点与椭圆的位置关系-椭圆知识点专题进阶单选题自测题答案-海南省等高一数学选择必修,平均正确率57.99999999999999%

1. 解析：直线 $$x = m$$ 与椭圆 $$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ 的交点为 $$A(m, y_0)$$ 和 $$B(m, -y_0)$$。由于 $$\triangle OAB$$ 是等腰直角三角形，面积为 3，可得直角边长为 $$\sqrt{6}$$。因此，$$y_0 = \sqrt{6}$$。代入椭圆方程：

$$\frac{m^{2}}{12} + \frac{6}{b^{2}} = 1$$

又因为 $$\triangle OAB$$ 是等腰直角三角形，$$|m| = y_0 = \sqrt{6}$$，代入得：

$$\frac{6}{12} + \frac{6}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{6}{b^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow b^{2} = 12 \Rightarrow b = 2\sqrt{3}$$

但题目选项中没有 $$2\sqrt{3}$$，重新检查步骤。实际上，等腰直角三角形的面积为 $$\frac{1}{2} \times AB \times h = 3$$，其中 $$AB = 2y_0$$，$$h = |m|$$。若 $$|m| = y_0$$，则 $$\frac{1}{2} \times 2y_0 \times y_0 = 3 \Rightarrow y_0^{2} = 3$$。代入椭圆方程：

$$\frac{m^{2}}{12} + \frac{3}{b^{2}} = 1$$

又 $$m^{2} = y_0^{2} = 3$$，故：

$$\frac{3}{12} + \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{3}{b^{2}} = \frac{3}{4} \Rightarrow b^{2} = 4 \Rightarrow b = 2$$

答案为 $$\boxed{B}$$。

2. 解析：椭圆 $$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{m} = 1$$ 的长轴端点 $$A(-\sqrt{3}, 0)$$ 和 $$B(\sqrt{3}, 0)$$。设 $$M(x, y)$$ 在椭圆上，满足 $$\angle AMB = 120^\circ$$。利用向量夹角公式：

$$\cos 120^\circ = \frac{\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}| |\overrightarrow{MB}|} = -\frac{1}{2}$$

化简后可得关于 $$y$$ 的方程，结合椭圆方程 $$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{m} = 1$$，得到 $$m$$ 的范围为 $$(0, 1] \cup [9, +\infty)$$。

答案为 $$\boxed{A}$$。

3. 解析：椭圆的两个焦点为 $$(0, -3)$$ 和 $$(0, 3)$$，故 $$c = 3$$，且椭圆经过点 $$(0, 4)$$，说明长轴在 $$y$$ 轴上。设椭圆方程为 $$\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$$，则 $$a = 4$$，$$b^{2} = a^{2} - c^{2} = 7$$。

椭圆的标准方程为 $$\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{7} = 1$$。

答案为 $$\boxed{B}$$。

4. 解析：椭圆 $$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$$ 的左焦点 $$F_1(-c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$$。点 $$M$$ 到 $$F_1$$ 的距离为 2，设 $$M(x, y)$$，则：

$$\sqrt{(x + \sqrt{7})^{2} + y^{2}} = 2$$

又 $$M$$ 在椭圆上，满足 $$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$$。联立解得 $$M$$ 的坐标，再求 $$N$$ 为 $$MF_1$$ 的中点，最后计算 $$ON$$ 的长度为 4。

答案为 $$\boxed{B}$$。

5. 解析：非零实数 $$a, b$$ 和 1 成等差数列，故 $$2b = a + 1$$。直线 $$ax + by + 1 = 0$$ 恒与椭圆 $$\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{10} = 1$$ 有公共点，说明直线不过椭圆外部。利用判别式条件，可得 $$m \geq \frac{5}{3}$$。

答案为 $$\boxed{D}$$。

6. 解析：点 $$A(m, 1)$$ 在椭圆 $$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$ 内部，代入不等式：

$$\frac{m^{2}}{4} + \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow m^{2} < 2 \Rightarrow -\sqrt{2} < m < \sqrt{2}$$

答案为 $$\boxed{A}$$。

7. 解析：设椭圆 $$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$，$$P$$ 为椭圆上一点，$$E$$ 为内心。利用内心性质和椭圆定义，结合 $$3|PE|^{2} = |PF_1| \cdot |PF_2|$$，化简可得离心率 $$e = \frac{1}{2}$$。

答案为 $$\boxed{D}$$。

8. 解析：直线 $$kx + y + k + 1 = 0$$ 可化为 $$y = -kx - k - 1$$。将其代入椭圆 $$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$$，判别式大于 0，说明直线与椭圆相交。

答案为 $$\boxed{A}$$。

9. 解析：椭圆焦点在 $$x$$ 轴上，离心率 $$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，设椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$，其中 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，故 $$c = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$，$$b^{2} = a^{2} - c^{2} = \frac{a^{2}}{2}$$。椭圆上存在一点与左焦点 $$F$$ 关于直线 $$y = x + 4$$ 对称，通过几何关系解得 $$a^{2} = 8$$，$$b^{2} = 4$$。

椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$$。

答案为 $$\boxed{C}$$。

10. 解析：不等式 $$\sqrt{x^{2} + y^{2} + 2y + 1} + \sqrt{x^{2} + y^{2} - 2y + 1} \leq 2\sqrt{2}$$ 表示点 $$(x, y)$$ 到 $$(0, -1)$$ 和 $$(0, 1)$$ 的距离之和不超过 $$2\sqrt{2}$$，即椭圆区域。结合 $$a|x| + b|y| = 1$$ 的条件，可得 $$a + \sqrt{2}b \geq 1$$。

答案为 $$\boxed{C}$$。