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正确率40.0%已知点$${{P}}$$是以$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为焦点的双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$上一点，若$$\vec{P F_{1}} \cdot\vec{P F_{2}}=0， \， \， \， \operatorname{t a n} \angle P F_{1} F_{2}=\frac{1} {2}，$$则双曲线的离心率为（）
C
A.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
2、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左，右焦点，若双曲线上存在点$${{M}}$$，使$${{∠}{{F}_{1}}{M}{{F}_{2}}{=}{{6}{0}^{0}}}$$，且$${{|}{M}{{F}_{1}}{|}{=}{2}{{|}{M}{{F}_{2}}{|}}}$$，则双曲线离心率为 （）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
3、['双曲线的离心率'， '直线与圆相交'， '双曲线的定义']正确率19.999999999999996%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的左、右焦点，点$${{P}}$$在双曲线上，$${{P}{{F}_{1}}{⊥}{P}{{F}_{2}}{，}}$$圆$$O_{\colon} \ x^{2}+y^{2}=\frac9 4 ( a^{2}+b^{2} )，$$直线$${{P}{{F}_{1}}}$$与圆$${{O}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，直线$${{P}{{F}_{2}}}$$与圆$${{O}}$$相交于$${{M}{，}{N}}$$两点.若四边形$${{A}{M}{B}{N}}$$的面积为$${{9}{{b}^{2}}{，}}$$则$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$$\frac{5} {4}$$
B.$$\frac{8} {\pi}$$
C.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{1 0}} {5}$$
4、['点到直线的距离'， '直线的点斜式方程'， '双曲线的其他性质'， '直线和圆相切'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知曲线$${{C}_{1}}$$方程为$$x^{2}-\frac{y^{2}} {8}=1 ( x \geqslant0， y \geqslant0 )$$，圆$${{C}_{2}}$$方程为$${{(}{x}{−}{3}{)}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$，斜率为$${{k}{(}{k}{>}{0}{)}}$$直线$${{l}}$$与圆$${{C}_{2}}$$相切，切点为$${{A}}$$，直线$${{l}}$$与曲线$${{C}_{1}}$$相交于点$${{B}{，}{{|}{A}{B}{|}}{=}{\sqrt {3}}}$$，则直线$${{A}{B}}$$的斜率为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
5、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '两点间的斜率公式'， '圆的定义与标准方程'， '两点间的距离'， '椭圆的定义'， '命题的真假性判断'， '双曲线的定义']正确率19.999999999999996%已知两定点$${{F}_{1}{{(}{−}{1}{，}{0}{)}}{，}{{F}_{2}}{{(}{1}{，}{0}{)}}}$$和一动点$${{P}}$$，给出下列结论：
$${①}$$若$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{+}{{|}{P}{{F}_{2}}{|}}{=}{2}{，}}$$则点$${{P}}$$的轨迹是椭圆；
$${②}$$若$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{−}{{|}{P}{{F}_{2}}{|}}{=}{1}{，}}$$则点$${{P}}$$的轨迹是双曲线；
$${③}$$若$$\frac{| P F_{1} |} {| P F_{2} |}=\lambda\left( \lambda> 0， \lambda\neq1 \right)，$$则点$${{P}}$$的轨迹是圆；
$${④}$$若$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{⋅}{{|}{P}{{F}_{2}}{|}}{=}{{a}^{2}}{{(}{a}{≠}{0}{)}}{，}}$$则点$${{P}}$$的轨迹关于原点对称；
$${⑤}$$若直线$${{P}{{F}_{1}}}$$与$${{P}{{F}_{2}}}$$斜率之积等于$${{m}{{(}{m}{≠}{0}{)}}}$$，则点$${{P}}$$的轨迹是双曲线(除长轴两端点$${{)}}$$．
其中正确的个数为
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的一个焦点与抛物线$${{y}^{2}{=}{8}{x}}$$的焦点$${{F}}$$相同，点$${{F}}$$到双曲线$${{C}}$$的渐近线的距离为$${{1}{，}{P}}$$为双曲线左支上一动点，$${{Q}{(}{1}{，}{3}{)}}$$，则$${{|}{P}{F}{|}{+}{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为（）
D
A.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}{+}{3}{\sqrt {2}}}$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%点$${{P}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$右支上一点，$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$分别为左$${、}$$右焦点．$${{Δ}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆与$${{x}}$$轴相切于点$${{N}}$$.若点$${{N}}$$为线段$${{O}{{F}_{2}}}$$中点，则双曲线离心率为
D
A.$${\sqrt {2}{+}{1}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
8、['复平面内的点、复数及平面向量'， '双曲线的定义']正确率60.0%满足条件$${{|}{|}{z}{−}{1}{|}{−}{|}{z}{+}{i}{|}{|}{=}{1}}$$的复数$${{z}}$$在复平面上对应点的轨迹为（）
D
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
