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正确率60.0%直线$$y=x-1$$被双曲线$$2 x^{2}-y^{2}=3$$所截得的弦的中点坐标是（）
C
A.$$( 1， ~ 2 )$$
B.$$(-2， ~-1 )$$
C.$$(-1， ~-2 )$$
D.$$( 2， ~ 1 )$$
2、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的两条渐近线与直线$$x=\frac{a^{2}} {c}$$分别相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且线段$${{A}{B}}$$的长等于双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的渐近线方程为（）
B
A.$${{y}{=}{±}{x}}$$
B.$$y=\pm\sqrt{3} x$$
C.$$y=\pm\frac{\sqrt{3}} {3} x$$
D.$$y=\pm\sqrt{2} x$$
3、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的左右焦点，$${{P}}$$为双曲线右支上一点，满足$$\angle P F_{2} F_{1}=\frac{\pi} {2}，$$连接$${{P}{{F}_{1}}}$$交$${{y}}$$轴于点$${{Q}}$$，若$$| Q F_{2} |=\sqrt{2} c$$，则双曲线的离心率是（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$
4、['直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的标准方程'， '直线的斜率']正确率40.0%已知$${{“}}$$若点$$P ( x， y )$$在双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$上，则$${{C}}$$在点$${{P}}$$处的切线方程为$$C_{\colon} ~ \frac{x x_{0}} {a^{2}}-\frac{y y_{0}} {b^{2}}=1 "$$，现已知双曲线$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {1 2}=1$$和点$$Q ( 1， t ) ( t \neq\pm\sqrt{3} )$$，过点$${{Q}}$$作双曲线$${{C}}$$的两条切线，切点分别为$${{M}{，}{N}}$$，则直线$${{M}{N}}$$过定点（）
C
A.$$( 0， 2 \sqrt{3} )$$
B.$$( 0，-2 \sqrt{3} )$$
C.$$( 4， 0 )$$
D.$$(-4， 0 )$$
5、['点到直线的距离'， '直线与双曲线的综合应用'， '直线与圆锥曲线的其他应用']正确率40.0%方程$$\sqrt{\left( x+3 \right)^{2}+\left( y-1 \right)^{2}}-\left| x-y+3 \right|=0$$表示的图形是（）
B
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.以上都不对
6、['直线与双曲线的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%过双曲线$$2 x^{2}-y^{2}=8$$的右焦点作一条斜率为$$\frac{\sqrt2} {2}$$的直线交双曲线于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$$| A B |=\c($$）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {7}}}$$
7、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，直线$${{y}{=}{\sqrt {3}}{x}}$$与双曲线$${{C}}$$的一个交点$${{P}}$$在以线段$${{F}_{1}{{F}_{2}}}$$为直径的圆上，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
C
A.$${{4}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{5}{+}{2}{\sqrt {5}}}$$
C.$$\sqrt3+1$$
D.$$\sqrt3+2$$
8、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用'， '两条直线垂直'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%过双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$左焦点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与$${{C}}$$交于$${{M}{，}{N}}$$两点，且$$\overrightarrow{F N}=3 \overrightarrow{F M}，$$若$$O M \perp F N$$，则$${{C}}$$的离心率为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {7}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
9、['双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '直线的斜率']正确率60.0%平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$的四个顶点均在双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$上，直线$$A B， ~ A D$$的斜率分别为$$\frac{1} {2}， ~ 1，$$则该双曲线的渐近线方程为$${{(}{)}}$$
A
A.$$x \pm\sqrt{2} y=0$$
B.$$\sqrt{2} x \pm y=0$$
C.$$x \pm y=0$$
D.$$x \pm\sqrt{3} y=0$$
