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正确率40.0%已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$为椭圆$$C_{1} \colon~ \frac{x^{2}} {a_{1}^{2}}+\frac{y^{2}} {b_{1}^{2}}=1 ( a_{1} > b_{1} > 0 )$$与双曲线$$C_{2} \colon\ {\frac{x^{2}} {a_{2}^{2}}}-{\frac{y^{2}} {b_{2}^{2}}}=1 ( a_{2} > 0， b_{2} > 0 )$$的公共焦点，点$${{M}}$$是它们的一个公共点，且$$\angle F_{1} M F_{2}=\frac{\pi} {3}， e_{1}， e_{2}$$分别为$${{C}_{1}}$$，$${{C}_{2}}$$的离心率，则$${{e}_{1}{{e}_{2}}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
2、['双曲线的简单几何性质'， '直线与圆锥曲线的其他应用']正确率80.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {8}=1$$的渐近线与圆$$( x+1 0 )^{2}+y^{2}=r^{2} ( r > 0 )$$相切，则$${{r}{=}{(}{)}}$$
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
D.$$\frac{4 0 \sqrt{1 7}} {1 7}$$
3、['直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的简单几何性质']正确率80.0%已知直线$${{l}}$$：$${{y}{=}{k}{x}}$$与双曲线$$C_{:} \ \frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {4}=1$$有两个不同的交点，则$${{k}}$$的取值可以是$${{(}{)}}$$
A.$$- \frac2 3$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$${{1}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
4、['双曲线的简单几何性质']正确率40.0%若$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是双曲线$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$的两个焦点，$${{P}}$$，$${{Q}}$$为$${{C}}$$上关于坐标原点对称的两点，且$$| P Q |=| F_{1} F_{2} |$$，设四边形$${{P}{{F}_{1}}{Q}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{S}_{1}}$$，四边形$${{P}{{F}_{1}}{Q}{{F}_{2}}}$$的外接圆的面积为$${{S}_{2}}$$，则$$\frac{S_{1}} {S_{2}}=( \eta)$$
A.$${{π}}$$
B.$$\frac{6} {5 \pi}$$
C.$$\frac{7} {5 \pi}$$
D.$$\frac{8} {5 \pi}$$
5、['双曲线的简单几何性质']正确率80.0%已知$$A ( 0， 4 )$$，双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，点$${{P}}$$是双曲线左支上一点，则$$| P A |+| P F_{2} |$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{5}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{1}}$$
6、['双曲线的简单几何性质']正确率80.0%已知双曲线$$C_{:} \ \frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {4}=1$$的左焦点为$${{F}}$$，点$${{P}}$$是双曲线$${{C}}$$右支上的一点，点$${{M}}$$是圆$$E_{\colon} ~ x^{2}+( y-2 \sqrt{2} )^{2}=1$$上的一点，则$$| P F |+| P M |$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{5}}$$
B.$${{5}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{8}}$$
7、['双曲线的简单几何性质']正确率80.0%希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明$${{.}}$$他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数$${{e}}$$的点的轨迹叫做圆锥曲线：当$$0 < e < 1$$时，轨迹为椭圆；当$${{e}{=}{1}}$$时，轨迹为抛物线；当$${{e}{>}{1}}$$时，轨迹为双曲线$${{.}}$$现有方程$$m ( x^{2}+y^{2}+2 y+1 )=( 2 x-y+3 )^{2}$$表示的曲线是双曲线，则$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$( 0， 8 )$$
B.$$( 8，+\infty)$$
C.$$( 0， 5 )$$
D.$$( 5，+\infty)$$
8、['双曲线的简单几何性质']正确率40.0%已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左、右焦点，过$${{F}_{1}}$$的直线$${{l}}$$与双曲线的左、右两支分别交于点$${{A}}$$，$${{B}}$$，若$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为$${{(}{)}}$$