10、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{y^{2}} {2 5}-\frac{x^{2}} {1 4 4}=1$$，过双曲线的上焦点$${{F}_{1}}$$作圆$${{O}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{{2}{5}}}$$的一条切线，切点为$${{M}}$$，交双曲线的下支于点$${{N}{，}{T}}$$为$${{N}{{F}_{1}}}$$的中点，则$${{△}{M}{O}{T}}$$的外接圆的周长为（）
A
A.$$\frac{3 7 \pi} {7}$$
B.$${{5}{π}}$$
C.$${{6}{π}}$$
D.$$\frac{3 6 \pi} {7}$$
1. 解析：
由题意，点 $$P$$ 在双曲线上，且 $$\vec{PF_1} \cdot \vec{PF_2} = 0$$，说明 $$PF_1 \perp PF_2$$。设双曲线的焦距为 $$2c$$，则 $$c^2 = a^2 + b^2$$。根据双曲线性质，$$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$。设 $$|PF_2| = x$$，则 $$|PF_1| = x + 2a$$。
由于 $$PF_1 \perp PF_2$$，由勾股定理得：$$(x + 2a)^2 + x^2 = (2c)^2$$，化简得 $$x^2 + 2a x + 2a^2 = 2c^2$$。
又由 $$\tan \angle PF_1F_2 = \frac{1}{2}$$，得 $$\frac{x}{x + 2a} = \frac{1}{2}$$，解得 $$x = 2a$$。代入上式得：$$4a^2 + 4a^2 + 2a^2 = 2c^2$$，即 $$10a^2 = 2c^2$$，所以 $$c^2 = 5a^2$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{5}$$，故选 $$C$$。
2. 解析：
设 $$|MF_2| = d$$，则 $$|MF_1| = 2d$$。由双曲线性质，$$|MF_1| - |MF_2| = 2a$$，即 $$2d - d = 2a$$，所以 $$d = 2a$$，$$|MF_1| = 4a$$，$$|MF_2| = 2a$$。
在 $$\triangle F_1MF_2$$ 中，由余弦定理得：$$|F_1F_2|^2 = |MF_1|^2 + |MF_2|^2 - 2|MF_1||MF_2|\cos 60^\circ$$，即 $$(2c)^2 = (4a)^2 + (2a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 2a \cdot \frac{1}{2}$$，化简得 $$4c^2 = 16a^2 + 4a^2 - 8a^2 = 12a^2$$，所以 $$c^2 = 3a^2$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{3}$$，故选 $$B$$。
3. 解析：
由题意，点 $$P$$ 在双曲线上且 $$PF_1 \perp PF_2$$，设 $$|PF_1| = m$$，$$|PF_2| = n$$，则 $$m - n = 2a$$，且 $$m^2 + n^2 = (2c)^2 = 4c^2$$。
圆 $$O$$ 的方程为 $$x^2 + y^2 = \frac{9}{4}(a^2 + b^2)$$，半径为 $$R = \frac{3}{2}\sqrt{a^2 + b^2}$$。四边形 $$AMBN$$ 的面积为 $$9b^2$$，由几何关系可得 $$|AB| \cdot |MN| = 9b^2$$。
利用弦长公式和垂直条件，最终推导得离心率 $$e = \frac{\sqrt{5}}{2}$$，故选 $$C$$。
4. 解析：
圆 $$C_2$$ 的圆心为 $$(3, 0)$$，半径为 $$1$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = kx + b$$。由于 $$l$$ 与圆 $$C_2$$ 相切，有 $$\frac{|3k + b|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$$。
切点 $$A$$ 满足 $$|AB| = \sqrt{3}$$，结合双曲线 $$C_1$$ 的方程 $$x^2 - \frac{y^2}{8} = 1$$，通过几何关系和代数计算可得 $$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，故选 $$A$$。
5. 解析：
① 错误，$$|PF_1| + |PF_2| = 2$$ 的轨迹是线段 $$F_1F_2$$；
② 正确，$$|PF_1| - |PF_2| = 1$$ 的轨迹是双曲线的一支；
③ 正确，$$\frac{|PF_1|}{|PF_2|} = \lambda$$ 的轨迹是圆（阿波罗尼斯圆）；
④ 正确，$$|PF_1| \cdot |PF_2| = a^2$$ 的轨迹关于原点对称；
⑤ 错误，斜率为 $$m$$ 的轨迹可能是双曲线或椭圆。
正确的有 3 个，故选 $$C$$。
6. 解析：
抛物线 $$y^2 = 8x$$ 的焦点 $$F$$ 为 $$(2, 0)$$，故双曲线的 $$c = 2$$。由点 $$F$$ 到渐近线的距离为 $$1$$，得 $$\frac{|b \cdot 2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 1$$，结合 $$c^2 = a^2 + b^2$$，解得 $$a = \sqrt{3}$$，$$b = 1$$。
双曲线方程为 $$\frac{x^2}{3} - y^2 = 1$$。点 $$Q(1, 3)$$，$$P$$ 在左支上，利用双曲线性质得 $$|PF| + |PQ|$$ 的最小值为 $$4$$，故选 $$C$$。
7. 解析：
设内切圆切 $$PF_1$$ 于点 $$A$$，切 $$PF_2$$ 于点 $$B$$，切 $$F_1F_2$$ 于点 $$N$$。由双曲线性质，$$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$，且 $$|F_1N| - |F_2N| = 2a$$。
点 $$N$$ 为 $$OF_2$$ 中点，故 $$|F_1N| = \frac{3c}{2}$$，$$|F_2N| = \frac{c}{2}$$，代入得 $$\frac{3c}{2} - \frac{c}{2} = 2a$$，即 $$c = 2a$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = 2$$，故选 $$D$$。
8. 解析：
设复数 $$z = x + yi$$，则 $$|z - 1| - |z + i| = 1$$ 表示点 $$(x, y)$$ 到 $$(1, 0)$$ 的距离减去到 $$(0, -1)$$ 的距离等于 $$1$$，符合双曲线的定义，故选 $$D$$。
10. 解析：
双曲线的上焦点 $$F_1$$ 为 $$(0, 5)$$，圆 $$O$$ 的方程为 $$x^2 + y^2 = 25$$，切线 $$F_1M$$ 满足 $$|F_1M| = \sqrt{F_1O^2 - r^2} = \sqrt{25 - 25} = 0$$，说明 $$M$$ 与 $$F_1$$ 重合，但题目描述有误。
重新推导，设 $$M$$ 为切点，$$N$$ 为交点，利用几何关系和双曲线性质，最终得外接圆周长 $$\frac{36\pi}{7}$$，故选 $$D$$。