椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距-3.1 椭圆知识点回顾进阶自测题答案-吉林省等高一数学选择必修,平均正确率42.00000000000001%

1、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '正切（型）函数的定义域与值域']

正确率40.0%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1， \ ( a > b > 0 )， \ F_{1}， \ F_{2}$$分别为椭圆的左右焦点，若椭圆$${{C}}$$上存在点$$P \left( x_{0}， y_{0} \right)， ~ ( x_{0} \geqslant0 )$$使得$$\angle P F_{1} F_{2}=6 0^{\circ}，$$则椭圆的离心率的取值范围为（）

A.$$\left[ \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 \right)$$

B.$$\left( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} \right]$$

C.$$\left[ \frac{1} {2}， 1 \right)$$

D.$$\left( 0， \frac{1} {2} \right]$$

2、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '三角形的面积（公式）'， '直线和圆相切']

正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{1}}$$作垂直于$${{x}}$$轴的直线交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$的内切圆半径为$$\frac{3} {8} a，$$则椭圆的离心率$${{e}{=}{(}{)}}$$
$${}$$

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {2}$$或$$\frac{\sqrt{1 3}-1} {4}$$

C.$$\frac{\sqrt{5}-1} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt{1 3}-1} {4}$$

3、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '数量积的运算律']

正确率60.0%在平面直角坐标系$${{x}{o}{y}}$$中，$${{F}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > b > 0 )$$的一个焦点，直线$$y=\frac{b} {2}$$与椭圆交于$${{B}{，}{C}}$$两点，$$\overrightarrow{F B} \cdot\overrightarrow{F C}=0$$，则椭圆的离心率为（）

A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

C.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$

D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$

4、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}$$$$+ \frac{y^{2}} {b^{2}}$$$$= 1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点分别是$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，离心率为$$\frac{1} {2}$$，点$${{A}}$$是椭圆上位于$${{x}}$$轴上方的一点，且$$| A F_{1} |=| F_{1} F_{2} |，$$则直线$${{A}{{F}_{1}}}$$的斜率为（）

A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

D.$${{1}}$$

5、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线']

正确率40.0%设椭圆$$\frac{x^{2}} {m^{2}}+\frac{y^{2}} {n^{2}}=1 \， ( m > 0， n > 0 )$$的右焦点与抛物线$$y^{2}=8 x$$的焦点相同，离心率为$$\frac{1} {2}，$$则此椭圆的方程为（）

A.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {1 2}=1$$

C.$$\frac{x^{2}} {4 8}+\frac{y^{2}} {6 4}=1$$

D.$$\frac{x^{2}} {6 4}+\frac{y^{2}} {4 8}=1$$

6、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '点与椭圆的位置关系'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']

正确率40.0%已知椭圆$$C_{!} \， \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > b > 0 )$$的左焦点为$${{F}_{1}}$$，离心率为$$\frac{1} {2}， ~ P$$是椭圆$${{C}}$$上的动点，若点$$Q ~ ( 1， \mathrm{\bf~ 1} )$$在椭圆$${{C}}$$内部，且$$| P F_{1} |+| P Q |$$的最小值为$${{3}}$$，则椭圆$${{C}}$$的标准方程为（）

A.$$\frac{x^{2}} {4} \!+\! \frac{y^{2}} {3}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {6}=1$$

C.$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$

D.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {9}=1$$

7、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%已知点$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \; ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，过$${{F}_{1}}$$且垂直于$${{x}}$$轴的直线与椭圆交于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$是锐角三角形，则该椭圆的离心率$${{e}}$$的取值范围是（）

A.$$( \sqrt{2}-1， 1 )$$

B.$$( 0， \sqrt{2}-1 )$$

C.$$( 0， \sqrt{3}-1 )$$

D.$$( \sqrt{3}-1， 1 )$$

8、['两点间的斜率公式'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用']

正确率19.999999999999996%已知椭圆$$M : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的一个焦点为$$F ( 1， 0 )$$，离心率为$$\frac{\sqrt{2}} {2}，$$过点$${{F}}$$的动直线交$${{M}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{x}}$$轴上的点$$P ( t， 0 )$$使得$$\angle A P O=\angle B P O$$总成立$${{(}{O}}$$为坐标原点$${{)}}$$，则$${{t}{=}{（}}$$）

A.$${{−}{2}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$

D.$${\sqrt {2}}$$

9、['直线的点斜式方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用']

正确率40.0%已知椭圆$$E_{:} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \matrix} a > b > 0 )$$，对于任意实数$${{k}}$$，下列直线被椭圆所截弦长与直线$$y=k x+1$$被截得的弦长不可能相等是（）

A.$$k x+y+k=0$$

B.$$k x-y-1=0$$

C.$$k x+y-k=0$$

D.$$k x+y-2=0$$

10、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '命题的真假性判断'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与双曲线的交点个数']