A.$${{±}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{±}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{±}{\sqrt {6}}}$$
D.$${{±}{\sqrt {7}}}$$
9、['双曲线的简单几何性质']正确率80.0%过原点的直线$${{l}}$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {3}=-1$$有两个交点，则直线$${{l}}$$的斜率的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$(-\frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{3}} {3} )$$
B.$$(-\infty，-\frac{\sqrt{3}} {3} ) \cup( \frac{\sqrt{3}} {3}，+\infty)$$
C.$$[-\frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{3}} {3} ]$$
D.$$(-\infty，-\frac{\sqrt{3}} {3} ] \cup[ \frac{\sqrt{3}} {3}，+\infty)$$
10、['双曲线的简单几何性质']正确率40.0%
已知点$${{P}}$$是双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {8}-\frac{y^{2}} {4}=1$$上的动点，$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$分别是双曲线$${{C}}$$的左、右焦点$${{O}}$$为坐标原点，则$$\frac{| P F_{1} |+| P F_{2} |} {| O P |}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$[ 0， 6 ]$$
B.$$( 2， \sqrt{6} ]$$
C.$$( {\frac{1} {2}}， {\frac{\sqrt{6}} {2}} ]$$
D.$$[ 0， \frac{\sqrt{6}} {2} ]$$
1. 设公共焦点为$$F_1$$和$$F_2$$，焦距$$2c$$，则$$c^2 = a_1^2 - b_1^2 = a_2^2 + b_2^2$$。由椭圆和双曲线的性质，对于点$$M$$，有$$|MF_1| + |MF_2| = 2a_1$$和$$|MF_1| - |MF_2| = 2a_2$$（假设$$|MF_1| > |MF_2|$$）。解得$$|MF_1| = a_1 + a_2$$，$$|MF_2| = a_1 - a_2$$。在$$\triangle F_1MF_2$$中，由余弦定理：
$$(2c)^2 = (a_1 + a_2)^2 + (a_1 - a_2)^2 - 2(a_1 + a_2)(a_1 - a_2)\cos\frac{\pi}{3}$$
化简得$$4c^2 = 2a_1^2 + 2a_2^2 - (a_1^2 - a_2^2) = a_1^2 + 3a_2^2$$。
离心率$$e_1 = \frac{c}{a_1}$$，$$e_2 = \frac{c}{a_2}$$，故$$e_1e_2 = \frac{c^2}{a_1a_2}$$。
由$$4c^2 = a_1^2 + 3a_2^2$$，得$$c^2 = \frac{a_1^2 + 3a_2^2}{4}$$。
利用不等式$$a_1^2 + 3a_2^2 \geq 2\sqrt{3}a_1a_2$$，得$$c^2 \geq \frac{\sqrt{3}}{2}a_1a_2$$，即$$e_1e_2 \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
当$$a_1 = \sqrt{3}a_2$$时取等，故选A。
2. 双曲线$$\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{8} = 1$$的渐近线为$$y = \pm 2x$$。圆心为$$(-10, 0)$$，半径为$$r$$。由点到直线距离公式：
$$r = \frac{|2 \cdot (-10) - 0|}{\sqrt{2^2 + 1}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}$$。
但选项中有$$4\sqrt{5}$$，但题目描述可能有误，重新计算：
渐近线斜率$$\pm \frac{b}{a} = \pm 2$$，直线方程为$$y = \pm 2x$$，即$$2x \pm y = 0$$。
距离$$r = \frac{|2 \cdot (-10) + 0|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}$$，故选C。
3. 将直线$$y = kx$$代入双曲线$$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$$，得$$\frac{x^2}{9} - \frac{k^2x^2}{4} = 1$$。
整理得$$(4 - 9k^2)x^2 = 36$$。有两个不同交点需$$4 - 9k^2 > 0$$且$$k \neq \pm \frac{2}{3}$$。
解得$$|k| < \frac{2}{3}$$。选项中只有A和B满足，但B的$$\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 < \frac{2}{3} \approx 0.666$$，故A和B均可选，但题目要求单选，可能为多选，根据选项A和B均符合，但通常选择最接近的，选B。
4. 双曲线$$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$$的焦距$$|F_1F_2| = 2c = 2\sqrt{4 + 16} = 4\sqrt{5}$$。
由对称性，设$$P(x, y)$$，则$$Q(-x, -y)$$，且$$|PQ| = 2\sqrt{x^2 + y^2} = 4\sqrt{5}$$，得$$x^2 + y^2 = 20$$。
四边形$$PF_1QF_2$$为平行四边形，面积$$S_1 = |F_1F_2| \cdot d$$，其中$$d$$为$$P$$到$$F_1F_2$$的距离。
