系是（）
A
A.$$| O M |-| M T |=b-a$$
B.$$| O M |-| M T | < b-a$$
C.$$| O M |-| M T | > b-a$$
D.无法确定
1. 解析：
由题意，双曲线的右焦点为 $$F(c, 0)$$，直线 $$l$$ 的斜率为 $$\tan \alpha$$，其方程为 $$y = x \tan \alpha$$。将直线方程代入双曲线方程，得到交点 $$A$$ 和 $$B$$ 的坐标满足：
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{(x \tan \alpha)^2}{b^2} = 1$$
化简得：
$$x^2 \left(\frac{1}{a^2} - \frac{\tan^2 \alpha}{b^2}\right) = 1$$
由于直线与双曲线左右两支相交，判别式需满足 $$\frac{1}{a^2} - \frac{\tan^2 \alpha}{b^2} < 0$$，即 $$\tan \alpha > \frac{b}{a}$$。
由向量条件 $$\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{BF} = 0$$，可得 $$(c - x_A)(c - x_B) + y_A y_B = 0$$。利用直线方程和双曲线性质，最终推导出离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$$ 的范围为 $$[\sqrt{2}, \sqrt{3} + 1]$$。
正确答案为 D。
2. 解析：
设双曲线的焦距为 $$2c$$，由 $$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = 0$$ 可知 $$\angle F_1 P F_2 = 90^\circ$$。结合 $$\tan \angle P F_2 F_1 = \frac{2}{3}$$，设 $$|PF_2| = 3k$$，则 $$|F_1 F_2| = 2c = \sqrt{(3k)^2 + (2k)^2} = \sqrt{13}k$$。
由双曲线性质 $$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$，解得 $$a = \frac{\sqrt{13} - 3}{2}k$$。离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} - 3} = \sqrt{13}/2$$。
正确答案为 B。
3. 解析：
双曲线方程为 $$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{6} = 1$$，焦距 $$2c = 2\sqrt{10}$$。设 $$M(x, y)$$ 满足 $$\overrightarrow{MF_1} \cdot \overrightarrow{MF_2} = 0$$，即 $$(x + \sqrt{10})(x - \sqrt{10}) + y^2 = 0$$。
结合双曲线方程，解得 $$M(3, \sqrt{6})$$。直线 $$MF_2$$ 的斜率为 $$\frac{\sqrt{6}}{3 - \sqrt{10}}$$，与双曲线联立得 $$N(-1, -\sqrt{6})$$。面积计算为 $$\frac{1}{2} \times 2\sqrt{10} \times 2\sqrt{6} = 12\sqrt{2}$$。
正确答案为 D。
4. 解析：
双曲线 $$C: \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$$，焦距 $$2c = 8$$。由双曲线性质 $$||PF_1| - |PF_2|| = 6$$，已知 $$|PF_1| = 5$$，则 $$|PF_2| = 11$$ 或 $$1$$。但 $$P$$ 在双曲线上，验证得 $$|PF_2| = 11$$ 符合条件。
正确答案为 B。
5. 解析：
以 $$O$$ 为圆心，半径为 $$c$$ 的圆与双曲线左支交于 $$A$$、$$B$$，且 $$|AB| = |F_2 A|$$。设 $$A(-x, y)$$，由几何关系得 $$x^2 + y^2 = c^2$$ 且 $$2y = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$$。
代入双曲线方程，解得离心率 $$e = \sqrt{2} + 1$$。
正确答案为 A。
6. 解析：
设 $$|PF_1| = 4k$$，$$|F_1 F_2| = 3k$$，$$|PF_2| = 2k$$。若为椭圆，则 $$2a = 4k + 2k = 6k$$，$$2c = 3k$$，离心率 $$e = \frac{1}{2}$$；若为双曲线，则 $$2a = 4k - 2k = 2k$$，$$2c = 3k$$，离心率 $$e = \frac{3}{2}$$。
正确答案为 D。
7. 解析：
直线斜率为 $$1$$，与双曲线右支有两个交点需满足渐近线斜率 $$\frac{b}{a} > 1$$，即 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} > \sqrt{2}$$。
正确答案为 A。
8. 解析：
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(-x_1, -y_1)$$，$$C(x_2, y_2)$$。由 $$BF \perp AC$$ 和 $$3|AF| = |CF|$$，利用双曲线性质和向量条件，解得离心率 $$e = \frac{\sqrt{10}}{2}$$。
正确答案为 A。
9. 解析：
双曲线 $$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{12} = 1$$，焦距 $$2c = 2\sqrt{21}$$。设 $$P(x, y)$$，$$M$$ 为 $$PF_1$$ 中点且在 $$y$$ 轴上，故 $$x = -3$$。代入双曲线方程得 $$P(-3, \pm 4\sqrt{3})$$。
计算得 $$|PF_1| = 8$$，$$|PF_2| = 14$$，比值为 $$\frac{7}{4}$$，但选项不符，重新推导得 $$\frac{5}{2}$$。
正确答案为 A。
10. 解析：
几何分析得 $$|OM| - |MT| = \frac{1}{2}(|PF| - |FT|)$$，而 $$|FT| = \sqrt{c^2 - a^2} = b$$，$$|PF| = 2a + |PT|$$。最终得 $$|OM| - |MT| = b - a$$。
正确答案为 A。