双曲线的定义-3.2 双曲线知识点课后进阶选择题自测题解析-浙江省等高一数学选择必修,平均正确率54.0%

1、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '双曲线的定义']

正确率60.0%双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$，过$${{F}_{1}}$$的直线$${{l}}$$与$${{y}}$$轴交于点$${{A}}$$、与双曲线右支交于点$${{B}}$$，若$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$为等边三角形，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${\sqrt {6}}$$

2、['正弦定理及其应用'， '圆锥曲线中求轨迹方程'， '双曲线的定义'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%已知锐角$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， B， C$$所对边分别为$$a， b， c$$，若$$a=4， \， \， \， \operatorname{s i n} B-\operatorname{s i n} C=\frac{1} {2} \operatorname{s i n} A$$，则$${{B}{C}}$$边上中线长的取值范围为

A.$$( 1， \， 3 )$$

B.$$( 2， \， \sqrt{1 3} )$$

C.$$( 2， \， \sqrt{1 0} )$$

D.$$( 1， \， \sqrt{7} )$$

3、['双曲线的对称性'， '双曲线的定义']

正确率40.0%已知双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}，$$直线$${{y}{=}{k}{x}}$$与双曲线$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A B |=| F_{1} F_{2} |，$$则$${{△}{A}{B}{{F}_{1}}}$$的面积为（）

A.$${{1}{8}}$$

B.$${{1}{0}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{6}}$$

4、['双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率60.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$${{C}}$$：$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$的两个焦点，$${{O}}$$为坐标原点，点$${{P}}$$在$${{C}}$$上且$$| O P |=2，$$则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{3}}$$

C.$$\frac{5} {2}$$

D.$${{2}}$$

5、['双曲线的定义']

正确率60.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {2 5}-\frac{y^{2}} {2 4}=1$$的两个焦点为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，双曲线上一点$${{P}}$$到$${{F}_{1}}$$的距离为$${{1}{1}}$$，则点$${{P}}$$到$${{F}_{2}}$$的距离为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}{1}}$$

C.$${{1}}$$或$${{2}{1}}$$

D.$${{2}}$$或$${{2}{1}}$$

6、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {2 5}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{M}}$$在双曲线的左支上，$$| M F_{2} |=1 8$$，$${{N}}$$为线段$${{M}{{F}_{2}}}$$的中点，$${{O}}$$为坐标原点，则$${{|}{N}{O}{|}}$$等于（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

7、['双曲线的定义']

正确率60.0%设定点$$F_{1} \， \， ( \mathbf{0}， \mathbf{\Lambda}-\mathbf{3} ) \， \，， \ \， F_{2} \， \， ( \mathbf{0}， \mathbf{\Lambda} 3 )$$，动点$$P \left( \begin{matrix} {x， \ y} \\ \end{matrix} \right)$$满足条件$$| P F_{1} |-| P F_{2} |=4$$，则动点$${{P}}$$的轨迹是（）

A.双曲线

B.双曲线一支

C.不存在

D.双曲线或线段或不存在

8、['双曲线的离心率'， '双曲线的定义']

正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点，$${{P}}$$为双曲线右支上一点，线段$${{F}_{2}{P}}$$的垂直平分线过坐标原点$${{O}}$$，若$$| P F_{1} |=2 | P F_{2} |$$，则双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${\sqrt {5}}$$

9、['等差中项'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率60.0%已知$$\overrightarrow{M F}=\overrightarrow{F N}， \therefore-y_{1}=y_{2}， x_{1}+x_{2}=2 c$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的左$${、}$$右焦点，过左焦点$${{F}_{1}}$$的直线交双曲线的左支于$${{A}}$$ $${、}$$$${{B}}$$ 两点，且$${{|}{A}{B}{|}}$$ 是$${{|}{A}{{F}_{2}}{|}}$$ 与$${{|}{B}{{F}_{2}}{|}}$$ 的等差中项，则$${{|}{A}{B}{|}}$$ 等于（）

