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正确率80.0%“$${{m}{<}{−}{1}}$$或$${{m}{>}{2}}$$”是“方程$$\frac{x^{2}} {m^{2}}+\frac{y^{2}} {2+m}=1$$表示焦点在$${{x}}$$轴上的椭圆”的$${{(}{)}}$$
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['椭圆的简单几何性质'， '双曲线的简单几何性质'， '直线与圆锥曲线的其他应用']正确率40.0%设$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是椭圆$${{C}_{1}}$$：$$\frac{x^{2}} {a_{1}^{2}}+\frac{y^{2}} {b_{1}^{2}}=1 ( a_{1} > b_{1} > 0 )$$与双曲线$${{C}_{2}}$$：$$\frac{x^{2}} {a_{2}^{2}}-\frac{y^{2}} {b_{2}^{2}}=1 ( a_{2} > 0， b_{2} > 0 )$$的公共焦点，曲线$${{C}_{1}}$$，$${{C}_{2}}$$在第一象限内交于点$${{M}}$$，$${{∠}{{F}_{1}}{M}{{F}_{2}}{=}{{6}{0}}{°}}$$，若椭圆的离心率$$e_{1} \in[ \frac{\sqrt{3}} {3}， 1 )，$$则双曲线的离心率$${{e}_{2}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{1}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$
B.$${{(}{1}{，}{\sqrt {3}}{]}}$$
C.$${{[}{\sqrt {3}}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{[}{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{)}}$$
3、['直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的简单几何性质'， '椭圆及其标准方程']正确率40.0%已知$${{F}}$$是椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > b > 0 )$$的右焦点，$${{A}}$$是$${{C}}$$的上顶点，直线$${{l}}$$：$${{3}{x}{−}{4}{y}{=}{0}}$$与$${{C}}$$交于$${{M}}$$，$${{N}}$$两点．若$${{|}{M}{F}{|}{+}{{|}{N}{F}{|}}{=}{6}}$$，$${{A}}$$到$${{l}}$$的距离不小于$$\frac{8} {\pi}$$，则$${{C}}$$的离心率的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$[ \frac{\sqrt{5}} {3}， 1 )$$
B.$$\left( 0， \frac{\sqrt{5}} {3} \right]$$
C.$$\left( 0， \frac{\sqrt{3}} {2} \right]$$
D.$$[ \frac{\sqrt{3}} {2}， 1 )$$
4、['椭圆的简单几何性质']正确率80.0%已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的两个焦点，若存在点$${{P}}$$为椭圆上一点，使得$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}{=}{{6}{0}}{°}}$$，则椭圆离心率$${{e}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 )$$
B.$$( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} )$$
C.$$[ \frac{1} {2}， 1 )$$
D.$$[ \frac{1} {2}， \frac{\sqrt{2}} {2} )$$
5、['椭圆的简单几何性质']正确率40.0%已知椭圆方程为$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$，$${{M}{(}{2}{，}{1}{)}}$$为椭圆内一点，以$${{M}}$$为中点的弦与椭圆交于点$${{A}}$$，$${{B}}$$，与$${{x}}$$轴交于点$${{P}}$$，线段$${{A}{B}}$$的中垂线与$${{x}}$$轴交于点$${{G}}$$，当$${{△}{G}{P}{M}}$$面积最小时，椭圆的离心率为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
6、['椭圆的简单几何性质']正确率40.0%已知$${{P}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1 ( y \neq-1 )$$上任一点，过$${{P}}$$作圆$${{C}}$$：$${{x}^{2}{+}{(}{y}{+}{2}{{)}^{2}}{=}{1}}$$的两条切线$${{P}{M}}$$，$${{P}{N}}$$，切点分别为$${{M}}$$，$${{N}}$$，则$$\overrightarrow{C M} \cdot\overrightarrow{C N}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{0}}$$
B.$$- \frac{3} {4}$$
C.$$- \frac{7} {9}$$
D.$$- \frac{1 1} {1 4}$$
7、['椭圆的简单几何性质']正确率40.0%法国数学家加斯帕尔$${{⋅}}$$蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆$${{.}}$$我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆$${{.}}$$已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的蒙日圆方程为$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{a}^{2}}{+}{{b}^{2}}}$$，现有椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {1 2}=1$$的蒙日圆上一个动点$${{M}}$$，过点$${{M}}$$作椭圆$${{C}}$$的两条切线，与该蒙日圆分别交于$${{P}}$$，$${{Q}}$$两点，若$${{△}{M}{P}{Q}}$$面积的最大值为$${{2}{8}}$$，则椭圆$${{C}}$$的长轴长为$${{(}{)}}$$
A.$${{5}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{1}{0}}$$
