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正确率40.0%已知斜率存在的直线$${{l}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {4}=1$$交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，且$${{l}}$$与圆$${{C}}$$：$${{(}{x}{−}{1}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$切于点$${{P}{.}}$$若$${{P}}$$为线段$${{A}{B}}$$的中点，则直线$${{P}{C}}$$的斜率为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$或$${{−}{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$或$${{−}{\sqrt {2}}}$$
4、['椭圆的简单几何性质']正确率80.0%已知$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点，若该椭圆上存在两点$${{A}}$$、$${{B}}$$，使得$$\overrightarrow{F_{1} A}=2 \overrightarrow{F_{2} B}$$，则该椭圆的离心率的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
B.$$( 0， \frac{1} {3} )$$
C.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$
D.$$( {\frac{1} {3}}， 1 )$$
5、['椭圆的简单几何性质']正确率80.0%若椭圆$$\frac{x^{2}} {m}+\frac{y^{2}} {6}=1$$的焦距为$${{2}}$$，则离心率是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt{7}} {7}$$
B.$$\frac{\sqrt{7}} {7}$$或$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}} {7}$$或$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
6、['椭圆的简单几何性质']正确率80.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {5}+\frac{y^{2}} {m}=1$$的一个焦点坐标为$${{(}{0}{，}{−}{2}{)}}$$，则实数$${{m}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{9}}$$
7、['椭圆的简单几何性质'， '双曲线的简单几何性质']正确率80.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {a^{2}}=1$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {2}=1$$有相同的焦点，则$${{a}{=}{(}{)}}$$
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{±}{1}}$$
D.$${{2}}$$
8、['椭圆的简单几何性质']正确率80.0%$${{F}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {5}=1$$的左焦点，$${{P}}$$是椭圆上的动点，$${{A}{(}{1}{，}{1}{)}}$$为定点，则$${{|}{P}{A}{|}{+}{|}{P}{F}{|}}$$的最小值是$${{(}{)}}$$
A.$${{9}{−}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{3}{+}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{6}{−}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{6}{+}{\sqrt {2}}}$$
9、['椭圆的简单几何性质']正确率80.0%设$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {7}+\frac{y^{2}} {3}=1$$的左、右焦点，动点$${{P}}$$在椭圆上，当$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$面积最大时，$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}}$$的值等于$${{(}{)}}$$
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{1}}$$
10、['椭圆的简单几何性质']正确率80.0%已知椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的两个焦点为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，过$${{F}_{1}}$$的直线与$${{C}}$$交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点．若$${{|}{A}{{F}_{1}}{|}{=}{3}{|}{{F}_{1}}{B}{|}}$$，$${{|}{A}{{F}_{2}}{|}{=}{2}{|}{B}{{F}_{1}}{|}}$$，$${{△}{A}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{3}{\sqrt {{1}{5}}}}$$，则$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
1. 设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = kx + c$$。由于 $$l$$ 与圆 $$C$$ 相切于点 $$P$$，利用切线性质可得圆心 $$(1, 0)$$ 到直线 $$l$$ 的距离等于半径 $$1$$，即：
同时，$$P$$ 是 $$AB$$ 的中点，设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，则中点 $$P$$ 的坐标为 $$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$。联立椭圆方程和直线方程，利用中点条件可得：
相减并整理得：
代入中点坐标和斜率 $$k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$$，解得：
结合切线条件和直线方程，解得 $$k = \pm \sqrt{2}$$，因此直线 $$PC$$ 的斜率为 $$\pm \sqrt{2}$$。答案为 D。
4. 设椭圆焦距为 $$2c$$，半长轴为 $$a$$，半短轴为 $$b$$。由向量条件 $$\overrightarrow{F_1 A} = 2 \overrightarrow{F_2 B}$$，可得 $$A$$ 和 $$B$$ 的坐标关系。利用椭圆性质，当 $$A$$ 为右顶点时，$$B$$ 为左顶点，此时离心率 $$e = \frac{1}{3}$$；当 $$A$$ 接近上顶点时，$$e$$ 趋近于 $$1$$。因此离心率范围为 $$\left(\frac{1}{3}, 1\right)$$。答案为 D。
5. 椭圆焦距为 $$2$$，即 $$2\sqrt{m - 6} = 2$$ 或 $$2\sqrt{6 - m} = 2$$。解得 $$m = 7$$ 或 $$m = 5$$。离心率分别为：
答案为 B。
6. 椭圆焦点在 $$y$$ 轴上，由 $$c = 2$$ 得 $$m - 5 = 4$$，故 $$m = 9$$。答案为 D。
7. 椭圆和双曲线的焦点相同，即 $$\sqrt{4 - a^2} = \sqrt{a^2 + 2}$$。解得 $$a^2 = 1$$，故 $$a = \pm 1$$。答案为 C。
8. 椭圆 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$$ 的左焦点为 $$F(-2, 0)$$。利用椭圆定义，$$|PF| + |PA| = 6 - |PF'| + |PA|$$（$$F'$$ 为右焦点）。最小值为 $$6 - |AF'| = 6 - \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - 0)^2} = 6 - \sqrt{2}$$。答案为 C。
9. 椭圆 $$\frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{3} = 1$$ 的焦点为 $$F_1(-2, 0)$$，$$F_2(2, 0)$$。当 $$P$$ 为上顶点或下顶点时，$$\triangle PF_1F_2$$ 面积最大。此时 $$P(0, \sqrt{3})$$，向量 $$\overrightarrow{PF_1} = (-2, -\sqrt{3})$$，$$\overrightarrow{PF_2} = (2, -\sqrt{3})$$，点积为 $$-4 + 3 = -1$$。答案为 B。
10. 设 $$|F_1B| = t$$，则 $$|AF_1| = 3t$$，$$|AF_2| = 2t$$。由椭圆定义，$$|AF_1| + |AF_2| = 2a$$，即 $$5t = 2a$$。利用面积公式和余弦定理，解得 $$a = 5$$。答案为 C。
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