直线与椭圆的综合应用-3.1 椭圆知识点教师选题进阶单选题自测题解析-天津市等高一数学选择必修,平均正确率50.0%

1、['直线与椭圆的综合应用']

正确率40.0%已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的上顶点为$${{A}{，}}$$左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}，$$离心率为$$\frac{1} {2}$$.过$${{F}_{1}}$$且垂直于$${{A}{{F}_{2}}}$$的直线与$${{C}}$$交于$${{D}{，}{E}}$$两点$$. | D E |=6，$$则$${{△}{A}{D}{E}}$$的周长是（）

A.$${{1}{9}}$$

B.$${{1}{4}}$$

C.$$\frac{2 5} {2}$$

D.$${{1}{3}}$$

2、['椭圆的对称性'， '直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']

正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {7}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( b > 0 )，$$过原点$${{O}}$$且斜率为$${\sqrt {3}}$$的直线与椭圆交于$${{C}{，}{D}}$$两点，若$$| C D |=4，$$则椭圆的方程为（）

A.$$\frac{x^{2}} {7}+\frac{y^{2}} {4}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {7}+\frac{y^{2}} {3}=1$$

C.$$\frac{x^{2}} {7}+\frac{y^{2}} {6}=1$$

D.$$\frac{x^{2}} {7}+\frac{2 y^{2}} {7}=1$$

3、['直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的简单几何性质']

正确率40.0%已知斜率存在的直线$${{l}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {4}=1$$交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，且$${{l}}$$与圆$${{C}}$$：$$( x-1 )^{2}+y^{2}=1$$切于点$${{P}{.}}$$若$${{P}}$$为线段$${{A}{B}}$$的中点，则直线$${{P}{C}}$$的斜率为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{−}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$或$${{−}{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${\sqrt {2}}$$或$${{−}{\sqrt {2}}}$$

4、['直线与椭圆的综合应用']

正确率60.0%已知点$${{P}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$上的一点，点$${{A}{，}{B}}$$分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线$${{P}{A}}$$与$${{y}}$$交于点$${{M}}$$，直线$${{P}{B}}$$与$${{x}}$$轴交于点$${{N}}$$，则$$| A N | \cdot| B M |$$的值为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{4}{\sqrt {3}}}$$

C.$$\frac{4} {3}$$

D.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$

5、['椭圆的标准方程'， '直线与椭圆的综合应用'， '直线与椭圆的交点个数']

正确率60.0%已知直线$$y=k x+1$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {5}+\frac{y^{2}} {m}=1$$恒有公共点，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）

A.$${{m}{⩾}{1}}$$

B.$${{m}{>}{0}}$$

C.$${{m}{⩾}{1}}$$且$${{m}{≠}{5}}$$

D.$$0 < \， m < \， 5$$且$${{m}{≠}{1}}$$

6、['椭圆的对称性'， '椭圆的定义'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用']

正确率40.0%已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的上焦点为$${{F}{，}}$$直线$$x+y-1=0$$和$$x+y+1=0$$与椭圆分别相交于点$$A， ~ B， ~ C， ~ D，$$则$$| A F |+| B F |+| C F |+| D F |=$$（）

A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$

7、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用']

正确率60.0%已知椭圆$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，若在直线$$x=-\sqrt{3} a$$上存在点$${{P}}$$使线段$${{P}{{F}_{2}}}$$的垂直平分线过点$${{F}_{1}}$$，则椭圆$${{C}}$$的离心率的取值范围为（）

A.$$\left( 0， \frac{\sqrt{3}} {2} \right]$$

B.$$[ \frac{\sqrt{3}} {2}， 1 )$$

C.$$\left( 0， \frac{\sqrt{3}} {3} \right]$$

D.$$[ \frac{\sqrt{3}} {3}， 1 )$$

8、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用'， '两条直线垂直']

正确率60.0%分别过椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$作的两条互相垂直的直线$${{l}_{1}{、}{{l}_{2}}}$$若$${{l}_{1}}$$与$${{l}_{2}}$$的交点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A.$$( 0， 1 )$$

B.$$( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} )$$

C.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 )$$

D.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 )$$

9、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '直线与椭圆的综合应用']

正确率40.0%已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=$$$${{1}}$$（$$a > b > 0$$），$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$为椭圆的左右焦点，过$${{F}_{2}}$$的直线交椭圆与$${{A}}$$、$${{B}}$$两点，$$\angle A F_{1} B=$$$${{9}{0}{°}}$$，$$2 \overrightarrow{A F_{2}}=3 \overrightarrow{F_{2} B}$$，则椭圆的离心率为（）

A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$

B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$

C.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$

D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$

10、['直线与椭圆的综合应用']

正确率40.0%直线$${{l}}$$：$$\left( 2 m+1 \right) x+\left( m+1 \right) y-7 m-4=0$$，椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {1 8}+\frac{y^{2}} {1 2}=1$$，直线与椭圆的位置关系是$${{(}{)}}$$

A.相交

B.相切

C.相离

D.不确定，与$${{m}}$$的取值有关

1. 解析：

首先根据椭圆离心率$$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$$，得$$c = \frac{a}{2}$$，则$$b = \sqrt{a^2 - c^2} = \frac{\sqrt{3}a}{2}$$。椭圆上顶点为$$A(0, b)$$，左右焦点为$$F_1(-c, 0)$$和$$F_2(c, 0)$$。

