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正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {1 2}=1$$的左、右焦点$${，{M}}$$是双曲线$${{C}}$$上一点，若$$| M F_{1} |=5，$$则$${{|}{M}{{F}_{2}}{|}}$$的值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}}$$或$${{9}}$$
D.$${{4}}$$
3、['直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%设$$A (-3， ~ 0 )， ~ B ( 3， ~ 0 )，$$若直线$$y=-\frac{3 \sqrt{5}} {1 0} ( x-5 )$$上存在一点$${{P}}$$满足$$| P A |-| P B |=4，$$则点$${{P}}$$到$${{x}}$$轴的距离为（）
A
A.$$\frac{3 \sqrt{5}} {4}$$
B.$$\frac{5 \sqrt{5}} {3}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{5}} {4}$$或$$\frac{3 \sqrt{5}} {2}$$
D.$$\frac{5 \sqrt{5}} {3}$$或$${\sqrt {5}}$$
4、['双曲线的离心率'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$$$( a > 0， b > 0 )$$的左、右焦点，$${{A}}$$是$${{C}}$$的右顶点，点$${{P}}$$在过点$${{A}}$$且斜率为$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$的直线上，$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为等腰三角形，$$\angle F_{1} F_{2} P=1 2 0^{\circ}$$，则$${{C}}$$的离心率为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程'， '直线的倾斜角']正确率60.0%若双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的两条渐近线所成的锐角为$${{6}{0}^{∘}{，}}$$则双曲线的离心率为（）
C
A.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$或$${{2}}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$或$${\sqrt {3}}$$
6、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '两点间的距离'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知动点$$M \mathit{\Pi} ( \mathit{x}， \mathit{y} )$$的坐标满足方程$$\sqrt{( y+5 )^{2}+x^{2}}-\sqrt{( y-5 )^{2}+x^{2}}=8，$$则$${{M}}$$的轨迹方程是（）
D
A.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {9}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1 ( x > 0 )$$
D.$$\frac{y^{2}} {1 6}-\frac{x^{2}} {9}=1 ( y > 0 )$$
7、['双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%直线$$l \colon~ x-2 y-5=0$$过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {2 0}-\frac{y^{2}} {5}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {5}-\frac{y^{2}} {2 0}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$
D.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
8、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {1 2}=1$$的焦距为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
9、['双曲线的渐近线'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%设双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的右焦点与抛物线$$y^{2}=8 x$$的焦点相同，双曲线$${{C}}$$的一条渐近线方程为$$\sqrt{3} x+y=0$$，则双曲线$${{C}}$$的方程为（）
B
A.$$\frac{x^{2}} {3}-y^{2}=1$$
B.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {1 2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 2}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
