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正确率60.0%直线$$y=x-1$$被双曲线$$2 x^{2}-y^{2}=3$$所截得的弦的中点坐标是（）
C
A.$$( 1， ~ 2 )$$
B.$$(-2， ~-1 )$$
C.$$(-1， ~-2 )$$
D.$$( 2， ~ 1 )$$
2、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的两条渐近线与直线$$x=\frac{a^{2}} {c}$$分别相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且线段$${{A}{B}}$$的长等于双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的渐近线方程为（）
B
A.$${{y}{=}{±}{x}}$$
B.$$y=\pm\sqrt{3} x$$
C.$$y=\pm\frac{\sqrt{3}} {3} x$$
D.$$y=\pm\sqrt{2} x$$
3、['直线与双曲线的综合应用']正确率60.0%已知直线被双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {2}=1$$截得弦$${{A}{B}{，}}$$弦$${{A}{B}}$$的中点为$$M ( 4， \ 2 )，$$则直线$${{A}{B}}$$的斜率为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{2}}$$
4、['直线与双曲线的综合应用']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a， b > 0 )$$的左右焦点分别为$$F_{1} (-c， 0 )$$，$$F_{2} ( c， 0 )$$，过点$${{F}_{1}}$$作直线$${{l}}$$与双曲线的左、右两支分别交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，若$${{F}_{2}}$$到直线$${{l}}$$的距离为$${{c}}$$，且$$| A F_{2} |=| B F_{2} |$$，则该双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用'， '两条直线平行']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \cdot a > 0， \cdot b > 0 )$$的一条渐近线与直线$$l \colon~ x-y+2=0$$平行，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
B
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
6、['直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$E_{:} \ \frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$的左$${、}$$右焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过点$${{F}_{1}}$$的直线与双曲线$${{E}}$$的左支交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A F_{2}}=0，$$则$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$的内切圆面积为（）
D
A.$${{7}{2}{π}}$$
B.$$( \sqrt{1 4}-2 ) \， \， \pi$$
C.$$( 9-2 \sqrt{1 4} ) ~ \pi$$
D.$$( 1 8-4 \sqrt{1 4} ) ~ \pi$$
7、['双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%过双曲线$$\Gamma: x^{2}-y^{2}=1$$上任意点$${{P}}$$作双曲线$${{Γ}}$$的切线，交双曲线$${{Γ}}$$两条渐近线分别交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{O}}$$为坐标原点，则$${{Δ}{A}{O}{B}}$$的面积为（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$.
8、['直线与双曲线的综合应用']正确率40.0%已知双曲线中心在原点且一个焦点为$$F ( \sqrt{7}， 0 )$$，直线$$y=x-1$$与其相交于$${{M}}$$，$${{N}}$$两点，$${{M}{N}}$$中点的横坐标为$$- \frac2 3$$，则此双曲线的方程是$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {5}-\frac{y^{2}} {2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {5}=1$$
正确率80.0%“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的$${{(}{)}}$$
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10、['直线与双曲线的综合应用']正确率40.0%已知双曲线的中心在原点且一个焦点为$$F ( \sqrt{7}， 0 )$$，直线$$y=x-1$$与其相交于$${{M}}$$，$${{N}}$$两点，若$${{M}{N}}$$中点的横坐标为$$- \frac2 3$$，则此双曲线的方程是$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {5}-\frac{y^{2}} {2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {5}=1$$
1. 解析：
将直线方程 $$y = x - 1$$ 代入双曲线方程 $$2x^2 - y^2 = 3$$，得到：
$$2x^2 - (x - 1)^2 = 3$$
展开整理后为：
$$x^2 + 2x - 4 = 0$$
设方程的两个根为 $$x_1$$ 和 $$x_2$$，则中点的横坐标为：
$$\frac{x_1 + x_2}{2} = -1$$
代入直线方程得纵坐标：
$$y = -1 - 1 = -2$$
因此，中点坐标为 $$(-1, -2)$$，对应选项 C。
2. 解析：
双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。与直线 $$x = \frac{a^2}{c}$$ 的交点为：
$$A\left(\frac{a^2}{c}, \frac{b a}{c}\right), B\left(\frac{a^2}{c}, -\frac{b a}{c}\right)$$
线段 $$AB$$ 的长度为：
$$2 \cdot \frac{b a}{c}$$
双曲线焦点 $$(c, 0)$$ 到渐近线 $$bx - ay = 0$$ 的距离为：
$$\frac{b c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{b c}{c} = b$$
由题意得：
$$2 \cdot \frac{b a}{c} = b \Rightarrow \frac{2a}{c} = 1 \Rightarrow c = 2a$$
又因为 $$c^2 = a^2 + b^2$$，代入得：
$$4a^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow b^2 = 3a^2 \Rightarrow \frac{b}{a} = \sqrt{3}$$
因此，渐近线方程为 $$y = \pm \sqrt{3}x$$，对应选项 B。
3. 解析：
设直线 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y - 2 = k(x - 4)$$。代入双曲线方程：
$$\frac{x^2}{4} - \frac{(k(x - 4) + 2)^2}{2} = 1$$
展开整理后，利用中点 $$(4, 2)$$ 的性质，可得：
$$k = 1$$
因此，斜率为 1，对应选项 A。
4. 解析：
由题意，直线 $$l$$ 与双曲线左右两支相交，且 $$|AF_2| = |BF_2|$$，说明 $$l$$ 为双曲线的切线。焦点 $$F_2$$ 到直线 $$l$$ 的距离为 $$c$$，结合双曲线的几何性质，推导出离心率：
$$e = \sqrt{2}$$
对应选项 A。
5. 解析：
双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，与直线 $$x - y + 2 = 0$$ 平行，故斜率为 1：
$$\frac{b}{a} = 1 \Rightarrow b = a$$
离心率：
$$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{2}$$
对应选项 B。
6. 解析：
由双曲线方程 $$E: \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$$，得 $$a = 2$$，$$b = \sqrt{5}$$，$$c = 3$$。利用向量条件 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF_2} = 0$$，结合几何性质，推导出内切圆半径，最终面积为：
$$(18 - 4\sqrt{14})\pi$$
对应选项 D。
7. 解析：
双曲线 $$\Gamma: x^2 - y^2 = 1$$ 的渐近线为 $$y = \pm x$$。切线与双曲线相切于点 $$P$$，交渐近线于 $$A$$ 和 $$B$$。利用切线性质，推导出三角形 $$AOB$$ 的面积为定值：
$$1$$
对应选项 D。
8. 解析：
设双曲线方程为 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦点 $$F(\sqrt{7}, 0)$$，故 $$c = \sqrt{7}$$，$$a^2 + b^2 = 7$$。将直线 $$y = x - 1$$ 代入双曲线方程，利用中点横坐标为 $$-\frac{2}{3}$$，解得：
$$a^2 = 3$$，$$b^2 = 4$$
因此，双曲线方程为 $$\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{4} = 1$$，对应选项 A。
9. 解析：
直线与双曲线相切时，必然只有一个公共点；但直线与双曲线的一个分支相交且与渐近线平行时，也可能只有一个公共点。因此，“相切”是“只有一个公共点”的充分不必要条件，对应选项 A。
10. 解析：
与第 8 题相同，双曲线方程为 $$\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{4} = 1$$，对应选项 A。