正确率40.0%以下四个关于圆锥曲线的命题，
$${①}$$双曲线$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$与椭圆$$\frac{y^{2}} {4 9}+\frac{x^{2}} {2 4}=1$$有相同的焦点；
$${②}$$在平面内，设$${{A}{，}{B}}$$为两个定点，$${{P}}$$为动点，且$$| P A |+| P B |=k$$，其中常数$${{k}}$$为正实数，则动点$${{P}}$$的轨迹为椭圆；
$${③}$$方程$$2 x^{2}-5 x+2=0$$的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；
$${④}$$过双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {2}=1$$的右焦点$${{F}}$$作直线$${{l}}$$交双曲线于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A B |=4$$，则这样的直线$${{l}}$$有且仅有$${{3}}$$条．
其中真命题的个数为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

以下是各题的详细解析：

1. 题目要求椭圆上存在点$$P(x_0, y_0)$$使得$$\angle PF_1F_2 = 60^\circ$$。设椭圆焦距为$$2c$$，则$$F_1(-c,0)$$和$$F_2(c,0)$$。利用余弦定理和椭圆性质，可得： $$ \frac{x_0 + c}{\sqrt{(x_0 + c)^2 + y_0^2}} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $$ 结合椭圆方程$$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$$，解得离心率$$e$$的范围为$$\left[ \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 \right)$$。故答案为A。

2. 过$$F_1$$作垂直于$$x$$轴的直线交椭圆于$$A, B$$，则$$A$$和$$B$$关于$$x$$轴对称。设椭圆焦距为$$2c$$，则$$A(-c, \frac{b^2}{a})$$。计算三角形$$ABF_2$$的面积和内切圆半径关系，得到： $$ \frac{3}{8}a = \frac{b^2}{2a} $$ 结合离心率定义$$e = \frac{c}{a}$$，解得$$e = \frac{1}{2}$$。故答案为A。

3. 椭圆的一个焦点为$$F(c,0)$$，直线$$y = \frac{b}{2}$$与椭圆交于$$B, C$$。利用向量点积条件$$\overrightarrow{FB} \cdot \overrightarrow{FC} = 0$$，解得： $$ c^2 - \frac{3b^2}{4} = 0 $$ 结合椭圆性质$$c^2 = a^2 - b^2$$，解得离心率$$e = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。故答案为D。

4. 已知离心率$$e = \frac{1}{2}$$，则$$c = \frac{a}{2}$$。由$$|AF_1| = |F_1F_2| = 2c = a$$，利用椭圆定义$$|AF_1| + |AF_2| = 2a$$，得$$|AF_2| = a$$。因此$$A$$在$$F_1F_2$$的垂直平分线上，坐标为$$(0, \sqrt{3}c)$$。直线$$AF_1$$的斜率为$$\sqrt{3}$$。故答案为B。

5. 抛物线$$y^2 = 8x$$的焦点为$$(2,0)$$，故椭圆右焦点为$$(2,0)$$，即$$c = 2$$。离心率$$e = \frac{1}{2}$$，则$$a = 4$$，$$b^2 = 12$$。椭圆方程为$$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$$。故答案为B。

6. 离心率$$e = \frac{1}{2}$$，则$$c = \frac{a}{2}$$。点$$Q(1,1)$$在椭圆内部，满足$$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} < 1$$。利用椭圆定义和几何性质，最小距离条件解得$$a = 2$$，$$b = \sqrt{3}$$。椭圆方程为$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$。故答案为A。

7. 过$$F_1$$的垂直直线与椭圆交于$$A, B$$，则$$A$$和$$B$$关于$$x$$轴对称。三角形$$ABF_2$$为锐角三角形，需满足$$\angle AF_2B < 90^\circ$$。利用向量点积条件，解得离心率范围$$(0, \sqrt{2} - 1)$$。故答案为B。

8. 椭圆焦点$$F(1,0)$$，离心率$$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，则$$a = \sqrt{2}$$，$$b = 1$$。由$$\angle APO = \angle BPO$$，利用角平分线性质解得$$t = 2$$。故答案为B。

9. 直线$$y = kx + 1$$与椭圆相交的弦长需与其他选项的弦长比较。选项D的直线$$kx + y - 2 = 0$$与椭圆相交的弦长不可能与$$y = kx + 1$$相等。故答案为D。

10. 命题①双曲线和椭圆焦点相同，正确；命题②需$$k > |AB|$$才为椭圆，错误；命题③方程两根为$$2$$和$$\frac{1}{2}$$，分别对应双曲线和椭圆离心率，正确；命题④过右焦点的直线有3条满足$$|AB| = 4$$，正确。故答案为B。

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