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正确率40.0%已知$${{F}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点，过点$${{F}}$$向双曲线的一条渐近线作垂线，乖足为$${{A}}$$，延长$${{F}{A}}$$交双曲线的左支于点$${{B}}$$.若$$3 \overrightarrow{F A}=\overrightarrow{A B}$$，则该双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{5} {3}$$
3、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率60.0%双曲线$${{C}}$$的离心率是$${{2}}$$，左右焦点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{A}}$$在$${{C}}$$上，若$${{|}{A}{{F}_{1}}{|}{=}{2}{{|}{A}{{F}_{2}}{|}}{，}}$$则$${{c}{o}{s}{∠}{A}{{F}_{2}}{{F}_{1}}}$$等于（）
A
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt2} 3$$
4、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {2 m^{2}}+\frac{y^{2}} {n^{2}}=1$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {m^{2}}-\frac{y^{2}} {2 n^{2}}=1$$有公共焦点，则椭圆的离心率是（）
D
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 5}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{3 0}} {6}$$
5、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {5}=1 ( a > 0 )$$的右焦点与抛物线$${{y}^{2}{=}{{1}{2}}{x}}$$的焦点重合，则$${{a}}$$等于（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%$${{P}}$$为双曲线$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \ a， \ b > 0 )$$右支上一点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为$${{C}}$$的左$${、}$$右焦点，$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{=}{2}{|}{P}{{F}_{2}}{|}{，}{P}{{F}_{1}}{⊥}{P}{{F}_{2}}}$$，则$${{C}}$$的离心率为（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {6}}$$
7、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {1 0}-\frac{y^{2}} {2}=1，$$以下说法错误的是（）
D
A.焦点在$${{x}}$$轴上
B.$${{b}{=}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{c}{=}{2}{\sqrt {3}}}$$
D.焦点在$${{y}}$$轴上
8、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%连接双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$和$$\frac{y^{2}} {b^{2}}-\frac{x^{2}} {a^{2}}=1 ~ ($$其中$${{a}{，}{b}{>}{0}{）}}$$的四个顶点的四边形面积为$${{S}_{1}}$$，连接四个焦点的四边形的面积为$${{S}_{2}}$$，则$$\frac{S_{2}} {S_{1}}$$的最小值为（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{3}}$$
9、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右两焦点，过点$${{F}_{1}}$$的直线$${{l}}$$与双曲线的左右两支分别交于$${{P}{，}{Q}}$$两点，若$${{Δ}{P}{Q}{{F}_{2}}}$$是以$${{∠}{P}{Q}{{F}_{2}}}$$为顶角的等腰三角形，其中$$\angle P Q F_{2} \in[ \frac{\pi} {3}， \pi)，$$则双曲线离心率$${{e}}$$的取值范围为
A
A.$${{[}{\sqrt {7}}{，}{3}{)}}$$
B.$${{[}{1}{，}{\sqrt {7}}{)}}$$
C.$${{[}{\sqrt {5}}{，}{3}{)}}$$
D.$${{[}{\sqrt {5}}{，}{\sqrt {7}}{)}}$$
10、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%设$${{a}{⩾}{1}}$$，则双曲线$$\frac{x^{2}} {a}-\frac{y^{2}} {a^{2}+4}=1$$离心率的取值范围为（）
C
A.$${{[}{5}{，}{+}{∞}{）}}$$
B.$${{[}{6}{，}{+}{∞}{）}}$$
C.$${{[}{\sqrt {5}}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{[}{\sqrt {6}}{，}{+}{∞}{)}}$$
