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正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的离心率为$${{e}}$$，其中一条渐近线的倾斜角$${{θ}}$$的取值范围是$$[ \frac{\pi} {6}， \ \frac{\pi} {3} ]$$，其斜率为$${{k}}$$，则$$\frac{e^{2}} {k}$$的取值范围是（）
D
A.$$( 1， ~ \sqrt{3} ]$$
B.$$( 1， ~ \frac{4 \sqrt{3}} {3} ]$$
C.$$[ 2， ~ 2 \sqrt{3} ]$$
D.$$[ 2， ~ \frac{4 \sqrt{3}} {3} ]$$
2、['双曲线的离心率'， '平面向量数乘的坐标运算'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的两个焦点，$$| F_{1} F_{2} |=2 \sqrt{3}$$，离心率为$$\frac{\sqrt{6}} {2}， ~ M ( x_{0}， y_{0} )$$是双曲线$${{C}}$$上的一点，若$$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot\overrightarrow{M F_{2}} < 0，$$则$${{y}_{0}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$(-\frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{3}} {3} )$$
B.$$(-\frac{\sqrt{3}} {6}， \frac{\sqrt{3}} {6} )$$
C.$$(-\frac{2 \sqrt{2}} {3}， \frac{2 \sqrt{2}} {3} )$$
D.$$(-\frac{2 \sqrt{3}} {3}， \frac{2 \sqrt{3}} {3} )$$
3、['双曲线的渐近线'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量基本定理'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知直线$${{y}{=}{2}}$$与双曲线$$\Gamma\colon\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {4}=1$$的渐近线交于$${{M}{，}{N}}$$两点，任取双曲线$${{Γ}}$$上的一点$${{P}}$$，若$$\overrightarrow{O P}=\lambda\overrightarrow{O M}+\mu\overrightarrow{O N} \ ( \lambda， \ \mu\in R ) \; \;，$$则（）
D
A.$$\lambda+\mu=-\frac1 4$$
B.$$\lambda-\mu=-\frac1 4$$
C.$$\lambda\mu=-\frac1 4$$
D.$$\frac{\lambda} {\mu}=-\frac{1} {4}$$
4、['向量坐标与向量的数量积'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {2}-y^{2}=1$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$$M ( x_{0}， y_{0} )$$在双曲线上，且满足$$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot\overrightarrow{M F_{2}} \leqslant0$$，则$${{y}_{0}}$$取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$[-\frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{3}} {3} ]$$
B.$$[-\frac{\sqrt{3}} {6}， \frac{\sqrt{3}} {6} ]$$
C.$$[-\frac{2 \sqrt{3}} {3}， \frac{2 \sqrt{3}} {3} ]$$
D.$$[-\frac{3 \sqrt{2}} {2}， \frac{3 \sqrt{2}} {2} ]$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )，$$点$${{B}}$$的坐标为$$( 0， \ b )，$$若$${{C}}$$上的任意一点$${{P}}$$都满足$$| P B | \geqslant b，$$则$${{C}}$$的离心率的取值范围是（）
A
A.$$\left( 1， ~ \frac{\sqrt{5}+1} {2} \right]$$
B.$${\binom{\sqrt{5}+1} {2}}， ~+\infty)$$
C.$${{(}{1}{\sqrt {2}}{]}}$$
D.$$[ \sqrt{2}+\infty)$$
6、['利用基本不等式求最值'， '双曲线的标准方程'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知方程$$m x^{2}+~ ( m-3 ) ~ y^{2}=1$$表示双曲线，则此双曲线的焦距的最小值为（）
A
A.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
B.$${\sqrt {6}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率60.0%设双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的右焦点为$${{F}}$$，右顶点为$${{A}}$$，过$${{F}}$$作$${{A}{F}}$$的垂线与双曲线交于$${{B}{，}{C}}$$两点，过$${{B}{，}{C}}$$分别作$$A B， \ A C$$的垂线交于$${{D}}$$，若$${{D}}$$到直线$${{B}{C}}$$的距离不小于$${{a}{+}{c}}$$，则该双曲线的离心率的取值范围是（）
C
A.$$( 1， ~ \sqrt{2} ]$$
B.$$( {\bf1}， {\bf\mu2} ]$$
C.$$[ \sqrt{2}， ~+\infty)$$
D.$$[ 2， ~+\infty)$$
8、['点到直线的距离'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知双曲线$$C : \frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{P}}$$是双曲线$${{C}}$$右支上的一动点，$${{∠}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的平分线与直线$${{x}{=}{4}}$$相交于点$$R ( 4， t )$$，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-\frac{4} {3}， \frac{4} {3} )$$
B.$$(-3， 3 )$$
C.$$(-4， 4 )$$
D.$$(-5， 5 )$$
9、['双曲线的离心率'， '抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=4 x$$的准线与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-y^{2}=1 \， ( a > 0 )$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，点$${{F}}$$为抛物线的焦点，若$${{Δ}{F}{A}{B}}$$为直角三角形，则双曲线的离心率是（）
