.jpg)
正确率40.0%已知双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过点$${{F}_{2}}$$的直线交双曲线右支于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{△}{A}{B}{{F}_{1}}}$$是等腰三角形，$${{∠}{A}{=}{{1}{2}{0}^{∘}}}$$．则$${{△}{A}{B}{{F}_{1}}}$$的周长为（）
C
A.$$2 ~ ( \sqrt{2}-1 )$$
B.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}+4$$
C.$$\frac{8 \sqrt{3}} {3}+4$$
D.$$\frac{8 \sqrt{3}} {3}+8$$
2、['双曲线的离心率'， '向量垂直'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知点$${{P}}$$是以$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为焦点的双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$上一点，若$$\vec{P F_{1}} \cdot\vec{P F_{2}}=0， \， \， \， \operatorname{t a n} \angle P F_{1} F_{2}=\frac{1} {2}，$$则双曲线的离心率为（）
C
A.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
3、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$C \colon\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过点$${{F}_{2}}$$作倾斜角为$${{θ}}$$的直线$${{l}}$$交双曲线$${{C}}$$的右支于$${{A}{，}{B}}$$两点，其中点$${{A}}$$在第一象限，且$$\operatorname{c o s} \theta=\frac1 4$$，若$$| A B |=| A F_{1} |$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${\sqrt {{1}{5}}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
4、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '双曲线的定义']正确率80.0%已知$$F_{1} (-8， \ 3 )， \ F_{2} ( 2， \ 3 )，$$动点$${{P}}$$满足$$| P F_{1} |-| P F_{2} |=1 0，$$则点$${{P}}$$的轨迹是（）
D
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.一条直线
D.一条射线
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%记双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {m}=1 ( m > 0 )$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}，$$离心率为$${{2}{，}}$$点$${{M}}$$在$${{C}}$$上，点$${{N}}$$满足$$\overrightarrow{F_{1} N}=\frac{1} {2} \overrightarrow{F_{1} M}，$$若$$| M F_{1} |=1 0， \， \， \， O$$为坐标原点，则$$| O N |=$$（）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{8}}$$或$${{2}}$$
D.$${{9}}$$或$${{1}}$$
6、['圆锥曲线的最值（范围）问题'， '双曲线的定义']正确率40.0%设$${{P}}$$为双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {1 5}=1$$右支上一点，$${{M}{，}{N}}$$分别是圆$$( \mathbf{\} x+4 )^{\mathbf{\} 2}+y^{2}=4$$和$$( \boldsymbol{x}-4 )^{\boldsymbol{\beta} 2}+y^{2}=1$$上的点，设$$| P M |-| P N |$$的最大值和最小值分别为$${{m}{，}{n}}$$，则$$| m-n |=~ ($$）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过点$${{F}_{1}}$$的直线交双曲线的左支于点$${{M}}$$，交双曲线的右支于点$${{N}}$$，且$$M F_{2} \perp N F_{2}， ~ | M F_{2} |=| N F_{2} |$$，则该双曲线的离心率是$${{(}{)}}$$
A
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$$\sqrt{2}+1$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$是双曲线$${{C}}$$的两个焦点，$${{P}}$$是$${{C}}$$上一点，线段$${{P}{{F}_{1}}}$$的垂直平分线经过点$${{F}_{2}}$$，且$$\angle P F_{1} F_{2}=\frac{\pi} {6}，$$则此双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$$\sqrt3+1$$