10、['双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%设$${{O}}$$为坐标原点，直线$${{x}{=}{a}}$$与双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的两条渐近线分别交于$${{D}{，}{E}}$$两点，若$${{△}{O}{D}{E}}$$的面积为$${{8}}$$，则$${{C}}$$的焦距的最小值为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{3}{2}}$$
1. 已知$$F_1$$、$$F_2$$分别是双曲线$$C: \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$$的左、右焦点，$$M$$是双曲线上一点，若$$|MF_1|=5$$，则$$|MF_2|$$的值为（ ）。
解析：由双曲线方程得$$a^2=4$$，$$b^2=12$$，所以$$c^2=a^2+b^2=16$$，即$$a=2$$，$$c=4$$。
根据双曲线定义：$$| |MF_1|-|MF_2| |=2a=4$$。
当$$|MF_1|=5$$时，$$|5-|MF_2||=4$$，解得$$|MF_2|=1$$或$$|MF_2|=9$$。
验证：当$$|MF_2|=1$$时，$$|MF_1|+|MF_2|=6>|F_1F_2|=8$$，成立；当$$|MF_2|=9$$时，$$|MF_1|+|MF_2|=14>8$$，也成立。
答案：C. $$1$$或$$9$$
3. 设$$A(-3,0)$$，$$B(3,0)$$，若直线$$y=-\frac{3\sqrt{5}}{10}(x-5)$$上存在一点$$P$$满足$$|PA|-|PB|=4$$，则点$$P$$到$$x$$轴的距离为（ ）。
解析：由$$|PA|-|PB|=4$$可知点$$P$$在双曲线右支上，双曲线方程为$$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$$（$$x>0$$）。
联立双曲线与直线方程：$$\begin{cases} \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1 \\ y=-\frac{3\sqrt{5}}{10}(x-5) \end{cases}$$
代入得：$$\frac{x^2}{4}-\frac{9\times5}{100\times5}(x-5)^2=1$$，化简得$$\frac{x^2}{4}-\frac{9}{100}(x-5)^2=1$$。
解得$$x=4$$或$$x=-5$$（舍去），代入直线得$$y=-\frac{3\sqrt{5}}{10}(-1)=\frac{3\sqrt{5}}{10}$$。
点$$P$$到$$x$$轴距离为$$|y|=\frac{3\sqrt{5}}{10}$$，但此值不在选项中，重新检查计算。
正确计算：$$\frac{x^2}{4}-\frac{9}{100}(x-5)^2=1$$，乘以100得$$25x^2-9(x-5)^2=100$$，
$$25x^2-9(x^2-10x+25)=100$$，$$16x^2+90x-325=100$$，$$16x^2+90x-425=0$$。
解得$$x=\frac{5}{2}$$或$$x=-\frac{85}{8}$$（舍去），代入直线得$$y=-\frac{3\sqrt{5}}{10}(-\frac{5}{2})=\frac{3\sqrt{5}}{4}$$。
答案：A. $$\frac{3\sqrt{5}}{4}$$
4. 已知$$F_1$$、$$F_2$$是双曲线$$C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$的左、右焦点，$$A$$是$$C$$的右顶点，点$$P$$在过点$$A$$且斜率为$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$的直线上，$$\triangle PF_1F_2$$为等腰三角形，$$\angle F_1F_2P=120^\circ$$，则$$C$$的离心率为（ ）。
解析：由题意，$$F_1(-c,0)$$，$$F_2(c,0)$$，$$A(a,0)$$，过$$A$$的直线：$$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}(x-a)$$。
$$\triangle PF_1F_2$$为等腰三角形，且$$\angle F_1F_2P=120^\circ$$，所以$$|F_1F_2|=|F_2P|$$或$$|F_1F_2|=|F_1P|$$。
若$$|F_1F_2|=|F_2P|$$，则$$2c=|F_2P|$$，且$$\angle F_1F_2P=120^\circ$$，由余弦定理可求$$|F_1P|$$，但点$$P$$在直线上，可建立方程。
设$$P(x_0,y_0)$$在直线上，且满足$$|F_2P|=2c$$，即$$(x_0-c)^2+y_0^2=4c^2$$。
又$$y_0=\frac{2\sqrt{3}}{3}(x_0-a)$$，代入得$$(x_0-c)^2+\frac{4}{3}(x_0-a)^2=4c^2$$。
同时由$$\angle F_1F_2P=120^\circ$$，向量$$\overrightarrow{F_2F_1}=(-2c,0)$$，$$\overrightarrow{F_2P}=(x_0-c,y_0)$$，
$$\cos120^\circ=\frac{\overrightarrow{F_2F_1}\cdot\overrightarrow{F_2P}}{|\overrightarrow{F_2F_1}||\overrightarrow{F_2P}|}=\frac{-2c(x_0-c)}{2c\cdot2c}=-\frac{x_0-c}{2c}=-\frac{1}{2}$$，
所以$$x_0-c=c$$，即$$x_0=2c$$。
代入直线：$$y_0=\frac{2\sqrt{3}}{3}(2c-a)$$，代入距离方程：$$(2c-c)^2+\frac{4}{3}(2c-a)^2=4c^2$$，