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {6}}$$
10、['双曲线的离心率'， '双曲线的对称性'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，双曲线$${{C}}$$与圆$$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$$在第一象限的交点为$$P， \， \， \bot P F_{1} F_{2}$$的角平分线与$${{P}{{F}_{2}}}$$交于点$${{Q}}$$，若$$4 \left| P Q \right|=3 \left| F_{2} Q \right|$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{6}{+}{2}{\sqrt {7}}}$$
B.$${{3}{+}{\sqrt {7}}}$$
C.$${{6}{−}{2}{\sqrt {7}}}$$
D.$${{4}{−}{\sqrt {7}}}$$
1. 已知双曲线$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$的离心率$$e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$$，渐近线斜率$$k=\tan\theta$$，其中$$\theta\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]$$。
计算$$\frac{e^{2}}{k}=\frac{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}{\tan\theta}=\frac{1+k^{2}}{k}=k+\frac{1}{k}$$。
函数$$f(k)=k+\frac{1}{k}$$在$$k\in\left[\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right]$$上，最小值为$$f(1)=2$$，最大值为$$f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$。
因此取值范围是$$\left[2,\frac{4\sqrt{3}}{3}\right]$$，选D。
2. 由题意$$2c=2\sqrt{3}$$得$$c=\sqrt{3}$$，离心率$$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$，解得$$a=\sqrt{2}$$，$$b=1$$。
双曲线方程为$$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$$。设$$M(x_{0},y_{0})$$，则$$\overrightarrow{MF_{1}}=(-\sqrt{3}-x_{0},-y_{0})$$，$$\overrightarrow{MF_{2}}=(\sqrt{3}-x_{0},-y_{0})$$。
点积$$\overrightarrow{MF_{1}}\cdot\overrightarrow{MF_{2}}=x_{0}^{2}-3+y_{0}^{2}<0$$，结合双曲线方程得$$y_{0}^{2}<\frac{1}{3}$$，即$$y_{0}\in\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$，选A。
3. 双曲线$$\Gamma$$的渐近线为$$y=\pm\frac{2}{3}x$$，与$$y=2$$的交点$$M(-3,2)$$，$$N(3,2)$$。
设$$P(x,y)$$在双曲线上，由$$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OM}+\mu\overrightarrow{ON}$$得$$x=-3\lambda+3\mu$$，$$y=2\lambda+2\mu$$。
代入双曲线方程得$$\frac{(-3\lambda+3\mu)^{2}}{9}-\frac{(2\lambda+2\mu)^{2}}{4}=1$$，化简得$$\lambda\mu=-\frac{1}{4}$$，选C。
4. 双曲线$$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$$的焦点$$F_{1}(-\sqrt{3},0)$$，$$F_{2}(\sqrt{3},0)$$。
点$$M(x_{0},y_{0})$$满足$$\overrightarrow{MF_{1}}\cdot\overrightarrow{MF_{2}}=x_{0}^{2}-3+y_{0}^{2}\leq0$$，结合双曲线方程得$$y_{0}^{2}\leq\frac{1}{3}$$，即$$y_{0}\in\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$，选A。
5. 点$$B(0,b)$$，对于双曲线上任意点$$P(x,y)$$，有$$|PB|=\sqrt{x^{2}+(y-b)^{2}}\geq b$$。
化简得$$x^{2}+y^{2}-2by\geq0$$，结合双曲线方程得$$\frac{y^{2}}{b^{2}}\leq\frac{c^{2}}{a^{2}}$$。
要求对所有$$y$$成立，需$$\frac{b^{2}}{a^{2}}\geq1$$，即离心率$$e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}\geq\sqrt{2}$$，选D。
6. 方程$$mx^{2}+(m-3)y^{2}=1$$表示双曲线，需$$m(m-3)<0$$，即$$m\in(0,3)$$。
焦距$$2c=2\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{3-m}}$$，最小值为$$2\sqrt{\frac{1}{\frac{3}{2}}+\frac{1}{\frac{3}{2}}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$，当$$m=\frac{3}{2}$$时取得，选A。
7. 设双曲线右焦点$$F(c,0)$$，右顶点$$A(a,0)$$，过$$F$$的垂线方程为$$x=c$$，与双曲线交于$$B(c,\frac{b^{2}}{a})$$，$$C(c,-\frac{b^{2}}{a})$$。
由几何性质得$$D$$到$$BC$$的距离$$\geq a+c$$，解得$$e\in(1,\sqrt{2}]$$，选A。
8. 双曲线$$C$$的焦点$$F_{1}(-5,0)$$，$$F_{2}(5,0)$$。设$$P(x_{0},y_{0})$$在右支上，由角平分线定理得$$\frac{t}{y_{0}}=\frac{1}{3}$$，故$$t\in\left(-\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)$$，选A。
9. 抛物线准线$$x=-1$$与双曲线$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$$交于$$A(-1,\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}})$$，$$B(-1,-\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}})$$。
焦点$$F(1,0)$$，由$$\triangle FAB$$为直角三角形得$$a=1$$，离心率$$e=\sqrt{2}$$，选A。
10. 设圆与双曲线在第一象限交点为$$P$$，由几何性质及角平分线定理得$$4|PQ|=3|F_{2}Q|$$，解得离心率$$e=3+\sqrt{7}$$，选B。