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正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > b > 0 )$$的离心率为$$\frac{{\sqrt{5}}-1} {2}， \; \; F， \; \; A$$分别是它的左焦点和右顶点，$${{B}}$$是短轴的一个端点，则$${{∠}{A}{B}{F}}$$等于（）
C
A.$${{6}{0}^{∘}}$$
B.$${{7}{0}^{∘}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
2、['向量加法的定义及运算法则'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知$${{P}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( 0 < b < 5 )$$上除顶点外的一点，$${{F}_{1}}$$是椭圆的左焦点，若$$\left| \frac{1} {2} ( \overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O F_{1}} ) \right|=4.$$则点$${{P}}$$到该椭圆左焦点的距离为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{6}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
3、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$的左、右焦点，点$${{P}}$$在此椭圆上，则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的周长等于（）
A
A.$${{1}{6}}$$
B.$${{2}{0}}$$
C.$${{1}{8}}$$
D.$${{1}{4}}$$
4、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率80.0%已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的两个焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ P$$是椭圆上一点$$| P F_{1} |+| P F_{2} |=1 0，$$且$${{C}}$$的短半轴长等于焦距，则椭圆$${{C}}$$的标准方程为（）
D
A.$$\frac{x^{2}} {1 5}+\frac{y^{2}} {1 0}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4 5}+\frac{y^{2}} {3 0}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {3 0}+\frac{y^{2}} {2 0}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {2 0}=1$$
5、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点，过点$${{F}_{1}}$$的直线交椭圆$${{C}}$$于$${{M}{，}{N}}$$两点，若$$\overrightarrow{M F_{1}}=3 \overrightarrow{F_{1} N}，$$且$$\operatorname{c o s} \angle M N F_{2}=\frac{4} {5}，$$则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
A
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt2-1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2-1} {3}$$
6、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知椭圆$$E_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左焦点为$${{F}_{1}{，}}$$右焦点为$${{F}_{2}{，}}$$若$${{E}}$$上的点$${{P}}$$满足$${{P}{{F}_{2}}{⊥}{x}}$$轴，$$\operatorname{s i n} \angle P F_{1} F_{2}=\frac{3} {5}，$$则$${{E}}$$的离心率为（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{1} {5}$$
7、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率60.0%以$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {1 2}=-1$$的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {1 2}=1$$
8、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，若椭圆上存在点$${{P}}$$，使$$\angle F_{1} P F_{2}=9 0^{\circ}，$$则椭圆的离心率$${{e}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
B.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 )$$
C.$$( 0， \frac{\sqrt{3}} {2} ]$$
D.$$( \frac{\sqrt{3}} {2}， 1 )$$
9、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率60.0%设$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {9}=1$$的左$${、}$$右焦点，点$${{M}}$$在该椭圆上，则$${{△}{M}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的周长是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{3}}$$
C.$${{1}{4}}$$
D.$${{1}{8}}$$
10、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知离心率为$${{e}_{1}}$$的椭圆$$C_{1} : \frac{x^{2}} {{a_{1}}^{2}}+\frac{y^{2}} {{b_{1}}^{2}}=1 \， ( a_{1} > b_{1} > 0 )$$和离心率为$${{e}_{2}}$$的双曲线$$C_{2} \colon\frac{x^{2}} {a_{2} {}^{2}}-\frac{y^{2}} {b_{2} {}^{2}}=1$$$$( a_{2} > 0， b_{2} > 0 )$$有公共的焦点$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ P$$是它们在第一象限的交点，且$$\angle F_{1} P F_{2}=6 0^{\circ}$$，则$$e_{1}^{2}+e_{2}^{2}$$的最小值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{1+\sqrt{3}} {2}$$
C.$$\frac{2+\sqrt{3}} {2}$$
D.$$\frac{3+\sqrt{3}} {2}$$
1. 解析：
已知椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，离心率 $$e = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$。根据离心率定义 $$e = \frac{c}{a}$$，可得 $$c = a \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$。
由椭圆性质，$$c^2 = a^2 - b^2$$，代入得 $$b^2 = a^2 - c^2 = a^2 \left(1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2\right) = a^2 \left(1 - \frac{6-2\sqrt{5}}{4}\right) = a^2 \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$。
