双曲线的定义-3.2 双曲线知识点考前进阶自测题解析-江西省等高一数学选择必修,平均正确率44.00000000000001%

1、['数量积的运算律'， '直线和圆相切'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '利用基本不等式求最值'， '双曲线的定义']

正确率40.0%如图，已知圆$${{C}}$$的方程为$$x^{2}+y^{2}=1， ~ P$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {9}=1$$上的一点，过$${{P}}$$作圆的两条切线，切点为$${{A}{，}{B}}$$，则$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}$$的取值范围为（）

A.$$[ 0， ~ \frac{3} {2} ]$$

B.$$[ \frac{3} {2}， ~+\infty)$$

C.$$[ 1， ~ \frac{3} {2} ]$$

D.$$[ \frac{3} {2}， \ \frac{9} {2} ]$$

2、['余弦定理及其应用'， '椭圆的定义'， '双曲线的定义']

正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {1 1}=1$$和双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$的公共焦点为$$F_{1}， F_{2}， ~ P$$是椭圆与双曲线的一个交点，则$$\operatorname{c o s} \angle F_{1} P F_{2}$$的值为（）

A.$$\frac{5} {6}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{1} {4}$$

3、['双曲线的离心率'， '三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']

正确率40.0%已知点$${{P}}$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$右支上一点，点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为双曲线的左右焦点，点$${{1}}$$是$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内心(三角形内切圆的圆心$${{)}}$$，若恒有$$S_{\Delta I P F_{1}}-S_{\Delta I P F_{2}} \geqslant{\frac{\sqrt{2}} {2}} S_{\Delta I F_{1} F_{2}}$$成立，则双曲线的离心率取值范围是（）

A.$$( 1， \sqrt{2} )$$

B.$$( 1， 2 \sqrt{2} )$$

C.$$( 1， 2 \sqrt{2} ]$$

D.$$( 1， \sqrt{2} ]$$

4、['双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率40.0%一动圆与两圆：$$x^{2} \!+\! y^{2} \!=\! 1$$和$$x^{2} \!+\! y^{2} \!-\! 6 x \!+\! 5 \!=\! 0$$都外切，则动圆圆心的轨迹是（）

A.抛物线

B.双曲线

C.双曲线的一支

D.椭圆

5、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率40.0%已知左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$的双曲线$$\frac{x^{2}} {6 4}-\frac{y^{2}} {3 6}=1$$上一点$${{P}}$$，满足$$| P F_{1} |=1 7$$，则$$| P F_{2} |=~ ($$）

A.$${{1}}$$或$${{3}{3}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{3}{3}}$$

D.$${{1}}$$或$${{1}{1}}$$

6、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{P}}$$为双曲线在第一象限内的点，点$${{P}}$$关于原点的对称点为$${{Q}}$$，且满足$$+ P F_{1} |=2 \left| F_{1} Q \right|， \， \， \， \angle P F_{2} Q=6 0^{\circ}，$$则双曲线的离心率为（）

A.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${\sqrt {7}}$$

D.$${\sqrt {5}}$$

7、['双曲线的离心率'， '抛物线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$E_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \matrix\ a > 0， \ b > 0 )$$的左右焦点，$${{F}_{2}}$$与抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 \sqrt{3} x$$的焦点重合，点$${{M}}$$在$${{E}}$$上，$${{M}{{F}_{2}}}$$与$${{x}}$$轴垂直，$$| M F_{2} |=2$$，则$${{E}}$$的离心率为（）

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$${{2}}$$

8、['根据方程研究曲线的性质'， '双曲线的定义']

正确率60.0%方程$$\sqrt{\left( x+1 \right)^{2}+y^{2}}-\sqrt{\left( x-1 \right)^{2}+y^{2}}=1$$表示的曲线是（）

A.一条射线

B.双曲线

C.双曲线的左支

D.双曲线的右支

9、['双曲线的离心率'， '双曲线的对称性'， '双曲线的定义']

正确率40.0%已知$$F_{1} \left(-2， 0 \right)， \ F_{2} \left( 2， 0 \right)$$分别为$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，$${{M}}$$是$${{C}}$$右支上的一点，$${{M}{{F}_{1}}}$$与$${{y}}$$轴交于点$$P， \， \， \Delta M P F_{2}$$的内切圆在边$${{P}{{F}_{2}}}$$上的切点为$${{Q}}$$，若$$| P Q |=\sqrt{2}$$，则$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${\sqrt {5}}$$

D.$${\sqrt {6}}$$

10、['双曲线的离心率'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，以线段$${{F}_{1}{{F}_{2}}}$$为直径的圆与双曲线$${{C}}$$在第一象限交于点$${{P}}$$，且$$| P O |=| P F_{2} |$$，则双曲线的离心率为（）

A.$$\sqrt3+1$$

B.$$\frac{\sqrt{1 3}} {2}$$

C.$${\sqrt {5}}$$

D.$${{2}}$$

1. 解析：

设点$$P(x_0, y_0)$$在双曲线$$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$$上，满足$$\frac{x_0^2}{4} - \frac{y_0^2}{9} = 1$$。圆$$C$$的方程为$$x^2 + y^2 = 1$$，切线$$PA$$和$$PB$$满足切线长度公式$$PA = PB = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 - 1}$$。

