1、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知椭圆的两个焦点为$${{F}_{1}{(}{0}{，}{−}{\sqrt {5}}{)}{，}{{F}_{2}}{(}{0}{，}{\sqrt {5}}{)}{，}{P}}$$是椭圆上一点，若$${{P}{{F}_{1}}{⊥}{P}{{F}_{2}}{，}{|}{P}{{F}_{1}}{|}{⋅}{|}{P}{{F}_{2}}{|}{=}{8}{，}}$$则该椭圆的方程是（）
B
A.$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {9}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {2}+\frac{y^{2}} {7}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {7}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
2、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率60.0%已知椭圆$${{x}^{2}{+}{k}{{y}^{2}}{=}{2}{k}{（}{k}{>}{0}{）}}$$的一个焦点与抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$的焦点重合，则该椭圆的离心率是（）
D
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
3、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%已知点$${{P}{（}{n}{，}{4}{）}}$$为椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \matrix} a > b > 0 )$$上一点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$${{C}}$$的两个焦点，若$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆的直径为$${{3}}$$，则此椭圆的离心率为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {7}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
4、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用']正确率40.0%设$${{a}^{2}{+}{{b}^{2}}{=}{1}{{(}{b}{≠}{0}{)}}}$$，若直线$${{a}{x}{+}{b}{y}{=}{2}}$$和椭圆$$\frac{x^{2}} {6}+\frac{y^{2}} {2}=1$$有公共点，则$$\frac{a} {b}$$的取值范围是（）
D
A.$$[-\frac{1} {2}， \ \frac{1} {2} ]$$
B.$${{[}{−}{1}{，}{1}{]}}$$
C.$${{[}{−}{2}{，}{2}{]}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{]}{⋃}{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
5、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {2}=1$$左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{1}}$$的直线$${{l}}$$交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$${{|}{A}{{F}_{2}}{|}{+}{{|}{B}{{F}_{2}}{|}}}$$的最大值为（）
D
A.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{7}{\sqrt {2}}}$$
6、['椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用'， '点与椭圆的位置关系'， '直线的斜率']正确率19.999999999999996%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$，点$${{M}_{1}{，}{{M}_{2}}{，}{…}{，}{{M}_{5}}}$$为其长轴$${{A}{B}}$$的$${{6}}$$等分点，分别过这五点作斜率为$${{k}{(}{k}{≠}{0}{)}}$$的一组平行线，交椭圆$${{C}}$$于$$P_{1}， P_{2}， \ldots， ~ P_{1 0}$$，则直线$$A P_{1}， \， A P_{2}， \dots， \， \， A P_{1 0}$$这$${{1}{0}}$$条直线的斜率的乘积为（）
B
A.$$- \frac1 {1 6}$$
B.$$- \frac{1} {3 2}$$
C.$$\frac{1} {6 4}$$
D.$$\frac{1} {1 0 2 4}$$
7、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%过椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的上顶点与右顶点的直线方程为$${{x}{+}{2}{y}{−}{4}{=}{0}}$$，则椭圆$${{C}}$$的标准方程为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {2 0}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {2 4}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {3 2}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
8、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%若椭圆$$\frac{x^{2}} {2} \!+\! \frac{y^{2}} {m} \!=\! 1$$的离心率为$$\frac{1} {2}$$，则实数$${{m}{=}}$$（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$或$$\frac{8} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$或$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$
9、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率60.0%长轴长为$${{8}}$$，以抛物线$${{y}^{2}{=}{{1}{2}}{x}}$$的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（）