点 $$F$$ 为左焦点 $$(-c, 0)$$，点 $$A$$ 为右顶点 $$(a, 0)$$，点 $$B$$ 为短轴端点 $$(0, b)$$。
计算向量 $$\overrightarrow{BA} = (a, -b)$$ 和 $$\overrightarrow{BF} = (-c, -b)$$，利用向量夹角公式：
$$\cos \angle ABF = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BF}|} = \frac{-ac + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + b^2}}$$。
代入 $$c$$ 和 $$b^2$$ 的表达式，化简后可得 $$\cos \angle ABF = \frac{1}{2}$$，因此 $$\angle ABF = 60^\circ$$。
答案为 A。
2. 解析：
椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$，左焦点 $$F_1 = (-\sqrt{25 - b^2}, 0)$$。
设点 $$P = (x, y)$$，则 $$\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OF_1}) = \left(\frac{x - \sqrt{25 - b^2}}{2}, \frac{y}{2}\right)$$，其模长为 4，故：
$$\sqrt{\left(\frac{x - \sqrt{25 - b^2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2} = 4$$，化简得 $$(x - \sqrt{25 - b^2})^2 + y^2 = 64$$。
又 $$P$$ 在椭圆上，满足 $$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$。联立解得 $$x = 5 - \sqrt{25 - b^2}$$，代入椭圆方程可得 $$b = 3$$。
因此，左焦点 $$F_1 = (-4, 0)$$，点 $$P$$ 到 $$F_1$$ 的距离为 $$\sqrt{(5 - (-4))^2 + 0^2} = 6$$。
答案为 A。
3. 解析：
椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$$，半长轴 $$a = 5$$，半短轴 $$b = 4$$，焦距 $$c = \sqrt{a^2 - b^2} = 3$$。
焦点 $$F_1 = (-3, 0)$$，$$F_2 = (3, 0)$$。点 $$P$$ 在椭圆上，由椭圆定义有 $$|PF_1| + |PF_2| = 2a = 10$$。
因此，$$\triangle PF_1F_2$$ 的周长为 $$|PF_1| + |PF_2| + |F_1F_2| = 10 + 6 = 16$$。
答案为 A。
4. 解析：
椭圆定义 $$|PF_1| + |PF_2| = 2a = 10$$，故 $$a = 5$$。短半轴长等于焦距，即 $$b = 2c$$。
由 $$c^2 = a^2 - b^2$$，代入得 $$c^2 = 25 - 4c^2$$，解得 $$c = \sqrt{5}$$，$$b = 2\sqrt{5}$$。
因此，椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{20} = 1$$。
答案为 D。
5. 解析：
设 $$|F_1N| = d$$，则 $$|MF_1| = 3d$$。由椭圆定义，$$|MF_2| = 2a - 3d$$，$$|NF_2| = 2a - d$$。
在 $$\triangle MNF_2$$ 中，由余弦定理：
$$\cos \angle MNF_2 = \frac{(2a - d)^2 + (4d)^2 - (2a - 3d)^2}{2 \cdot (2a - d) \cdot 4d} = \frac{4}{5}$$。
化简得 $$a = 2d$$。代入椭圆性质 $$c^2 = a^2 - b^2$$，进一步计算可得离心率 $$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
答案为 A。
6. 解析：
设椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$，焦距 $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$。
点 $$P$$ 满足 $$PF_2 \perp x$$ 轴，故 $$P = (c, \frac{b^2}{a})$$。由 $$\sin \angle PF_1F_2 = \frac{3}{5}$$，得 $$\frac{b^2/a}{2c} = \frac{3}{5}$$。
化简得 $$5b^2 = 6ac$$，代入 $$c^2 = a^2 - b^2$$，解得离心率 $$e = \frac{1}{2}$$。
答案为 A。
7. 解析：
双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = -1$$，即 $$\frac{y^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{4} = 1$$，其焦点在 $$y$$ 轴上，顶点为 $$(0, \pm 2\sqrt{3})$$，焦点为 $$(0, \pm 4)$$。
所求椭圆以双曲线的焦点为顶点，故 $$a = 4$$；以双曲线的顶点为焦点，故 $$c = 2\sqrt{3}$$，$$b = \sqrt{a^2 - c^2} = 2$$。
因此，椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$$。
答案为 B。
8. 解析：
设椭圆上点 $$P$$ 满足 $$\angle F_1PF_2 = 90^\circ$$，则 $$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 = |F_1F_2|^2 = 4c^2$$。
由椭圆定义 $$|PF_1| + |PF_2| = 2a$$，平方得 $$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 + 2|PF_1||PF_2| = 4a^2$$。
联立得 $$4c^2 + 2|PF_1||PF_2| = 4a^2$$，即 $$|PF_1||PF_2| = 2(a^2 - c^2) = 2b^2$$。
由几何不等式，$$|PF_1||PF_2| \leq \left(\frac{|PF_1| + |PF_2|}{2}\right)^2 = a^2$$，故 $$2b^2 \leq a^2$$，即 $$2(a^2 - c^2) \leq a^2$$，化简得 $$e \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
又 $$e < 1$$，故 $$e \in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$。
答案为 B。
9. 解析：
椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$$，半长轴 $$a = 5$$，半短轴 $$b = 3$$，焦距 $$c = \sqrt{a^2 - b^2} = 4$$。
焦点 $$F_1 = (-4, 0)$$，$$F_2 = (4, 0)$$。点 $$M$$ 在椭圆上，由椭圆定义有 $$|MF_1| + |MF_2| = 2a = 10$$。
因此，$$\triangle MF_1F_2$$ 的周长为 $$|MF_1| + |MF_2| + |F_1F_2| = 10 + 8 = 18$$。
答案为 D。
10. 解析：
设公共焦距为 $$2c$$，椭圆和双曲线的离心率分别为 $$e_1 = \frac{c}{a_1}$$，$$e_2 = \frac{c}{a_2}$$。
由椭圆和双曲线的性质，点 $$P$$ 满足 $$|PF_1| + |PF_2| = 2a_1$$ 和 $$||PF_1| - |PF_2|| = 2a_2$$。
在 $$\triangle F_1PF_2$$ 中，由余弦定理：
$$4c^2 = |PF_1|^2 + |PF_2|^2 - 2|PF_1||PF_2|\cos 60^\circ$$。
联立解得 $$e_1^2 + e_2^2 \geq \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$$，当且仅当 $$|PF_1| = (1 + \sqrt{3})a_2$$ 时取等。
答案为 C。