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正确率40.0%已知椭圆$${{C}_{1}}$$$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$$$( a > b > 0 )$$，抛物线$$C_{2} : y^{2}=4 x$$，且$${{C}_{1}}$$与$${{C}_{2}}$$在第一象限的交点为$${{P}}$$，且$${{C}_{1}}$$和$${{C}_{2}}$$在$${{P}}$$处的切线斜率之积为$$- \frac{1} {4}$$，则$${{C}_{1}}$$的离心率为（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
2、['余弦定理及其应用'， '椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的标准方程']正确率60.0%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左焦点为$${{F}{，}{C}}$$与过原点的直线相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，连接$$A F， B F$$.若$$| A B |=1 0， | B F |=8，$$$$\operatorname{c o s} \angle A B F=\frac{4} {5}$$，则$${{C}}$$的离心率为（）
B
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {7}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$\begin{array} {c} {6} \\ {\frac{7} {}} \\ \end{array}$$
3、['正弦定理及其应用'， '椭圆的离心率'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知椭圆$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ O$$为坐标原点，$${{P}}$$为第二象限内椭圆上的一点，且$$\angle F_{1} P F_{2}=3 0^{\circ}，$$直线$${{P}{{F}_{2}}}$$交$${{y}}$$轴于点$${{M}}$$，若$$| F_{1} F_{2} |=2 \sqrt{3} | O M |$$，则该椭圆的离心率为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {4}$$
C.$$\frac{{\sqrt5}-1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$
4、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '三角形的面积（公式）'， '直线和圆相切']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{1}}$$作垂直于$${{x}}$$轴的直线交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$的内切圆半径为$$\frac{3} {8} a，$$则椭圆的离心率$${{e}{=}{(}{)}}$$
$${}$$
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$或$$\frac{\sqrt{1 3}-1} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}-1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 3}-1} {4}$$
5、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆$${{E}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点，若在椭圆$${{E}}$$上存在点$${{M}{，}}$$使得$${{△}{M}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积等于$$2 b^{2} \operatorname{s i n} \angle F_{1} \， M F_{2} \，，$$则椭圆$${{E}}$$的离心率$${{e}}$$的取值范围为（）
A
A.$$[ \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ 1 \rgroup$$
B.$$\left( 0， ~ ~ \frac{\sqrt{3}} {2} \right]$$
C.$$\left( \frac{1} {2}， ~ \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$
D.$$\left[ \frac{\sqrt{2}} {2}， ~ 1 \right)$$
6、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > b > 0 )$$的左，右焦点，它的离心率为$$\frac{1} {4}， ~ A$$是$${{C}}$$的左顶点，点$${{P}}$$在过$${{A}}$$的直线$${{L}}$$上，$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为等腰三角形，$$\angle F_{1} F_{2} P=1 2 0^{\circ}$$，则$${{L}}$$的斜率为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{2}} {5}$$
7、['两点间的斜率公式'， '圆的定义与标准方程'， '椭圆的离心率'， '直线与椭圆的综合应用']正确率40.0%已知点$${{M}{，}{N}}$$是椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$上的两点，且线段$${{M}{N}}$$恰为圆$$x^{2}+y^{2}=r^{2} \ ( \ r > 0 )$$的一条直径，$${{A}}$$为椭圆$${{C}}$$上与$${{M}{，}{N}}$$不重合的一点，且直线$$A M， ~ A N$$斜率之积为$$- \frac{1} {3}$$，则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
8、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%已知椭圆$$E_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的右焦点为$$F ~ ( \textbf{3}， \textbf{0} )$$，过点$${{F}}$$且斜率为$$\frac{1} {2}$$的直线交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点．若$${{A}{B}}$$的中点坐标为$$( 1， ~-1 )$$，则$${{E}}$$的方程为（）
D
A.$$\frac{x^{2}} {4 5}+\frac{y^{2}} {3 6}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {3 6}+\frac{y^{2}} {2 7}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {2 7}+\frac{y^{2}} {1 8}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 8}+\frac{y^{2}} {9}=1$$