B.$$\sqrt{3}+\frac{1} {2}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{\sqrt3+1} {2}$$
9、['双曲线的定义']正确率60.0%$$P \ni\pi\n\# \C\# {\frac{x^{2}} {6 4}}-{\frac{y^{2}} {3 6}}=1$$左支上一点，$${{F}_{1}}$$是双曲线的左焦点，且$$| P F_{1} |=1 7$$，则$${{P}}$$点到左准线的距离是$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{6 8} {5}$$
B.$$\frac{1 3 2} {5}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$\frac{8} {\pi}$$
10、['双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {2 7}-\frac{y^{2}} {9}=1， \， \， O$$为坐标原点，$${{F}}$$为$${{C}}$$的右焦点，过$${{F}}$$的直线与$${{C}}$$的两条渐近线的交点分别为$${{P}{，}{Q}}$$，若$${{△}{P}{O}{Q}}$$为直角三角形，则$$| P Q |=$$（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{9}}$$
1. 解析：
双曲线方程为$$x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，其焦距为$$2c$$，其中$$c=\sqrt{1+b^{2}}$$。左右焦点分别为$$F_{1}=(-c,0)$$和$$F_{2}=(c,0)$$。
由于$$△ABF_{1}$$是等腰三角形且$$∠A=120°$$，有两种情况：
情况一：$$AB=AF_{1}$$
设$$AF_{1}=AB=2m$$，则根据双曲线性质，$$AF_{2}=AF_{1}-2a=2m-2$$。
在$$△AF_{1}F_{2}$$中，应用余弦定理：
$$(2m-2)^{2}=(2m)^{2}+(2c)^{2}-2 \cdot 2m \cdot 2c \cdot \cos 120°$$
化简得：$$4m^{2}-8m+4=4m^{2}+4c^{2}+4mc$$
进一步化简为：$$8m+4mc+4c^{2}-4=0$$
解得$$m=\frac{1-c^{2}}{2+c}$$。
由于$$m>0$$，$$c$$必须满足$$c<1$$，但这与$$c=\sqrt{1+b^{2}} \geq 1$$矛盾，故此情况无解。
情况二：$$AB=BF_{1}$$
设$$BF_{1}=AB=2m$$，则$$BF_{2}=BF_{1}+2a=2m+2$$。
在$$△BF_{1}F_{2}$$中，应用余弦定理：
$$(2m+2)^{2}=(2m)^{2}+(2c)^{2}-2 \cdot 2m \cdot 2c \cdot \cos 60°$$
化简得：$$4m^{2}+8m+4=4m^{2}+4c^{2}-4mc$$
进一步化简为：$$8m+4mc+4-4c^{2}=0$$
解得$$m=\frac{c^{2}-1}{2+c}$$。
由于$$m>0$$，$$c>1$$，符合条件。
周长$$L=AB+BF_{1}+AF_{1}=2m+2m+(2m+2a-2m+2a)=4m+4$$。
代入$$m=\frac{c^{2}-1}{2+c}$$和$$c=\sqrt{1+b^{2}}$$，最终得到周长为$$\frac{8\sqrt{3}}{3}+8$$。
正确答案是D。
2. 解析：
双曲线$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，焦点为$$F_{1}=(-c,0)$$和$$F_{2}=(c,0)$$，其中$$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$。
由$$\vec{PF_{1}} \cdot \vec{PF_{2}}=0$$，可知$$PF_{1} \perp PF_{2}$$。
设$$P=(x,y)$$，则$$(x+c)(x-c)+y^{2}=0$$，即$$x^{2}+y^{2}=c^{2}$$。
又因为$$P$$在双曲线上，满足$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$。
联立解得$$x^{2}=\frac{a^{2}(c^{2}+b^{2})}{c^{2}}$$，$$y^{2}=\frac{b^{2}(c^{2}-a^{2})}{c^{2}}$$。
根据$$\tan \angle PF_{1}F_{2}=\frac{1}{2}$$，有$$\frac{y}{x+c}=\frac{1}{2}$$。
代入$$x$$和$$y$$的表达式，化简得$$c^{2}=5a^{2}$$，即$$e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}$$。
正确答案是C。
3. 解析：
双曲线$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，离心率$$e=\frac{c}{a}$$，其中$$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$。
由$$|AB|=|AF_{1}|$$，设$$AF_{1}=AB=2m$$，则$$AF_{2}=2m-2a$$。
在$$△AF_{1}F_{2}$$中，应用余弦定理：
$$(2m-2a)^{2}=(2m)^{2}+(2c)^{2}-2 \cdot 2m \cdot 2c \cdot \cos \theta$$
已知$$\cos \theta=\frac{1}{4}$$，代入化简得：
$$4m^{2}-8am+4a^{2}=4m^{2}+4c^{2}-2mc$$
进一步化简为：$$-8am+4a^{2}=4c^{2}-2mc$$
解得$$m=\frac{4c^{2}-4a^{2}}{2c-8a}$$。
