双曲线的离心率-3.2 双曲线知识点专题进阶单选题自测题解析-陕西省等高一数学选择必修,平均正确率52.0%

1、['双曲线的离心率'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']

正确率60.0%$${{P}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$上的点，$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$是其焦点，且$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}}=0，$$若$${{△}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的面积是$$9， ~ a+b=7$$，则双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{7} {4}$$

B.$$\frac{5} {4}$$

C.$$\frac{\sqrt5} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt{7}} {2}$$

2、['双曲线的离心率'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']

正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}} \!=\! 1 ( a \! > \! 0， b \! > 0 )$$的离心率为$${\sqrt {3}{，}}$$抛物线$$y^{2} \!=\! 1 2 x$$的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为（）

A.$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{y^{2}} {6}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {6}-\frac{y^{2}} {3}=1$$

C.$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 8} \!=\! 1$$

D.$$\frac{x^{2}} {1 8}-\frac{y^{2}} {9} \!=\! 1$$

3、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \; ( a > 0， b > 0 )$$有相同的焦点$${{F}}$$，点$${{A}}$$是两曲线的一个交点，且$${{A}{F}{⊥}{x}}$$轴，若$${{l}}$$为双曲线一$${、}$$三象限的一条渐近线，则$${{l}}$$的倾斜角所在的区间可能是$${{(}{)}}$$

A.$$( 0， \frac{\pi} {6} )$$

B.$$( \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {4} )$$

C.$$( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {3} )$$

D.$$( \frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {2} )$$

4、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用'， '直线与双曲线的交点个数']

正确率60.0%过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点$${{F}}$$作一条直线，当直线的斜率为$${{2}}$$时，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，当直线的斜率为$${{3}}$$时，直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围是（）

A.$$( 1， \sqrt{2} )$$

B.$$( \sqrt{5}， \sqrt{1 0} )$$

C.$$( \sqrt{2}， \sqrt{1 0} )$$

D.$$( 1， \sqrt{2}+1 )$$

5、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的对称性'， '双曲线的标准方程']

正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 ) \， \， \，，$$点$${{A}}$$是它的一个顶点，点$${{F}}$$是它的一个焦点，$${{B}}$$点坐标为$$( {\bf0}， ~ {\bf b} )$$，若$${{△}{A}{B}{F}}$$为直角三角形，则此双曲线的离心率为（）

A.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt3+1} {2}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

6、['双曲线的离心率'， '直线和圆相切'， '双曲线的定义']

正确率40.0%已知双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， ~ b > 0 )，$$设其左、右焦点分别为$$F_{1}， \， \， \， F_{2}， \， \， \， | F_{1} \， F_{2} |=2 c，$$若在$${{C}}$$的右支上存在一点$${{P}{，}}$$使得以$$F_{1} F_{2}， ~ F_{2} P$$为邻边的平行四边形为菱形，且直线$${{P}{{F}_{1}}}$$与圆$$( x-c )^{2}+y^{2}=c^{2}$$相切，则该双曲线$${{C}}$$的离心率为（）

A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt3+1} {2}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$${{2}}$$

7、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用']

正确率40.0%已知双曲线$$\Gamma_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的焦距为$${{2}{c}}$$，直线$$l \colon~ y=k x-k c$$，若$${{k}{=}{\sqrt {3}}}$$，则$${{l}}$$与$${{Γ}}$$的左$${、}$$右两支各有一个交点，若$${{k}{=}{\sqrt {{1}{5}}}}$$，则$${{l}}$$与$${{Γ}}$$的右支有两个不同的交点，则$${{Γ}}$$的离心率的取值范围为（）

A.$$( 1， 2 )$$

B.$$( 1， 4 )$$

C.$$( 2， 4 )$$

D.$$( 4， 1 6 )$$

8、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线']

正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {m^{2}}=1 ( m > 0 )-$$条渐近线的斜率为$${\sqrt {2}{，}}$$则该双曲线的离心率是（）

A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${\sqrt {2}}$$

9、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率60.0%椭圆$$\frac{{\bf x}^{2}} {{\bf1 2}}+\frac{{\bf y}^{2}} {8}=1$$与曲线$$\frac{{\bf x}^{2}} {8-{\bf k}}-\frac{{\bf y}^{2}} {{\bf k}-{\bf1 2}}=1 ( k < 8 )$$的$${{(}{)}}$$

A.焦距相等

B.离心率相等

C.焦点相同

D.准线相同

10、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率60.0%双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$心率是双曲线$$D \colon x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$的离心率的$${{2}}$$倍，若双曲线$${{C}}$$的焦距为$${{8}}$$，则双曲线$${{C}}$$的虚轴长为

A.$${\sqrt {{1}{5}}}$$

B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{2}{\sqrt {{1}{5}}}}$$

D.$${{4}{\sqrt {2}}}$$

1. 解析：

双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$，焦点为 $$F_1(-c, 0)$$ 和 $$F_2(c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$。由题意，$$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = 0$$，说明 $$PF_1 \perp PF_2$$，即 $$\triangle F_1PF_2$$ 为直角三角形，面积为 9。设 $$|PF_1| = m$$，$$|PF_2| = n$$，则 $$m - n = 2a$$，$$m^2 + n^2 = 4c^2$$，且 $$\frac{1}{2}mn = 9$$。解得 $$(m - n)^2 = m^2 + n^2 - 2mn = 4a^2$$，代入得 $$4c^2 - 36 = 4a^2$$，即 $$c^2 - a^2 = 9$$，故 $$b^2 = 9$$，$$b = 3$$。又 $$a + b = 7$$，所以 $$a = 4$$，$$c = 5$$。离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}$$，选 B。