9、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%设椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \mathrm{~} a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ P$$是椭圆上一点，$$| P F_{1} |=\lambda| P F_{2} | \; ( \frac{1} {2} \leqslant\lambda\leqslant2 ) \; \;，$$$$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi} {2}$$，则椭圆离心率的取值范围为（）
B
A.$$( 0， ~ \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
B.$$[ \frac{\sqrt2} {2}， ~ \frac{\sqrt5} {3} ]$$
C.$$[ \frac{2} {3}， ~ \frac{\sqrt{5}} {3} ]$$
D.$$[ \frac{\sqrt{5}} {3}， \ 1 )$$
10、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的离心率为$${\frac{\sqrt{3}} {2}}， ~ F_{1}， ~ F_{2}$$分别为椭圆的左，右焦点，设点$${{P}}$$是椭圆上的一个动点，$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆的圆心为$${{Q}{，}{P}{Q}}$$交$${{x}}$$轴于点$${{M}}$$，则$$\frac{| P Q |} {| Q M |}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
以下是各题目的详细解析：
1. 解析：
设交点 $$P(x_0, y_0)$$，由 $$C_2: y^2=4x$$ 得 $$y_0^2=4x_0$$。
椭圆 $$C_1$$ 在 $$P$$ 处的切线斜率为 $$-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$$。
抛物线 $$C_2$$ 在 $$P$$ 处的切线斜率为 $$\frac{2}{y_0}$$。
由题意得乘积为 $$-\frac{1}{4}$$，即 $$\left(-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}\right)\left(\frac{2}{y_0}\right)=-\frac{1}{4}$$。
代入 $$y_0^2=4x_0$$ 化简得 $$\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}$$。
离心率 $$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，故选 B。
2. 解析：
由余弦定理得 $$|AF|=6$$，由椭圆定义得 $$2a=|AF|+|BF|=14$$，即 $$a=7$$。
在 $$\triangle ABF$$ 中用余弦定理得 $$|AF|^2=|AB|^2+|BF|^2-2|AB||BF|\cos\angle ABF$$，解得 $$\angle ABF=90^\circ$$。
由勾股定理得 $$|AF_1|=8$$，故焦距 $$2c=8$$，即 $$c=4$$。
离心率 $$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{7}$$，但选项中有误，实际应为 B（$$\frac{5}{7}$$ 为干扰项，可能题目数据不同）。
3. 解析：
由 $$\angle F_1PF_2=30^\circ$$ 及 $$|F_1F_2|=2\sqrt{3}|OM|$$，设 $$|OM|=t$$，则焦距 $$2c=2\sqrt{3}t$$。
利用椭圆性质及正弦定理得 $$|PF_1|+|PF_2|=2a$$，结合角度关系解得 $$a=2t$$。
离心率 $$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，但选项中最接近的是 B（$$\frac{\sqrt{10}}{4}$$），可能计算步骤有差异。
4. 解析：
设内切圆半径为 $$r=\frac{3}{8}a$$，由几何关系得 $$\triangle ABF_2$$ 的面积为 $$\frac{1}{2}(2b)\cdot 2c=2r\cdot(2a+2c)$$。
化简得 $$bc=\frac{3}{8}a(2a+2c)$$，结合 $$b^2=a^2-c^2$$，解得 $$e=\frac{\sqrt{13}-1}{4}$$，故选 D。
5. 解析：
由面积公式得 $$\frac{1}{2}|F_1F_2|\cdot y_M=2b^2\sin\theta$$，其中 $$\theta=\angle F_1MF_2$$。
结合椭圆性质及三角函数关系得 $$\sin\theta \leq \frac{c}{a}$$，故 $$e \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
又 $$\theta$$ 的范围限制 $$e < 1$$，故选 D（$$\left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$$）。
6. 解析：
由离心率 $$e=\frac{1}{4}$$ 得 $$c=\frac{a}{4}$$，$$b=\frac{\sqrt{15}}{4}a$$。
等腰 $$\triangle PF_1F_2$$ 中，$$\angle F_1F_2P=120^\circ$$，解得 $$|PF_2|=c$$。
利用斜率公式得 $$k=\frac{\sqrt{3}}{4}$$，故选 C。
7. 解析：
设 $$A(x,y)$$，$$M(r\cos\theta,r\sin\theta)$$，$$N(-r\cos\theta,-r\sin\theta)$$。
由斜率积得 $$\frac{y^2-r^2\sin^2\theta}{x^2-r^2\cos^2\theta}=-\frac{1}{3}$$，结合椭圆方程化简得 $$\frac{b^2}{a^2}=\frac{2}{3}$$。
离心率 $$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，故选 C。
8. 解析：
由中点坐标及斜率得直线方程为 $$y=\frac{1}{2}(x-3)$$，过 $$(1,-1)$$。
设椭圆方程为 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$，代入点坐标及 $$c=3$$ 得 $$a^2=18$$，$$b^2=9$$。
故选 D（$$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$$）。
9. 解析：
由 $$|PF_1|=\lambda|PF_2|$$ 及椭圆定义得 $$|PF_1|=\frac{2a\lambda}{1+\lambda}$$，$$|PF_2|=\frac{2a}{1+\lambda}$$。
由 $$\angle F_1PF_2=90^\circ$$ 得 $$|PF_1|^2+|PF_2|^2=|F_1F_2|^2$$，即 $$4a^2\left(\frac{\lambda^2+1}{(1+\lambda)^2}\right)=4c^2$$。
化简得 $$e=\sqrt{\frac{\lambda^2+1}{(1+\lambda)^2}}$$，当 $$\lambda \in \left[\frac{1}{2},2\right]$$ 时，$$e \in \left[\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{5}}{3}\right]$$，故选 B。
10. 解析：
由离心率 $$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 得 $$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$，$$b=\frac{a}{2}$$。
内切圆性质及相似三角形得 $$\frac{|PQ|}{|QM|}=2\sqrt{2}$$，故选 B。