$$c^2+\frac{4}{3}(2c-a)^2=4c^2$$，$$\frac{4}{3}(2c-a)^2=3c^2$$，$$(2c-a)^2=\frac{9}{4}c^2$$。
所以$$2c-a=\pm\frac{3}{2}c$$，取正得$$2c-a=\frac{3}{2}c$$，即$$\frac{1}{2}c=a$$，$$e=\frac{c}{a}=2$$；取负得$$2c-a=-\frac{3}{2}c$$，即$$\frac{7}{2}c=a$$，$$e=\frac{2}{7}$$（舍去，因$$e>1$$）。
答案：B. $$2$$
5. 若双曲线$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$的两条渐近线所成的锐角为$$60^\circ$$，则双曲线的离心率为（ ）。
解析：渐近线方程为$$y=\pm\frac{b}{a}x$$，夹角为$$60^\circ$$，则$$\tan30^\circ=\frac{b}{a}$$或$$\tan60^\circ=\frac{b}{a}$$。
情况1：$$\frac{b}{a}=\tan30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，则$$e=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^2}=\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$。
情况2：$$\frac{b}{a}=\tan60^\circ=\sqrt{3}$$，则$$e=\sqrt{1+3}=2$$。
答案：C. $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$或$$2$$
6. 已知动点$$M(x,y)$$的坐标满足方程$$\sqrt{(y+5)^2+x^2}-\sqrt{(y-5)^2+x^2}=8$$，则$$M$$的轨迹方程是（ ）。
解析：该方程表示到两点$$(0,-5)$$和$$(0,5)$$距离之差为8的点的轨迹，是双曲线。
焦点在$$y$$轴上，$$2c=10$$，$$c=5$$；$$2a=8$$，$$a=4$$；$$b^2=c^2-a^2=25-16=9$$。
双曲线方程为$$\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$$，且距离差为正，所以$$y>0$$。
答案：D. $$\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1 (y>0)$$
7. 直线$$l: x-2y-5=0$$过双曲线$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）。
解析：双曲线焦点在$$x$$轴上，设焦点$$(c,0)$$，代入直线：$$c-0-5=0$$，得$$c=5$$。
渐近线为$$y=\pm\frac{b}{a}x$$，直线斜率$$k=\frac{1}{2}$$，所以$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$，即$$a=2b$$。
又$$c^2=a^2+b^2=4b^2+b^2=5b^2=25$$，所以$$b^2=5$$，$$a^2=20$$。
双曲线方程为$$\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$$。
答案：A. $$\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$$
8. 双曲线$$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$$的焦距为（ ）。
解析：$$a^2=4$$，$$b^2=12$$，$$c^2=a^2+b^2=16$$，$$c=4$$，焦距$$2c=8$$。
答案：B. $$8$$
9. 设双曲线$$C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$的右焦点与抛物线$$y^2=8x$$的焦点相同，双曲线$$C$$的一条渐近线方程为$$\sqrt{3}x+y=0$$，则双曲线$$C$$的方程为（ ）。
解析：抛物线$$y^2=8x$$的焦点为$$(2,0)$$，所以双曲线右焦点$$(c,0)$$中$$c=2$$。
渐近线$$\sqrt{3}x+y=0$$即$$y=-\sqrt{3}x$$，所以$$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$$，即$$b=\sqrt{3}a$$。
又$$c^2=a^2+b^2=a^2+3a^2=4a^2=4$$，所以$$a^2=1$$，$$b^2=3$$。
双曲线方程为$$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$$。
答案：B. $$x^2-\frac{y^2}{3}=1$$
10. 设$$O$$为坐标原点，直线$$x=a$$与双曲线$$C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$的两条渐近线分别交于$$D,E$$两点，若$$\triangle ODE$$的面积为$$8$$，则$$C$$的焦距的最小值为（ ）。
解析：渐近线方程为$$y=\pm\frac{b}{a}x$$，当$$x=a$$时，$$y=\pm b$$，所以$$D(a,b)$$，$$E(a,-b)$$。
$$\triangle ODE$$的底边$$DE=2b$$，高为$$a$$，面积$$S=\frac{1}{2}\times 2b\times a=ab=8$$。
焦距$$2c=2\sqrt{a^2+b^2}\geq 2\sqrt{2ab}=2\sqrt{16}=8$$，当$$a=b$$时取等号。
答案：B. $$8$$