2. 解析：

双曲线的离心率 $$e = \sqrt{3}$$，即 $$\frac{c}{a} = \sqrt{3}$$，$$c = a\sqrt{3}$$。抛物线 $$y^2 = 12x$$ 的准线为 $$x = -3$$，双曲线的一个焦点为 $$(-c, 0)$$，故 $$c = 3$$，$$a = \sqrt{3}$$，$$b^2 = c^2 - a^2 = 6$$。双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$$，选 A。

3. 解析：

抛物线与双曲线有相同焦点 $$F$$，设 $$F(p/2, 0)$$，双曲线焦点 $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = p/2$$。点 $$A$$ 为交点且 $$AF \perp x$$ 轴，故 $$A(p/2, p)$$ 或 $$A(p/2, -p)$$。代入双曲线方程得 $$\frac{(p/2)^2}{a^2} - \frac{p^2}{b^2} = 1$$，结合 $$c^2 = a^2 + b^2$$，解得 $$\frac{b}{a} = \sqrt{2}$$。渐近线 $$l$$ 的斜率为 $$\pm \frac{b}{a} = \pm \sqrt{2}$$，倾斜角为 $$\arctan(\sqrt{2})$$，位于区间 $$(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3})$$，选 C。

4. 解析：

双曲线渐近线斜率为 $$\pm \frac{b}{a}$$。当斜率为 2 时，直线与双曲线左右两支各有一个交点，说明 $$2 < \frac{b}{a}$$；当斜率为 3 时，直线与右支有两个交点，说明 $$3 > \frac{b}{a}$$。故 $$2 < \frac{b}{a} < 3$$，即 $$4a^2 < b^2 < 9a^2$$。离心率 $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$$，范围为 $$(\sqrt{5}, \sqrt{10})$$，选 B。

5. 解析：

双曲线顶点 $$A(a, 0)$$，焦点 $$F(c, 0)$$，点 $$B(0, b)$$。若 $$\triangle ABF$$ 为直角三角形，可能情况为：
1. $$\angle A = 90^\circ$$：$$AB \perp AF$$，得 $$a = b$$，$$e = \sqrt{2}$$；
2. $$\angle B = 90^\circ$$：$$AB \perp BF$$，得 $$c = 2a$$，$$e = 2$$（舍去）；
3. $$\angle F = 90^\circ$$：$$AF \perp BF$$，得 $$b^2 = a^2 + c^2$$，矛盾。
故 $$e = \sqrt{2}$$，选 C。

6. 解析：

双曲线右支上点 $$P$$ 满足 $$|PF_2| = |F_1F_2| = 2c$$，且 $$PF_1$$ 与圆 $$(x - c)^2 + y^2 = c^2$$ 相切。由双曲线定义，$$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$，故 $$|PF_1| = 2a + 2c$$。利用切线条件，$$PF_1$$ 到圆心 $$(c, 0)$$ 的距离为 $$c$$，解得 $$\frac{|2a + 2c - c|}{\sqrt{1 + k^2}} = c$$，结合渐近线斜率 $$\frac{b}{a}$$，得 $$e = \sqrt{3}$$，选 C。

7. 解析：

双曲线渐近线斜率为 $$\pm \frac{b}{a}$$。直线 $$l: y = kx - kc$$ 与双曲线的交点情况：
1. 当 $$k = \sqrt{3}$$ 时，$$l$$ 与双曲线左右两支各有一个交点，说明 $$\sqrt{3} < \frac{b}{a}$$；
2. 当 $$k = \sqrt{15}$$ 时，$$l$$ 与右支有两个交点，说明 $$\sqrt{15} > \frac{b}{a}$$。
故 $$3 < \frac{b^2}{a^2} < 15$$，离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$$ 的范围为 $$(2, 4)$$，选 C。

8. 解析：

双曲线渐近线斜率为 $$\pm \frac{m}{2} = \sqrt{2}$$，故 $$m = 2\sqrt{2}$$。离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{m^2}{4}} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$$，选 B。

9. 解析：

椭圆 $$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$$ 的焦距为 $$2\sqrt{12 - 8} = 4$$；曲线 $$\frac{x^{2}}{8 - k} - \frac{y^{2}}{k - 12} = 1$$ 的焦距为 $$2\sqrt{(8 - k) + (k - 12)} = 4$$。两者焦距相等，选 A。

10. 解析：

双曲线 $$D$$ 的离心率 $$e_D = \sqrt{1 + \frac{3}{1}} = 2$$，故双曲线 $$C$$ 的离心率 $$e_C = 2 \times 2 = 4$$。由 $$e_C = \frac{c}{a} = 4$$ 且 $$2c = 8$$，得 $$a = 1$$，$$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{15}$$。虚轴长为 $$2b = 2\sqrt{15}$$，选 C。

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