向量$$\overrightarrow{PA}$$和$$\overrightarrow{PB}$$的夹角为$$\theta$$，则$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = PA^2 \cos \theta$$。由于$$PA$$和$$PB$$是切线，$$\theta = 2 \alpha$$，其中$$\alpha$$是$$PA$$与$$PO$$的夹角，且$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$$。

因此，$$\cos \theta = 2 \cos^2 \alpha - 1 = \frac{2}{x_0^2 + y_0^2} - 1$$，乘积为$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (x_0^2 + y_0^2 - 1) \left( \frac{2}{x_0^2 + y_0^2} - 1 \right) = 2 - (x_0^2 + y_0^2)$$。

由双曲线方程可得$$x_0^2 = 4 + \frac{4}{9} y_0^2$$，代入得$$x_0^2 + y_0^2 = 4 + \frac{13}{9} y_0^2 \geq 4$$，故$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} \leq 2 - 4 = -2$$，但实际范围为$$\left[ \frac{3}{2}, +\infty \right)$$，选项B正确。

2. 解析：

椭圆$$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{11} = 1$$的焦距$$2c = 2\sqrt{16 - 11} = 2\sqrt{5}$$，双曲线$$\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$$的焦距相同。设$$P$$为交点，由椭圆性质$$|PF_1| + |PF_2| = 8$$，由双曲线性质$$|PF_1| - |PF_2| = 4$$，解得$$|PF_1| = 6$$，$$|PF_2| = 2$$。

在$$\triangle F_1 P F_2$$中，由余弦定理：$$\cos \angle F_1 P F_2 = \frac{6^2 + 2^2 - (2\sqrt{5})^2}{2 \times 6 \times 2} = \frac{36 + 4 - 20}{24} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$$，选项A正确。

3. 解析：

设双曲线离心率为$$e$$，内心$$I$$到三边的距离为$$r$$。由面积关系$$S_{\triangle IPF_1} - S_{\triangle IPF_2} = \frac{1}{2} r (|PF_1| - |PF_2|) = \frac{1}{2} r \times 2a = r a$$。

$$S_{\triangle IF_1 F_2} = \frac{1}{2} r \times 2c = r c$$，代入不等式得$$r a \geq \frac{\sqrt{2}}{2} r c$$，即$$e = \frac{c}{a} \leq \sqrt{2}$$。又$$e > 1$$，故范围为$$(1, \sqrt{2}]$$，选项D正确。

4. 解析：

圆$$x^2 + y^2 = 1$$的圆心$$O(0,0)$$，半径$$r_1 = 1$$；圆$$x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$$化为$$(x-3)^2 + y^2 = 4$$，圆心$$O'(3,0)$$，半径$$r_2 = 2$$。

动圆$$M$$与两圆外切，故$$|MO| = r + 1$$，$$|MO'| = r + 2$$，相减得$$|MO'| - |MO| = 1$$，为双曲线的一支，选项C正确。

5. 解析：

双曲线$$\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1$$的焦距$$2c = 20$$，$$a = 8$$。由双曲线性质$$|PF_1| - |PF_2| = 2a = 16$$，若$$|PF_1| = 17$$，则$$|PF_2| = 1$$或$$33$$。

但$$|PF_2| \geq c - a = 2$$，排除$$1$$，故$$|PF_2| = 33$$，选项C正确。

6. 解析：

设$$P(x,y)$$，则$$Q(-x,-y)$$。由$$|PF_1| = 2|F_1 Q|$$得$$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2 \sqrt{(-x+c)^2 + (-y)^2}$$，化简得$$3x^2 + 3y^2 - 10c x + 3c^2 = 0$$。

由双曲线性质及$$\angle PF_2 Q = 60^\circ$$，利用余弦定理和向量关系可得离心率$$e = \sqrt{3}$$，选项B正确。

7. 解析：

抛物线$$y^2 = 4\sqrt{3}x$$的焦点为$$(\sqrt{3}, 0)$$，故$$c = \sqrt{3}$$。双曲线$$E$$的方程为$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，点$$M$$在$$E$$上且$$MF_2$$垂直于$$x$$轴，设$$M(c, y)$$。

代入双曲线方程得$$\frac{c^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，且$$|MF_2| = |y| = 2$$。由$$c^2 = a^2 + b^2$$及离心率$$e = \frac{c}{a}$$，解得$$e = \sqrt{3}$$，选项C正确。

8. 解析：

方程表示点$$(x,y)$$到$$(-1,0)$$和$$(1,0)$$的距离差为1，符合双曲线定义。由于差为1小于两焦点距离2，表示双曲线的右支，选项D正确。

9. 解析：

设双曲线离心率为$$e$$，内切圆性质及几何关系可得$$|PQ| = \sqrt{2}$$，推导得$$e = \sqrt{2}$$，选项A正确。

10. 解析：

以$$F_1 F_2$$为直径的圆方程为$$x^2 + y^2 = c^2$$，与双曲线交点$$P$$满足$$|PO| = |PF_2|$$，故$$P$$在$$F_2$$的垂直平分线上。由几何关系及双曲线定义，解得离心率$$e = \sqrt{5}$$，选项C正确。

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