A.$${{2}{0}}$$

B.$${{1}{6}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{4}}$$

10、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']

正确率40.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的左$${、}$$右焦点，点$${{P}}$$在双曲线的右支上，且$$| P F_{2} |=| F_{1} F_{2} | \，， \， \， F_{2}$$到直线$${{P}{{F}_{1}}}$$的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）

A.$$\frac{5} {4}$$

B.$$\frac{5} {3}$$

C.$$\frac{4} {3}$$

D.$$\frac{1+\sqrt{7}} {3}$$

1. 解析：

设双曲线的焦距为$$2c$$，则$$c^2 = a^2 + b^2$$。由题意，直线$$l$$过$$F_1$$且与$$y$$轴交于点$$A$$，与双曲线右支交于点$$B$$。由于$$△ABF_2$$为等边三角形，故$$|AB| = |AF_2| = |BF_2|$$。利用双曲线的性质，$$|BF_2| - |BF_1| = 2a$$。结合几何关系，可以推导出$$c = 2a$$，因此离心率$$e = \frac{c}{a} = 2$$。答案为$$C$$。

2. 解析：

由正弦定理，$$\sin B - \sin C = \frac{1}{2} \sin A$$转化为边的关系为$$b - c = 2$$。由于$$a = 4$$，利用余弦定理和中线公式，可以求出中线$$m_a$$的范围为$$(2, \sqrt{13})$$。答案为$$B$$。

3. 解析：

双曲线$$C$$的焦距$$|F_1F_2| = 2c = 10$$。直线$$y = kx$$与双曲线交于$$A, B$$两点，且$$|AB| = 10$$。通过联立方程和距离公式，可以求出$$k$$的值，进而计算$$△ABF_1$$的面积为$$18$$。答案为$$A$$。

4. 解析：

双曲线$$C$$的焦距$$|F_1F_2| = 2c = 4$$。点$$P$$在双曲线上且$$|OP| = 2$$。利用双曲线的性质和勾股定理，可以求出$$△PF_1F_2$$的面积为$$\frac{3}{2}$$。但进一步计算发现面积为$$3$$。答案为$$B$$。

5. 解析：

双曲线的性质为$$|PF_2| - |PF_1| = 2a = 10$$。已知$$|PF_1| = 11$$，则$$|PF_2| = 21$$。答案为$$B$$。

6. 解析：

双曲线的焦距$$|F_1F_2| = 2c = 2\sqrt{34}$$。点$$M$$在左支上，$$|MF_2| = 18$$，由双曲线性质$$|MF_2| - |MF_1| = 2a = 10$$，得$$|MF_1| = 8$$。$$N$$为$$MF_2$$的中点，利用中点公式和勾股定理，可以求出$$|NO| = 4$$。答案为$$D$$。

7. 解析：

定点$$F_1(0, -3)$$和$$F_2(0, 3)$$，动点$$P$$满足$$|PF_1| - |PF_2| = 4$$。根据双曲线的定义，这是双曲线的一支。答案为$$B$$。

8. 解析：

由题意，$$|PF_1| = 2|PF_2|$$，结合双曲线性质$$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$，得$$|PF_2| = 2a$$。由于$$F_2P$$的垂直平分线过原点，利用几何关系可以推导出离心率$$e = \sqrt{3}$$。答案为$$B$$。

9. 解析：

双曲线的焦距$$|F_1F_2| = 2c = 10$$。由题意，$$|AB|$$是$$|AF_2|$$与$$|BF_2|$$的等差中项，即$$2|AB| = |AF_2| + |BF_2|$$。利用双曲线性质和中点公式，可以求出$$|AB| = 16$$。答案为$$B$$。

10. 解析：

由题意，$$|PF_2| = |F_1F_2| = 2c$$，且$$F_2$$到直线$$PF_1$$的距离等于$$2a$$。利用几何关系和勾股定理，可以推导出离心率$$e = \frac{5}{3}$$。答案为$$B$$。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}