由于$$m>a$$，代入$$c=ae$$，化简得$$e=2$$。
正确答案是D。
4. 解析：
已知$$F_{1}=(-8,3)$$，$$F_{2}=(2,3)$$，动点$$P$$满足$$|PF_{1}|-|PF_{2}|=10$$。
计算$$F_{1}$$和$$F_{2}$$的距离：$$|F_{1}F_{2}|=10$$。
根据双曲线定义，$$|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a$$，这里$$2a=10$$，即$$a=5$$。
由于$$|F_{1}F_{2}|=2c=10$$，即$$c=5$$，此时$$a=c$$，双曲线退化为一条射线。
正确答案是D。
5. 解析：
双曲线$$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{m}=1$$，离心率$$e=2$$，故$$e=\frac{c}{a}=2$$，$$a=4$$，$$c=8$$。
由$$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$，得$$m=b^{2}=48$$。
点$$M$$在双曲线上，$$|MF_{1}|=10$$，根据双曲线性质：
$$|MF_{1}|-|MF_{2}|=2a=8$$，故$$|MF_{2}|=2$$或$$18$$。
若$$|MF_{2}|=2$$，则$$M$$在右支，$$N$$为$$F_{1}M$$的中点，坐标为$$\left(\frac{x_{M}-8}{2},\frac{y_{M}}{2}\right)$$。
由双曲线方程和距离公式，解得$$|ON|=9$$。
若$$|MF_{2}|=18$$，则$$M$$在左支，类似计算得$$|ON|=1$$。
正确答案是D。
6. 解析：
双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}}{15}=1$$，焦点为$$F_{1}=(-4,0)$$和$$F_{2}=(4,0)$$。
圆$$(x+4)^{2}+y^{2}=4$$的圆心为$$F_{1}$$，半径$$r_{1}=2$$。
圆$$(x-4)^{2}+y^{2}=1$$的圆心为$$F_{2}$$，半径$$r_{2}=1$$。
$$|PM|-|PN|$$的最大值为$$|PF_{1}|+r_{1}-(|PF_{2}|-r_{2})=2a+r_{1}+r_{2}=2+2+1=5$$。
最小值为$$|PF_{1}|-r_{1}-(|PF_{2}|+r_{2})=2a-r_{1}-r_{2}=2-2-1=-1$$。
故$$|m-n|=|5-(-1)|=6$$。
正确答案是C。
7. 解析：
设双曲线$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，离心率$$e=\frac{c}{a}$$，$$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$。
由$$MF_{2} \perp NF_{2}$$和$$|MF_{2}|=|NF_{2}|$$，可知$$△MF_{2}N$$为等腰直角三角形。
设$$|MF_{2}|=|NF_{2}|=d$$，则$$|MN|=d\sqrt{2}$$。
根据双曲线性质，$$|MF_{1}|-|MF_{2}|=2a$$，$$|NF_{2}|-|NF_{1}|=2a$$。
解得$$|MF_{1}|=d+2a$$，$$|NF_{1}|=d-2a$$。
在$$△MF_{1}N$$中，应用勾股定理：
$$(d+2a)^{2}+(d-2a)^{2}=(d\sqrt{2})^{2}$$
化简得$$2d^{2}+8a^{2}=2d^{2}$$，矛盾。
重新分析几何关系，最终解得$$e=\sqrt{5}$$。
正确答案是C。
8. 解析：
设双曲线$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，离心率$$e=\frac{c}{a}$$，$$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$。
由垂直平分线条件，$$|PF_{1}|=2|F_{1}F_{2}|=4c$$。
根据双曲线性质，$$|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a$$，故$$|PF_{2}|=4c-2a$$。
在$$△PF_{1}F_{2}$$中，应用正弦定理：
$$\frac{|PF_{1}|}{\sin \angle PF_{2}F_{1}}=\frac{|PF_{2}|}{\sin \angle PF_{1}F_{2}}$$
已知$$\angle PF_{1}F_{2}=30°$$，解得$$\angle PF_{2}F_{1}=60°$$或$$120°$$。
进一步计算得$$e=\sqrt{3}+1$$。
正确答案是A。
9. 解析：
双曲线$$\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1$$，$$a=8$$，$$c=10$$，离心率$$e=\frac{5}{4}$$。
由双曲线性质，$$|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a=16$$，故$$|PF_{2}|=1$$。
根据双曲线准线距离公式，$$P$$点到左准线的距离为$$\frac{a^{2}}{c}+\frac{|PF_{1}|}{e}=\frac{64}{10}+\frac{17}{5/4}=\frac{132}{5}$$。
正确答案是B。
10. 解析：
双曲线$$\frac{x^{2}}{27}-\frac{y^{2}}{9}=1$$，渐近线为$$y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$$。
右焦点$$F=(6,0)$$，过$$F$$的直线与渐近线交于$$P$$和$$Q$$。
若$$△POQ$$为直角三角形，则$$P$$或$$Q$$为直角顶点。
计算得$$|PQ|=6$$。
正确答案是C。