双曲线的其他性质-双曲线知识点考前进阶自测题答案-四川省等高一数学选择必修,平均正确率54.0%

1、['双曲线的其他性质']

正确率80.0%已知点$${{P}}$$是双曲线$${{E}}$$：$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的右支上一点$${，{{F}_{1}}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$${{E}}$$的左、右焦点$${，{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{2}{0}{，}}$$则点$${{P}}$$的横坐标为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$$\frac{1 6} {3}$$

D.$$\frac{2 0} {3}$$

2、['双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '双曲线的定义']

正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0， a \neq b )$$的左右焦点，$${{P}}$$为双曲线右支上异于顶点的任一点，$${{O}}$$为坐标原点，则下列说法正确的是$${{(}{)}}$$

A.$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆圆心在直线$$x=\frac{a} {2}$$上

B.$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆圆心在直线$${{x}{=}{b}}$$上

C.$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆圆心在直线$${{O}{P}}$$上

D.$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆经过点$${{(}{a}{，}{0}{)}}$$

3、['双曲线的其他性质'， '双曲线的标准方程']

正确率60.0%等轴双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$过点$${{P}{{(}{\sqrt {2}}{，}{−}{1}{)}}}$$，则$${{a}{+}{b}{=}{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{2}}$$或$${{−}{2}}$$

D.$${{0}}$$或$${{2}}$$或$${{−}{2}}$$

4、['双曲线的离心率'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%焦点在坐标轴上的双曲线$${{C}}$$的一个焦点为$${{F}}$$，另外一支的顶点为$${{A}}$$，若线段$${{F}{A}}$$的中垂线与双曲线$${{C}}$$没有公共点，则双曲线$${{C}}$$的离心率的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{1}{，}{3}{)}}$$

B.$${{(}{1}{，}{3}{]}}$$

C.$${{[}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$

D.$${{(}{2}{，}{3}{)}}$$

5、['双曲线的其他性质'， '双曲线的定义']

正确率60.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的两个焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，双曲线上一点$${{P}}$$到$${{F}_{1}}$$的距离是$$\frac{1 7} {2}，$$则$${{P}}$$到$${{F}_{2}}$$的距离是（）

A.$$\frac{3 3} {2}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$或$$\frac{3 3} {2}$$

D.$$\frac{1} {2}$$或$$\frac{3 7} {2}$$

6、['双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']

正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {2}-y^{2}=1，$$点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为其两个焦点，点$${{P}}$$为双曲线上一点，若$${{P}{{F}_{1}}{⊥}{P}{{F}_{2}}}$$，则$${{△}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的面积是$${{(}{)}}$$

A.$${{4}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\frac{1} {2}$$

7、['双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {1 5}=1$$的左$${、}$$右焦点，$${{P}}$$是双曲线右支上一点，且$${{∠}{P}{{F}_{2}}{{F}_{1}}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}}$$则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为（）

A.$${{1}{0}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{1}{5}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{2}{0}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{3}{0}{\sqrt {3}}}$$

9、['双曲线的离心率'， '点与圆的位置关系'， '双曲线的渐近线'， '两直线的交点坐标'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%设双曲线的左准线与两条渐近线交于$${{A}{、}{B}}$$两点，左焦点在以$${{A}{B}}$$为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A.$${{(}{0}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$

B.$${{(}{1}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$

C.$$\left( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 \right)$$

D.$${{(}{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{)}}$$

10、['双曲线的渐近线'， '双曲线的其他性质']

正确率40.0%双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {2}=1$$的右焦点为$${{F}}$$，点$${{P}}$$为$${{C}}$$的一条渐近线的点，$${{O}}$$为坐标原点$${{.}}$$若$${{|}{P}{O}{|}{=}{|}{P}{F}{|}{，}}$$则$${{△}{P}{F}{O}}$$的面积为（）

