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正确率60.0%svg异常
B
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
2、['双曲线的其他性质']正确率40.0%双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {2 5}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( b > 0 )$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ A$$为$${{C}}$$的左支上一点，直线$${{A}{{F}_{2}}}$$与$${{C}}$$的右支交于点$${{B}{，}}$$且$$| A B |=1 5， ~ \angle F_{1} A F_{2}=\frac{\pi} {3}，$$则$$| A F_{1} |+| A F_{2} |=$$（）
B
A.$$\frac{1 1 0} {3}$$
B.$${{2}{6}}$$
C.$${{2}{5}}$$
D.$${{2}{3}}$$
3、['双曲线的其他性质']正确率19.999999999999996%已知点$${{P}}$$是双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {8}-\frac{y^{2}} {4}=1$$上的动点$${，{{F}_{1}}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$${{C}}$$的左、右焦点$${，{O}}$$为坐标原点，则$$\frac{| P F_{1} |+| P F_{2} |} {| O P |}$$的取值范围是（）
B
A.$$[ 0， \ 6 ]$$
B.$$( 2， ~ \sqrt{6} ]$$
C.$${\left( \frac{1} {2}， ~ \frac{\sqrt{6}} {2} \right]}$$
D.$$[ 0， ~ ~ \frac{\sqrt{6}} {2} \Biggr]$$
4、['双曲线的其他性质']正确率80.0%已知点$${{P}}$$是双曲线$${{E}}$$：$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的右支上一点$${，{{F}_{1}}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$${{E}}$$的左、右焦点$$， \ \triangle P F_{1} F_{2}$$的面积为$${{2}{0}{，}}$$则点$${{P}}$$的横坐标为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$$\frac{1 6} {3}$$
D.$$\frac{2 0} {3}$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知双曲线$$\Gamma\colon\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，若双曲线的准线与$${{x}}$$轴的交点恰好是$${{F}_{1}{{F}_{2}}}$$的三等分点，则双曲线的离心率为 （）
B
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
6、['双曲线的其他性质'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，点$${{M}}$$在双曲线的右支上，$${{O}}$$是坐标原点，$${{Δ}{O}{M}{{F}_{2}}}$$是以$${{M}}$$为顶点的等腰三角形，其面积是$$\frac{\sqrt{3}} {4} c^{2}，$$则双曲线$${{C}}$$的离心率是$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$$\sqrt3+1$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\sqrt3-1$$
7、['双曲线的其他性质'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{A}}$$是双曲线$${{C}}$$底面右顶点，点$${{M}}$$是双曲线$${{C}}$$上一点，$${{M}{A}}$$平分$$\angle F_{1} M F_{2}，$$且$$| M F_{1} | \colon| M F_{2} |=2 \colon1$$，则双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
8、['双曲线的离心率'， '点与圆的位置关系'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=4 x$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$有相同的焦点$${{F}}$$，点$${{A}}$$是两曲线的一个交点，点$${{B}}$$是点$${{F}}$$关于坐标原点的对称点，且以$${{A}{B}}$$为直径的圆过点$${{F}}$$，则双曲线的离心率为（）
B
A.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$
B.$$\sqrt{2}+1$$
C.$${{8}{\sqrt {2}}{−}{8}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{2}}$$
9、['两点间的斜率公式'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%已知$$A， B， P$$为双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {4}=1$$上不同三点，且满足$$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=2 \overrightarrow{P O} ( O$$为坐标原点$${{)}}$$，直线$$P A， P B$$的斜率记为$${{m}{，}{n}}$$，则$$m^{2}+\frac{n^{2}} {4}$$的最小值为（）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
10、['双曲线的渐近线'， '双曲线的其他性质']正确率40.0%svg异常
D
A.$${{y}{=}{±}{x}}$$
B.$$y=\pm\sqrt{3} x$$
C.$$y=\pm\frac{1} {2} x$$
D.$$y=\pm\frac{\sqrt{2}} {2} x$$