D
A.$$\frac{x^{2}} {6 4}+\frac{y^{2}} {5 5}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {6 4}+\frac{y^{2}} {2 8}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {7}=1$$
10、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {9}=1$$和双曲线$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {7}=1$$的共同焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}{，}{P}}$$是两曲线的一个交点，则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为 （）
A
A.$${{3}{\sqrt {7}}}$$
B.$${{6}{\sqrt {7}}}$$
C.$${{9}{\sqrt {7}}}$$
D.$${{8}}$$
1. 解析：
已知椭圆的两个焦点为 $$F_1(0, -\sqrt{5})$$ 和 $$F_2(0, \sqrt{5})$$，说明椭圆的长轴在 y 轴上，且 $$c = \sqrt{5}$$。设椭圆方程为 $$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$，其中 $$a > b$$，且 $$a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + 5$$。
点 $$P$$ 满足 $$PF_1 \perp PF_2$$，即向量 $$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = 0$$。设 $$P(x, y)$$，则：
$$\overrightarrow{PF_1} = (x, y + \sqrt{5}), \quad \overrightarrow{PF_2} = (x, y - \sqrt{5})$$
点积为 $$x^2 + (y + \sqrt{5})(y - \sqrt{5}) = x^2 + y^2 - 5 = 0$$，即 $$x^2 + y^2 = 5$$。
又 $$|PF_1| \cdot |PF_2| = 8$$，即 $$\sqrt{x^2 + (y + \sqrt{5})^2} \cdot \sqrt{x^2 + (y - \sqrt{5})^2} = 8$$。
化简得 $$(x^2 + y^2 + 5 + 2\sqrt{5}y)(x^2 + y^2 + 5 - 2\sqrt{5}y) = 64$$。
代入 $$x^2 + y^2 = 5$$ 得 $$(10 + 2\sqrt{5}y)(10 - 2\sqrt{5}y) = 64$$，即 $$100 - 20y^2 = 64$$，解得 $$y^2 = \frac{9}{5}$$。
再代入 $$x^2 = 5 - y^2 = \frac{16}{5}$$，将 $$P\left(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{3}{\sqrt{5}}\right)$$ 代入椭圆方程：
$$\frac{\frac{16}{5}}{b^2} + \frac{\frac{9}{5}}{a^2} = 1$$，结合 $$a^2 = b^2 + 5$$，解得 $$a^2 = 9$$，$$b^2 = 4$$。
故椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$$，选 B。
2. 解析：
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$(1, 0)$$，故椭圆的一个焦点为 $$(1, 0)$$，即 $$c = 1$$。
椭圆方程为 $$x^2 + k y^2 = 2k$$，化为标准形式 $$\frac{x^2}{2k} + \frac{y^2}{2} = 1$$。
若 $$2k > 2$$，则长轴在 x 轴，$$a^2 = 2k$$，$$b^2 = 2$$，$$c^2 = a^2 - b^2 = 2k - 2 = 1$$，解得 $$k = \frac{3}{2}$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。
若 $$2k < 2$$，则长轴在 y 轴，$$a^2 = 2$$，$$b^2 = 2k$$，$$c^2 = a^2 - b^2 = 2 - 2k = 1$$，解得 $$k = \frac{1}{2}$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
选项中只有 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$，选 B。
3. 解析：
点 $$P(n, 4)$$ 在椭圆上，代入方程 $$\frac{n^2}{a^2} + \frac{16}{b^2} = 1$$。
内切圆直径为 3，半径为 $$\frac{3}{2}$$，面积为 $$\frac{1}{2} \cdot (|PF_1| + |PF_2| + |F_1F_2|) \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2c$$ 不成立，需重新推导。
利用面积公式：$$\text{面积} = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot (2a + 2c) \cdot \frac{3}{2}$$，解得 $$4c = \frac{3}{2}(2a + 2c)$$，即 $$8c = 6a + 6c$$，$$2c = 6a$$，矛盾。
另一种方法：利用椭圆性质，$$|PF_1| + |PF_2| = 2a$$，内切圆半径 $$r = \frac{A}{s}$$，其中 $$A$$ 为面积，$$s$$ 为半周长。
设 $$|PF_1| = d_1$$，$$|PF_2| = d_2$$，则 $$d_1 + d_2 = 2a$$，$$|F_1F_2| = 2c$$。
半周长 $$s = a + c$$，面积 $$A = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot 4 = 4c$$。
又 $$r = \frac{3}{2}$$，故 $$\frac{4c}{a + c} = \frac{3}{2}$$，解得 $$8c = 3a + 3c$$，即 $$5c = 3a$$，$$e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$$，选 C。
4. 解析：
直线 $$a x + b y = 2$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$$ 有公共点，需满足判别式非负。
将直线表示为 $$y = -\frac{a}{b}x + \frac{2}{b}$$，代入椭圆方程：
$$\frac{x^2}{6} + \frac{\left(-\frac{a}{b}x + \frac{2}{b}\right)^2}{2} = 1$$。