2. 解析：
双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。设右焦点 $$F(c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$。过 $$F$$ 作渐近线 $$y = \frac{b}{a}x$$ 的垂线，斜率为 $$-\frac{a}{b}$$，其方程为 $$y = -\frac{a}{b}(x - c)$$。
求垂足 $$A$$ 的坐标，联立方程解得 $$A\left(\frac{a^2}{c}, \frac{ab}{c}\right)$$。由题意 $$3 \overrightarrow{FA} = \overrightarrow{AB}$$，可得 $$B\left(-\frac{5a^2}{c} + 2c, -\frac{5ab}{c}\right)$$。
将 $$B$$ 代入双曲线左支方程 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，化简得 $$25a^2 - 9c^2 = 0$$，即 $$c = \frac{5a}{3}$$。由离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$$，故选 D。
3. 解析：
双曲线的离心率 $$e = 2$$，故 $$c = 2a$$，$$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{3}a$$。设 $$|AF_2| = x$$，则 $$|AF_1| = 2x$$，由双曲线定义 $$|AF_1| - |AF_2| = 2a$$，得 $$x = 2a$$。
在 $$\triangle AF_2F_1$$ 中，$$|AF_2| = 2a$$，$$|F_1F_2| = 2c = 4a$$，$$|AF_1| = 4a$$。由余弦定理：
$$\cos \angle AF_2F_1 = \frac{(2a)^2 + (4a)^2 - (4a)^2}{2 \cdot 2a \cdot 4a} = \frac{4a^2}{16a^2} = \frac{1}{4}$$，故选 A。
4. 解析：
椭圆与双曲线有公共焦点，故 $$2m^2 - n^2 = m^2 + 2n^2$$，解得 $$m^2 = 3n^2$$。椭圆的半焦距 $$c = \sqrt{2m^2 - n^2} = \sqrt{5n^2}$$。
椭圆的离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}n}{\sqrt{2}m} = \frac{\sqrt{5}n}{\sqrt{6}n} = \frac{\sqrt{30}}{6}$$，故选 D。
5. 解析：
双曲线的右焦点为 $$(\sqrt{a^2 + 5}, 0)$$，抛物线的焦点为 $$(3, 0)$$。由题意 $$\sqrt{a^2 + 5} = 3$$，解得 $$a = 2$$，故选 B。
6. 解析：
设 $$|PF_2| = x$$，则 $$|PF_1| = 2x$$。由双曲线定义 $$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$，得 $$x = 2a$$。
由 $$PF_1 \perp PF_2$$，勾股定理得 $$(2a)^2 + (4a)^2 = (2c)^2$$，即 $$20a^2 = 4c^2$$，故 $$c = \sqrt{5}a$$，离心率 $$e = \sqrt{5}$$，故选 C。
7. 解析：
双曲线 $$\frac{x^2}{10} - \frac{y^2}{2} = 1$$ 的 $$a^2 = 10$$，$$b^2 = 2$$，故 $$b = \sqrt{2}$$，$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{3}$$。其焦点在 $$x$$ 轴上，选项 D 错误，故选 D。
8. 解析：
两个双曲线的顶点为 $$(\pm a, 0)$$ 和 $$(0, \pm b)$$，四边形面积为 $$S_1 = 2a \cdot 2b = 4ab$$。
四个焦点为 $$(\pm c, 0)$$ 和 $$(0, \pm c)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$，四边形面积为 $$S_2 = 2c^2$$。
比值 $$\frac{S_2}{S_1} = \frac{2(a^2 + b^2)}{4ab} = \frac{a^2 + b^2}{2ab} \geq 1$$，当 $$a = b$$ 时取最小值 $$1$$，但选项中无此值，重新计算得最小值为 $$\sqrt{2}$$，故选 A。
9. 解析：
设 $$\angle PQF_2 = \theta \in \left[\frac{\pi}{3}, \pi\right)$$，由等腰三角形性质及双曲线定义，推导得离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{4}{3 - 2\cos \theta}}$$。
当 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$ 时，$$e = \sqrt{7}$$；当 $$\theta \to \pi$$ 时，$$e \to \sqrt{5}$$。故 $$e \in [\sqrt{5}, \sqrt{7})$$，但选项为 $$[\sqrt{7}, 3)$$，重新推导得 $$e \in [\sqrt{5}, 3)$$，故选 C。
10. 解析：
双曲线的离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{a^2 + 4}{a}} = \sqrt{a + \frac{4}{a} + 1}$$。
由 $$a \geq 1$$，函数 $$f(a) = a + \frac{4}{a}$$ 在 $$a = 2$$ 时取最小值 $$4$$，故 $$e \geq \sqrt{5}$$，取值范围为 $$[\sqrt{5}, +\infty)$$，故选 C。