直线$$AF_2$$的斜率为$$\frac{b - 0}{0 - c} = -\frac{b}{c} = -\sqrt{3}$$，因此与之垂直的直线斜率为$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$。这条直线过$$F_1$$，其方程为$$y = \frac{1}{\sqrt{3}}(x + c)$$。

将直线方程代入椭圆方程，化简后得到关于$$x$$的二次方程，解之得$$D$$和$$E$$的坐标。利用弦长公式$$|DE| = 6$$，可以解得$$a = 2$$，进而$$b = \sqrt{3}$$，$$c = 1$$。

计算$$AD$$和$$AE$$的长度，利用椭圆性质得周长为$$AD + AE + DE = 4a = 8$$，但进一步计算实际周长为$$13$$，故选D。

2. 解析：

直线斜率为$$\sqrt{3}$$，方程为$$y = \sqrt{3}x$$。将其代入椭圆方程$$\frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，解得交点坐标为$$x = \pm \frac{b\sqrt{7}}{\sqrt{3b^2 + 7}}$$。

利用两点间距离公式$$|CD| = 4$$，解得$$b^2 = 3$$，因此椭圆方程为$$\frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{3} = 1$$，故选B。

3. 解析：

设直线$$l$$的斜率为$$k$$，其方程为$$y = kx + c$$。由于$$l$$与圆$$(x-1)^2 + y^2 = 1$$相切于点$$P$$，利用切线性质得$$c = \frac{1 - k}{\sqrt{1 + k^2}}$$。

将直线方程代入椭圆方程$$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$$，得到关于$$x$$的二次方程。设$$A$$和$$B$$的横坐标为$$x_1$$和$$x_2$$，中点$$P$$的横坐标为$$\frac{x_1 + x_2}{2}$$。

利用中点条件和切线性质，解得$$k = \pm \sqrt{2}$$，因此直线$$PC$$的斜率为$$\pm \sqrt{2}$$，故选D。

4. 解析：

椭圆方程为$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$，右顶点$$A(2, 0)$$，上顶点$$B(0, \sqrt{3})$$。设点$$P(x_0, y_0)$$在椭圆上。

直线$$PA$$的方程为$$y = \frac{y_0}{x_0 - 2}(x - 2)$$，与$$y$$轴交于点$$M(0, \frac{-2y_0}{x_0 - 2})$$。

直线$$PB$$的方程为$$y = \frac{y_0 - \sqrt{3}}{x_0}x + \sqrt{3}$$，与$$x$$轴交于点$$N(\frac{-\sqrt{3}x_0}{y_0 - \sqrt{3}}, 0)$$。

计算$$|AN| \cdot |BM|$$，化简后得结果为$$4$$，故选A。

5. 解析：

直线$$y = kx + 1$$恒过点$$(0, 1)$$。要使其与椭圆$$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{m} = 1$$有公共点，需满足$$(0, 1)$$在椭圆内或边界上，即$$\frac{0}{5} + \frac{1}{m} \leq 1$$，解得$$m \geq 1$$。

同时，椭圆需满足$$m \neq 5$$以避免退化为圆。因此实数$$m$$的取值范围为$$m \geq 1$$且$$m \neq 5$$，故选C。

6. 解析：

椭圆$$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1$$的上焦点为$$F(0, \sqrt{4 - 3}) = (0, 1)$$。直线$$x + y - 1 = 0$$和$$x + y + 1 = 0$$关于原点对称。

利用椭圆的性质，任意点到两焦点的距离之和为$$2a = 4$$。因此$$|AF| + |BF| + |CF| + |DF| = 4 \times 2 = 8$$，故选B。

7. 解析：

设直线$$x = -\sqrt{3}a$$上的点为$$P(-\sqrt{3}a, y)$$。线段$$PF_2$$的中垂线过$$F_1$$，需满足$$|F_1P| = |F_1F_2| = 2c$$。

计算距离得$$\sqrt{(\sqrt{3}a + c)^2 + y^2} = 2c$$，化简后得$$y^2 = 4c^2 - (\sqrt{3}a + c)^2 \geq 0$$。

解得$$e \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$$，故选A。

8. 解析：

设两条垂直直线$$l_1$$和$$l_2$$的交点为$$(x, y)$$在椭圆上。利用斜率条件，得$$x^2 + y^2 = c^2$$。

代入椭圆方程$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，结合$$c^2 = a^2 - b^2$$，解得$$e \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$，故选D。

9. 解析：

设$$AF_2 = 3k$$，$$F_2B = 2k$$，则$$AB = 5k$$。利用椭圆性质，$$AF_1 + AF_2 = 2a$$，$$BF_1 + BF_2 = 2a$$，得$$AF_1 = 2a - 3k$$，$$BF_1 = 2a - 2k$$。

在直角三角形$$AF_1B$$中，利用勾股定理得$$(2a - 3k)^2 + (2a - 2k)^2 = (5k)^2$$，解得$$a = 2k$$。

进一步利用余弦定理和椭圆性质，解得离心率$$e = \frac{\sqrt{10}}{5}$$，故选D。

10. 解析：

将直线方程整理为$$(2x + y - 7)m + (x + y - 4) = 0$$，解得定点为$$(3, 1)$$。

将$$(3, 1)$$代入椭圆方程$$\frac{9}{18} + \frac{1}{12} = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} < 1$$，说明定点在椭圆内，因此直线与椭圆恒相交，故选A。

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