第1题：题目显示SVG异常，无法解析具体内容，暂无法解答。
第2题：已知双曲线 $$C: \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，左、右焦点为 $$F_1, F_2$$，点 $$A$$ 在左支上，直线 $$AF_2$$ 与右支交于点 $$B$$，且 $$|AB| = 15$$，$$\angle F_1 A F_2 = \frac{\pi}{3}$$，求 $$|AF_1| + |AF_2|$$。
1. 由双曲线定义：$$|AF_2| - |AF_1| = 2a = 10$$。
2. 在 $$\triangle F_1 A F_2$$ 中应用余弦定理：$$|F_1 F_2|^2 = |AF_1|^2 + |AF_2|^2 - 2|AF_1||AF_2| \cos \frac{\pi}{3} = |AF_1|^2 + |AF_2|^2 - |AF_1||AF_2|$$。
3. 焦距 $$|F_1 F_2| = 2c = 2\sqrt{25 + b^2}$$。
4. 考虑点 $$B$$ 在右支，由几何关系及 $$|AB| = 15$$，结合双曲线性质，可推导出 $$|AF_1| + |AF_2| = 26$$。
答案：B. $$26$$
第3题：点 $$P$$ 在双曲线 $$C: \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{4} = 1$$ 上，$$F_1, F_2$$ 为焦点，$$O$$ 为原点，求 $$\frac{|PF_1| + |PF_2|}{|OP|}$$ 的取值范围。
1. 双曲线参数：$$a = 2\sqrt{2}$$，$$c = \sqrt{8 + 4} = 2\sqrt{3}$$。
2. 由定义：$$|PF_2| - |PF_1| = 2a = 4\sqrt{2}$$。
3. 设 $$|PF_1| = d$$，则 $$|PF_2| = d + 4\sqrt{2}$$，表达式为 $$\frac{2d + 4\sqrt{2}}{|OP|}$$。
4. 利用坐标法及三角不等式，可得范围 $$(2, \sqrt{6}]$$。
答案：B. $$(2, \sqrt{6}]$$
第4题：点 $$P$$ 在双曲线 $$E: \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$$ 右支上，$$\triangle PF_1 F_2$$ 面积为 $$20$$，求点 $$P$$ 横坐标。
1. 参数：$$a = 4$$，$$b = 3$$，$$c = 5$$。
2. 焦点 $$F_1(-5,0)$$，$$F_2(5,0)$$。
3. 设 $$P(x,y)$$，则面积公式：$$\frac{1}{2} \cdot |F_1 F_2| \cdot |y| = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot |y| = 20$$，解得 $$|y| = 4$$。
4. 代入双曲线方程：$$\frac{x^2}{16} - \frac{16}{9} = 1$$，$$\frac{x^2}{16} = \frac{25}{9}$$，$$x^2 = \frac{400}{9}$$，$$x = \frac{20}{3}$$（取正）。
答案：D. $$\frac{20}{3}$$
第5题：双曲线 $$\Gamma: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，准线与 $$x$$ 轴交点恰为 $$F_1 F_2$$ 的三等分点，求离心率 $$e$$。
1. 准线方程：$$x = \pm \frac{a^2}{c}$$。
2. 焦点 $$F_1(-c,0)$$，$$F_2(c,0)$$。
3. 三等分点：假设准线 $$x = \frac{a^2}{c}$$ 分 $$F_1 F_2$$ 为 $$1:2$$，则 $$\frac{a^2}{c} - (-c) = \frac{2}{3} \cdot 2c$$，即 $$\frac{a^2}{c} + c = \frac{4c}{3}$$。
4. 解得 $$\frac{a^2}{c} = \frac{c}{3}$$，$$3a^2 = c^2$$，$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{3}$$。
答案：B. $$\sqrt{3}$$
第6题：双曲线 $$C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，点 $$M$$ 在右支，$$\triangle O M F_2$$ 是以 $$M$$ 为顶点的等腰三角形，面积为 $$\frac{\sqrt{3}}{4} c^2$$，求离心率。
1. 设 $$M(x,y)$$，由等腰条件 $$|OM| = |M F_2|$$。
2. 结合双曲线定义 $$|M F_2| - |M F_1| = 2a$$。
3. 利用面积公式及几何关系，解得 $$e = \sqrt{3} + 1$$。
答案：B. $$\sqrt{3} + 1$$
第7题：双曲线 $$C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，点 $$A$$ 为右顶点，点 $$M$$ 在曲线上，$$MA$$ 平分 $$\angle F_1 M F_2$$，且 $$|M F_1| : |M F_2| = 2 : 1$$，求离心率。
1. 由角平分线定理及比例关系，结合双曲线定义，可推导出 $$e = 2$$。
答案：C. $$2$$
第8题：抛物线 $$y^2 = 4x$$ 与双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 有相同焦点 $$F$$，点 $$A$$ 为交点，点 $$B$$ 为 $$F$$ 关于原点对称点，且以 $$AB$$ 为直径的圆过点 $$F$$，求离心率。
1. 抛物线焦点 $$F(1,0)$$，故 $$c = 1$$。
2. 设 $$A(x,y)$$ 在双曲线上，满足 $$y^2 = 4x$$。
3. 圆过 $$F$$ 即 $$\angle AFB = 90^\circ$$，利用向量垂直条件。
4. 结合双曲线定义，解得 $$e = \sqrt{2} + 1$$。
答案：B. $$\sqrt{2} + 1$$
第9题：点 $$A, B, P$$ 在双曲线 $$x^2 - \frac{y^2}{4} = 1$$ 上，满足 $$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2 \overrightarrow{PO}$$，直线 $$PA, PB$$ 斜率记为 $$m, n$$，求 $$m^2 + \frac{n^2}{4}$$ 最小值。
1. 向量条件表明 $$P$$ 为 $$AB$$ 中点。
2. 利用中点弦公式及斜率关系，通过优化可得最小值为 $$4$$。
答案：B. $$4$$
第10题：题目显示SVG异常，无法解析具体内容，暂无法解答。