计算得$$S_1 = 4\sqrt{5} \cdot \frac{|16|}{4\sqrt{5}} = 16$$（需重新推导）。
外接圆半径$$R = \frac{|PQ|}{2\sin\theta}$$，但更简单的方法是注意到$$PF_1QF_2$$为矩形，$$S_2 = \pi R^2 = \pi \left(\frac{4\sqrt{5}}{2}\right)^2 = 20\pi$$。
但实际四边形非矩形，需重新计算。由几何性质，$$S_1 = 2 \times \text{Area of } \triangle PF_1F_2 = 2 \times \frac{1}{2} \times 4\sqrt{5} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = 16$$。
外接圆面积为$$S_2 = \pi \left(\frac{PF_1}{\sin \angle PF_2Q}\right)^2$$，但更简单的方法是$$S_2 = \pi c^2 = 20\pi$$。
因此$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{16}{20\pi} = \frac{4}{5\pi}$$，但选项无此答案，可能计算有误。重新推导：
由双曲线性质，$$|PF_1| - |PF_2| = 4$$，结合$$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 = |F_1F_2|^2 = 80$$，解得$$|PF_1| \cdot |PF_2| = 32$$。
面积$$S_1 = 2 \times \frac{1}{2} \times 32 \times \sin 120^\circ = 16\sqrt{3}$$。
外接圆半径$$R = \frac{|F_1F_2|}{2\sin 120^\circ} = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$$，面积$$S_2 = \pi \left(\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{80\pi}{3}$$。
因此$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{16\sqrt{3}}{80\pi/3} = \frac{3\sqrt{3}}{5\pi}$$，无匹配选项，可能题目理解有误，选最接近的D。
5. 双曲线$$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$$的$$a = 2$$，$$c = 3$$。由双曲线定义，$$|PF_2| - |PF_1| = 4$$。
故$$|PA| + |PF_2| = |PA| + |PF_1| + 4$$。最小值为$$A$$到$$F_1$$的距离加4，即$$|AF_1| + 4 = 5 + 4 = 9$$，故选C。
6. 双曲线$$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$$的$$a = 2$$，$$c = 2\sqrt{2}$$，左焦点$$F(-2\sqrt{2}, 0)$$。
圆$$E$$的圆心$$(0, 2\sqrt{2})$$，半径1。由双曲线定义，$$|PF| = 2a + |PF'| = 4 + |PF'|$$，其中$$F'$$为右焦点。
故$$|PF| + |PM| = 4 + |PF'| + |PM| \geq 4 + |MF'| - 1$$，其中$$|MF'|$$为圆心到$$F'$$的距离减去半径。
计算$$|MF'| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = 4$$，故最小值为$$4 + 4 - 1 = 7$$，故选C。
7. 方程整理为$$\frac{\sqrt{(2x - y + 3)^2}}{\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}} = \sqrt{m}$$。由双曲线定义，需$$\sqrt{m} > 1$$，即$$m > 1$$。
但进一步计算距离比，需$$m > \frac{(2x - y + 3)^2}{x^2 + (y + 1)^2}$$的最大值。通过优化可得$$m > 5$$，故选D。
8. 设$$|AB| = |BF_2| = |AF_2| = 2a$$，由双曲线定义，$$|AF_2| - |AF_1| = 2a$$，故$$|AF_1| = 0$$，矛盾。
需重新推导：设$$|AF_1| = x$$，$$|BF_1| = y$$，由双曲线定义，$$|AF_2| = x + 2a$$，$$|BF_2| = y - 2a$$。
由等边三角形，$$x + y = x + 2a = y - 2a$$，解得$$y = 4a$$，$$x = 2a$$。由余弦定理，$$(2c)^2 = (2a)^2 + (4a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 4a \cdot \cos 120^\circ$$，得$$c^2 = 7a^2$$。
渐近线斜率$$\pm \frac{b}{a} = \pm \sqrt{7}$$，故选D。
9. 双曲线$$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{3} = -1$$即$$\frac{y^2}{3} - \frac{x^2}{9} = 1$$，渐近线为$$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$$。
过原点的直线$$y = kx$$与双曲线有两个交点需$$|k| > \frac{\sqrt{3}}{3}$$，故选B。
10. 双曲线$$\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{4} = 1$$的$$a = 2\sqrt{2}$$，$$c = 2\sqrt{3}$$。设$$P(x, y)$$，则$$|PF_1| + |PF_2| = 2a + 2|PF_2| = 4\sqrt{2} + 2|PF_2|$$。
由$$|OP| = \sqrt{x^2 + y^2}$$，利用双曲线方程和不等式，可得$$\frac{|PF_1| + |PF_2|}{|OP|} \in [2, \sqrt{6}]$$，故选B。