8、['椭圆的简单几何性质']正确率80.0%焦点在$${{x}}$$轴上的椭圆$$\frac{x^{2}} {m}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的焦距为$${{8}}$$，则$${{m}{=}{(}{)}}$$
A.$${{4}{0}}$$
B.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{2}{0}}$$
9、['椭圆的简单几何性质']正确率40.0%若点$${{P}}$$，$${{Q}}$$分别在椭圆$$x^{2}+\frac{y^{2}} {4}=1$$和直线$${\sqrt {3}{x}{+}{y}{−}{2}{\sqrt {7}}{=}{0}}$$上运动，则$${{P}{Q}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt{7}} {2}$$
B.$${\sqrt {7}}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{7}} {2}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{7}} {7}$$
10、['椭圆的简单几何性质']正确率80.0%已知$${{F}}$$是椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {9}+y^{2}=1$$的左焦点，$${{M}}$$是椭圆$${{C}}$$上任意一点，$${{Q}}$$是圆$${{E}}$$：$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{4}{\sqrt {2}}{x}{−}{{1}{0}}{y}{+}{{3}{2}}{=}{0}}$$上任意一点，则$${{|}{M}{Q}{|}{−}{|}{M}{F}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{−}{1}}$$
1. 解析：方程 $$\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{2+m}=1$$ 表示焦点在 $$x$$ 轴上的椭圆的条件是分母均为正且 $$m^{2} > 2+m$$，即 $$m^{2} - m - 2 > 0$$，解得 $$m < -1$$ 或 $$m > 2$$。题目给出的条件是 $$m < -1$$ 或 $$m > 2$$，与结论完全一致，因此是充要条件。正确答案是 C。
2. 解析：椭圆和双曲线的公共焦点为 $$F_1$$ 和 $$F_2$$，焦距为 $$2c$$，其中 $$c = \sqrt{a_1^2 - b_1^2} = \sqrt{a_2^2 + b_2^2}$$。在点 $$M$$ 处，椭圆和双曲线的性质结合角度条件 $$∠F_1MF_2 = 60°$$，利用余弦定理和离心率定义可得关系式。椭圆离心率 $$e_1 = \frac{c}{a_1} \in \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right)$$，解得双曲线离心率 $$e_2 = \frac{c}{a_2}$$ 的范围是 $$(1, \sqrt{3}]$$。正确答案是 B。
3. 解析：椭圆 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$ 的右焦点为 $$F(c, 0)$$，上顶点为 $$A(0, b)$$。直线 $$3x - 4y = 0$$ 与椭圆交于 $$M$$ 和 $$N$$，由 $$|MF| + |NF| = 6$$ 可得 $$2a = 6$$，即 $$a = 3$$。点 $$A$$ 到直线的距离不小于 $$\frac{8}{\pi}$$，即 $$\frac{|3 \cdot 0 - 4 \cdot b|}{5} \geq \frac{8}{\pi}$$，解得 $$b \geq \frac{10}{\pi}$$。结合 $$a = 3$$ 和 $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$，离心率 $$e = \frac{c}{a}$$ 的范围是 $$\left(0, \frac{\sqrt{5}}{3}\right]$$。正确答案是 B。
4. 解析：椭圆上存在点 $$P$$ 使得 $$∠F_1PF_2 = 60°$$，利用余弦定理和椭圆性质可得不等式 $$4c^2 \geq 4a^2 - 3b^2$$。结合 $$b^2 = a^2 - c^2$$，化简得 $$4c^2 \geq a^2$$，即 $$e = \frac{c}{a} \geq \frac{1}{2}$$。同时 $$e < 1$$，因此离心率范围是 $$\left[\frac{1}{2}, 1\right)$$。正确答案是 C。
5. 解析：设椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，点 $$M(2,1)$$ 为弦的中点。利用中点弦性质可得直线斜率，进一步求出点 $$P$$ 和 $$G$$ 的坐标。通过面积最小化条件，解得离心率 $$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。正确答案是 B。
6. 解析：椭圆 $$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$$ 上点 $$P$$ 作圆 $$x^{2}+(y+2)^{2}=1$$ 的两条切线，切点为 $$M$$ 和 $$N$$。利用向量点积公式和几何性质，最小值出现在 $$P$$ 为椭圆顶点时，计算得最小值为 $$-\frac{11}{14}$$。正确答案是 D。
7. 解析：椭圆蒙日圆方程为 $$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$$，其中 $$b^{2}=12$$。由三角形面积最大值为 28，结合几何性质解得 $$a=4$$，因此长轴长为 8。正确答案是 B。
8. 解析：椭圆 $$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1$$ 的焦距为 8，即 $$2\sqrt{m - 4} = 8$$，解得 $$m = 20$$。正确答案是 D。
9. 解析：点 $$P$$ 在椭圆 $$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$$ 上，点 $$Q$$ 在直线 $$\sqrt{3}x + y - 2\sqrt{7} = 0$$ 上。利用距离公式和参数化方法，最小距离为 $$\frac{\sqrt{7}}{2}$$。正确答案是 A。
10. 解析：椭圆 $$\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$$ 的左焦点为 $$F(-2\sqrt{2}, 0)$$，圆 $$E$$ 的圆心为 $$(2\sqrt{2}, 5)$$。利用椭圆定义和几何性质，最小值为 $$-4$$。正确答案是 A。