A.$$\frac{3 \sqrt2} {4}$$

B.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$

C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{3}{\sqrt {2}}}$$

1. 双曲线 $$E: \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$$ 的焦距为 $$2c = 2\sqrt{16 + 9} = 10$$，所以 $$F_1 = (-5, 0)$$，$$F_2 = (5, 0)$$。设点 $$P(x, y)$$ 在右支上，则 $$x \geq 4$$。三角形 $$PF_1F_2$$ 的面积为： $$S = \frac{1}{2} \times 10 \times |y| = 20 \Rightarrow |y| = 4$$ 代入双曲线方程： $$\frac{x^2}{16} - \frac{16}{9} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{16} = \frac{25}{9} \Rightarrow x^2 = \frac{400}{9} \Rightarrow x = \frac{20}{3}$$ 答案为 $$\boxed{D}$$。

2. 对于双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，内切圆圆心在角平分线上。由于 $$P$$ 在右支上，内切圆圆心在直线 $$x = \frac{a}{2}$$ 上。答案为 $$\boxed{A}$$。

3. 等轴双曲线满足 $$a = b$$，代入点 $$P(\sqrt{2}, -1)$$： $$\frac{2}{a^2} - \frac{1}{a^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a^2} = 1 \Rightarrow a = \pm 1$$ 因此 $$a + b = 2$$ 或 $$-2$$。答案为 $$\boxed{C}$$。

4. 设双曲线为 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦点 $$F = (c, 0)$$，顶点 $$A = (a, 0)$$。中垂线为 $$x = \frac{a + c}{2}$$。要求中垂线与双曲线无交点，需满足： $$\frac{(a + c)^2}{4a^2} > 1 \Rightarrow \frac{a + c}{2a} > 1 \Rightarrow c > a$$ 但离心率 $$e = \frac{c}{a} > 1$$ 且需进一步限制。解得 $$e \in (1, 3)$$。答案为 $$\boxed{A}$$。

5. 双曲线定义 $$|PF_1 - PF_2| = 2a = 8$$。已知 $$PF_1 = \frac{17}{2}$$，则： $$PF_2 = \frac{17}{2} \pm 8 = \frac{33}{2}$$ 或 $$\frac{1}{2}$$ 由于 $$P$$ 在右支上，$$PF_2 \geq c - a = 1$$，所以两个解均有效。答案为 $$\boxed{C}$$。

6. 双曲线 $$\frac{x^2}{2} - y^2 = 1$$ 的焦距 $$c = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$$。设 $$P(x, y)$$，由 $$PF_1 \perp PF_2$$ 得： $$(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) + y^2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 3$$ 结合双曲线方程解得 $$x^2 = \frac{8}{3}$$，$$y^2 = \frac{1}{3}$$。面积为： $$S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2$$ 答案为 $$\boxed{B}$$。

7. 双曲线 $$x^2 - \frac{y^2}{15} = 1$$ 的焦距 $$c = \sqrt{1 + 15} = 4$$。设 $$PF_2 = x$$，则 $$PF_1 = x + 2$$。在 $$\triangle PF_1F_2$$ 中应用余弦定理： $$(x + 2)^2 = x^2 + 8^2 - 2 \times x \times 8 \times \cos 60^\circ \Rightarrow x = 10$$ 面积为： $$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 \times \sin 60^\circ = 20\sqrt{3}$$ 答案为 $$\boxed{C}$$。

9. 双曲线的左准线为 $$x = -\frac{a^2}{c}$$，渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。交点 $$A$$ 和 $$B$$ 的坐标为 $$\left(-\frac{a^2}{c}, \pm \frac{b a}{c}\right)$$。左焦点 $$(-c, 0)$$ 在圆内需满足： $$c^2 < \left(\frac{a^2}{c}\right)^2 + \left(\frac{b a}{c}\right)^2 \Rightarrow c^4 < a^4 + a^2 b^2$$ 结合 $$c^2 = a^2 + b^2$$，解得 $$e \in (1, \sqrt{2})$$。答案为 $$\boxed{B}$$。

10. 双曲线 $$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$$ 的右焦点 $$F = (\sqrt{6}, 0)$$，渐近线为 $$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$$。设 $$P(x, y)$$ 在渐近线上，满足 $$PO = PF$$： $$x^2 + y^2 = (x - \sqrt{6})^2 + y^2 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ 代入渐近线方程得 $$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$。面积为： $$S = \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$$ 答案为 $$\boxed{A}$$。

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