10、['直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的其他性质'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%过双曲线$$2 x^{2}-y^{2}=8$$的右焦点作一直线交双曲线于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A B |=8$$，则这样的直线共有
C
A.$${{1}}$$条
B.$${{2}}$$条
C.$${{3}}$$条
D.$${{4}}$$条
1. 解析：
将直线方程 $$y = x - 1$$ 代入双曲线方程 $$2x^2 - y^2 = 3$$，得到：
$$2x^2 - (x - 1)^2 = 3$$
化简得：
$$x^2 + 2x - 4 = 0$$
设交点横坐标为 $$x_1$$ 和 $$x_2$$，则中点横坐标为：
$$\frac{x_1 + x_2}{2} = -1$$
代入直线方程得中点纵坐标：
$$y = -1 - 1 = -2$$
因此，中点坐标为 $$(-1, -2)$$，对应选项 C。
2. 解析：
双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。与直线 $$x = \frac{a^2}{c}$$ 的交点为：
$$A\left(\frac{a^2}{c}, \frac{b}{a} \cdot \frac{a^2}{c}\right), \quad B\left(\frac{a^2}{c}, -\frac{b}{a} \cdot \frac{a^2}{c}\right)$$
线段 $$AB$$ 的长度为：
$$\frac{2b}{a} \cdot \frac{a^2}{c} = \frac{2ab}{c}$$
焦点 $$(c, 0)$$ 到渐近线 $$bx - ay = 0$$ 的距离为：
$$\frac{|bc|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{bc}{c} = b$$
由题意得：
$$\frac{2ab}{c} = b \Rightarrow 2a = c \Rightarrow c^2 = 4a^2$$
结合 $$c^2 = a^2 + b^2$$，得 $$b^2 = 3a^2$$，即 $$\frac{b}{a} = \sqrt{3}$$。
因此，渐近线方程为 $$y = \pm \sqrt{3}x$$，对应选项 B。
3. 解析：
设双曲线焦距为 $$2c$$，由题意 $$|QF_2| = \sqrt{2}c$$。根据几何关系，$$Q$$ 是 $$PF_1$$ 的中点，且 $$\angle PF_2F_1 = 90^\circ$$。
设 $$PF_2 = x$$，则 $$PF_1 = 2a + x$$。由勾股定理：
$$(2a + x)^2 = x^2 + (2c)^2 \Rightarrow 4a^2 + 4ax = 4c^2 \Rightarrow x = \frac{c^2 - a^2}{a}$$
又因为 $$Q$$ 是中点，$$QF_2 = \sqrt{2}c$$，通过向量运算可得：
$$c^2 = 2a^2 \Rightarrow e = \sqrt{2}$$，对应选项 A。
4. 解析：
根据题意，切线方程为 $$\frac{x \cdot 1}{4} - \frac{y \cdot t}{12} = 1$$，即 $$3x - ty - 12 = 0$$。
设切点 $$M(x_1, y_1)$$ 和 $$N(x_2, y_2)$$，则切线方程为：
$$\frac{x x_1}{4} - \frac{y y_1}{12} = 1, \quad \frac{x x_2}{4} - \frac{y y_2}{12} = 1$$
因为 $$Q(1, t)$$ 在两条切线上，代入得：
$$\frac{x_1}{4} - \frac{t y_1}{12} = 1, \quad \frac{x_2}{4} - \frac{t y_2}{12} = 1$$
这表明 $$M$$ 和 $$N$$ 在直线 $$\frac{x}{4} - \frac{t y}{12} = 1$$ 上，即 $$3x - ty - 12 = 0$$。
因此，直线 $$MN$$ 的方程为 $$3x - ty - 12 = 0$$，恒过定点 $$(4, 0)$$，对应选项 C。
5. 解析：
方程 $$\sqrt{(x+3)^2 + (y-1)^2} = |x - y + 3|$$ 表示点 $$(x, y)$$ 到点 $$(-3, 1)$$ 的距离等于到直线 $$x - y + 3 = 0$$ 的距离。
根据抛物线的定义，这是抛物线的方程，对应选项 C。
6. 解析：
双曲线标准化为 $$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = 1$$，右焦点为 $$(\sqrt{12}, 0)$$。
直线斜率为 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$，方程为 $$y = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - \sqrt{12})$$。
代入双曲线方程，化简后利用弦长公式得：
$$|AB| = 8$$，对应选项 B。
7. 解析：
双曲线的离心率 $$e = \frac{c}{a}$$。由题意，点 $$P$$ 在圆上，且满足 $$y = \sqrt{3}x$$。
代入双曲线方程并利用圆的性质，解得：
$$e = \sqrt{3} + 1$$，对应选项 C。
8. 解析：
设 $$FN = 3FM$$，利用向量关系和垂直条件，通过几何分析得：
离心率 $$e = \sqrt{10}$$，对应选项 D。
9. 解析：
设双曲线渐近线斜率为 $$\pm \frac{b}{a}$$。根据平行四边形顶点在双曲线上，且直线斜率为 $$\frac{1}{2}$$ 和 $$1$$，解得：
$$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$，即渐近线方程为 $$\sqrt{2}x \pm y = 0$$，对应选项 B。
10. 解析：
双曲线 $$2x^2 - y^2 = 8$$ 的右焦点为 $$(\sqrt{12}, 0)$$。通过计算，满足 $$|AB| = 8$$ 的直线有两条：一条斜率为正，一条斜率为负。
因此共有 2 条，对应选项 B。