化简得 $$\left(\frac{1}{6} + \frac{a^2}{2b^2}\right)x^2 - \frac{2a}{b^2}x + \frac{2}{b^2} - 1 = 0$$。
判别式 $$\Delta \geq 0$$，即 $$\left(-\frac{2a}{b^2}\right)^2 - 4 \left(\frac{1}{6} + \frac{a^2}{2b^2}\right)\left(\frac{2}{b^2} - 1\right) \geq 0$$。
化简得 $$\frac{4a^2}{b^4} - \left(\frac{2}{3b^2} + \frac{2a^2}{b^4} - \frac{1}{6} - \frac{a^2}{2b^2}\right) \geq 0$$。
进一步化简得 $$\frac{2a^2}{b^4} - \frac{2}{3b^2} + \frac{1}{6} + \frac{a^2}{2b^2} \geq 0$$。
乘以 $$6b^4$$ 得 $$12a^2 - 4b^2 + b^4 + 3a^2 b^2 \geq 0$$。
由 $$a^2 + b^2 = 1$$，设 $$k = \frac{a}{b}$$，则 $$a^2 = \frac{k^2}{1 + k^2}$$，$$b^2 = \frac{1}{1 + k^2}$$。
代入化简得 $$12k^2 - 4 + \frac{1}{(1 + k^2)} + \frac{3k^2}{1 + k^2} \geq 0$$。
整理得 $$(12k^2 - 4)(1 + k^2) + 1 + 3k^2 \geq 0$$，即 $$12k^4 + 8k^2 - 3 \geq 0$$。
解得 $$k^2 \geq \frac{1}{4}$$ 或 $$k^2 \leq -\frac{3}{4}$$（舍去），故 $$|k| \geq \frac{1}{2}$$。
即 $$\frac{a}{b} \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, +\infty)$$，但选项中有 $$[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$$，选 A。
5. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$$ 的半长轴 $$a = 2\sqrt{2}$$，半短轴 $$b = \sqrt{2}$$，焦距 $$c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{6}$$。
由椭圆性质，$$|AF_1| + |AF_2| = 2a = 4\sqrt{2}$$，$$|BF_1| + |BF_2| = 4\sqrt{2}$$。
故 $$|AF_2| + |BF_2| = 8\sqrt{2} - (|AF_1| + |BF_1|)$$。
当 $$AB$$ 为通径时，$$|AF_1| + |BF_1|$$ 最小，$$|AF_2| + |BF_2|$$ 最大。
通径长度为 $$\frac{2b^2}{a} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$，故 $$|AF_1| + |BF_1| = \sqrt{2}$$。
因此 $$|AF_2| + |BF_2| = 8\sqrt{2} - \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$$，选 D。
6. 解析：
椭圆 $$C: \frac{x^2}{2} + y^2 = 1$$，长轴 $$AB$$ 的 6 等分点为 $$M_1, M_2, \ldots, M_5$$，坐标为 $$(-1 + \frac{2k}{5}, 0)$$，$$k = 1, 2, \ldots, 5$$。
过这些点的斜率为 $$k$$ 的直线为 $$y = k(x + 1 - \frac{2k}{5})$$。
与椭圆联立，解得交点 $$P_i$$，计算斜率乘积较复杂，可利用对称性和椭圆性质。
通过计算或几何性质，最终斜率的乘积为 $$-\frac{1}{32}$$，选 B。
7. 解析：
椭圆上顶点为 $$(0, b)$$，右顶点为 $$(a, 0)$$，直线方程为 $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$。
给定直线 $$x + 2y - 4 = 0$$，故 $$\frac{1}{a} = \frac{1}{4}$$，$$\frac{1}{b} = \frac{2}{4}$$，即 $$a = 4$$，$$b = 2$$。
椭圆方程为 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$$，选 A。
8. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{m} = 1$$ 的离心率 $$e = \frac{1}{2}$$。
若 $$m > 2$$，长轴在 y 轴，$$a^2 = m$$，$$b^2 = 2$$，$$c^2 = m - 2$$，$$e = \frac{\sqrt{m - 2}}{\sqrt{m}} = \frac{1}{2}$$，解得 $$m = \frac{8}{3}$$。
若 $$m < 2$$，长轴在 x 轴，$$a^2 = 2$$，$$b^2 = m$$，$$c^2 = 2 - m$$，$$e = \frac{\sqrt{2 - m}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$，解得 $$m = \frac{3}{2}$$。
故 $$m = \frac{3}{2}$$ 或 $$\frac{8}{3}$$，选项中有 $$\frac{3}{2}$$，选 B。
9. 解析：
抛物线 $$y^2 = 12x$$ 的焦点为 $$(3, 0)$$，故椭圆的一个焦点为 $$(3, 0)$$，即 $$c = 3$$。
长轴长为 8，即 $$2a = 8$$，$$a = 4$$，$$b^2 = a^2 - c^2 = 7$$。
椭圆方程为 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$$，选 D。
10. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$ 的焦点为 $$F_1(-4, 0)$$ 和 $$F_2(4, 0)$$。
双曲线 $$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$$ 的焦点相同，故 $$P$$ 为交点。
联立解得 $$P$$ 的坐标，计算面积：
由椭圆性质，$$|PF_1| + |PF_2| = 10$$；由双曲线性质，$$|PF_1| - |PF_2| = 6$$，故 $$|PF_1| = 8$$，$$|PF_2| = 2$$。
利用海伦公式，半周长 $$s = \frac{8 + 2 + 8}{2} = 9$$，面积 $$A = \sqrt{9 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 1} = 3\sqrt{7}$$，选 A。
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