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正确率40.0%直线$${{x}{−}{\sqrt {3}}{y}{+}{\sqrt {3}}{=}{0}}$$经过椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \; ( a > b > 0 )$$的左焦点$${{F}}$$，交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点，交$${{y}}$$轴于$${{C}}$$点，若$$\overrightarrow{F C}=2 \overrightarrow{C A}，$$则该椭圆的离心率是（）
A
A.$${\sqrt {3}{−}{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{2}}$$
D.$${\sqrt {2}{−}{1}}$$
2、['直线与椭圆的综合应用']正确率60.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {2}=1$$与直线$${{y}{=}{k}{(}{x}{−}{1}{)}}$$的位置关系是（）
B
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
3、['直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的简单几何性质']正确率40.0%已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$上存在关于直线$${{l}}$$：$${{y}{=}{x}{+}{m}}$$对称的点，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$[-1， \frac{1} {3} ]$$
B.$$(-\frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{1} {3} )$$
C.$$(-\frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{3}} {3} )$$
D.$$(-\frac{1} {3}， \frac{\sqrt{3}} {3} )$$
4、['直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%若椭圆$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的弦$${{A}{B}}$$恰好被点$${{M}{(}{1}{，}{1}{)}}$$平分，则$${{A}{B}}$$所在的直线方程为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{x}{−}{4}{y}{+}{1}{=}{0}}$$
B.$${{3}{x}{+}{4}{y}{−}{7}{=}{0}}$$
C.$${{4}{x}{−}{3}{y}{−}{1}{=}{0}}$$
D.$${{4}{x}{+}{3}{y}{−}{7}{=}{0}}$$
5、['直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%已知$${{P}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {9}=1$$上任意一点，过椭圆的右顶点$${{A}}$$和上顶点$${{B}}$$分别作$${{x}}$$轴和$${{y}}$$轴的垂线，两垂线交于点$${{C}}$$，过$${{P}}$$作$${{A}{C}{，}{B}{C}}$$的平行线交$${{B}{C}}$$于点$${{M}}$$，交$${{A}{C}}$$于点$${{N}}$$，交$${{A}{B}}$$于点$${{D}{，}{E}}$$，矩形$${{P}{M}{C}{N}}$$的面积是$${{S}_{1}}$$，三角形$${{P}{D}{E}}$$的面积是$${{S}_{2}}$$，则$$\frac{2 S_{1}} {S_{2}}=\alpha$$）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{8} {2}$$
D.$$\frac{8} {\pi}$$
6、['直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%直线$${{l}}$$过$$M ( 1， \frac{1} {4} )$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{A}{B}}$$中点恰好为$${{M}}$$，则直线$${{l}}$$的斜率为（）
D
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$${{−}{4}}$$
D.$${{−}{3}}$$
7、['直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {2}+$$ $${{y}}$$$${^{2}{=}{1}}$$的弦$${{A}{B}}$$被点$$\left( \frac{1} {2}， \frac{1} {2} \right)$$平分，则弦$${{A}{B}}$$的长$${{|}{A}{B}{{|}}}$$为（）
A
A.$$\frac{5 \sqrt{6}} {6}$$
B.$$\frac{6 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{5} {6}$$
D.$$\frac{6} {5}$$
8、['直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%椭圆$$\frac{\mathbf{x^{2}}} {\mathbf{1 6}}+\frac{\mathbf{y^{2}}} {\mathbf{9}} \mathbf{=1}$$中，以点$${{M}{(}{1}{，}{2}{)}}$$为中点的弦所在直线斜率为
D
A.$$\frac{9} {1 6}$$
B.$$\frac{9} {3 2}$$
C.$$\frac{9} {6 4}$$
D.$$- \frac{9} {3 2}$$
9、['直线与椭圆的综合应用'， '直线和圆相切'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率60.0%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > b > 0 )$$的短轴长为$${{2}}$$，以原点为圆心，$${\sqrt {{6}{−}{{a}^{2}}}}$$为半径的圆$${{D}}$$与椭圆$${{C}}$$在第一象限相交于点$${{P}}$$，记圆$${{D}}$$在点$${{P}}$$处的切线斜率为$${{k}_{1}}$$，椭圆$${{C}}$$在点$${{P}}$$处的切线斜率为$${{k}_{2}}$$，若$$\frac{k_{1}} {k_{2}} < M，$$则实数$${{M}}$$的最小值为
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
10、['直线与椭圆的综合应用']正确率80.0%直线$${{l}}$$过点$${{M}{(}{2}{，}{1}{)}}$$且与椭圆$${{x}^{2}{+}{4}{{y}^{2}}{=}{{1}{6}}}$$相交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，若点$${{M}}$$为弦$${{A}{B}}$$的中点，则直线$${{l}}$$的斜率为$${{(}{)}}$$
A
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{1}}$$
1. 解析：
首先确定椭圆的左焦点 $$F$$ 为 $$(-c, 0)$$，代入直线方程 $$x - \sqrt{3}y + \sqrt{3} = 0$$，得到 $$-c + \sqrt{3} = 0$$，即 $$c = \sqrt{3}$$。根据椭圆性质，$$c^2 = a^2 - b^2$$。
直线与 $$y$$ 轴的交点 $$C$$ 为 $$(0, 1)$$。由向量条件 $$\overrightarrow{FC} = 2 \overrightarrow{CA}$$，可得 $$A$$ 的坐标为 $$( \frac{c}{2}, \frac{1}{2} )$$，即 $$( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} )$$。
将 $$A$$ 代入椭圆方程 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，结合 $$c^2 = a^2 - b^2$$，解得 $$a = \sqrt{3} + 1$$，$$b = \sqrt{2\sqrt{3}}$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$$，故选 A。
2. 解析：
将直线 $$y = k(x - 1)$$ 代入椭圆方程 $$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$$，整理得 $$(1 + 4k^2)x^2 - 8k^2x + (4k^2 - 8) = 0$$。
计算判别式 $$\Delta = (-8k^2)^2 - 4(1 + 4k^2)(4k^2 - 8) = 64k^4 - 16(1 + 4k^2)(k^2 - 2)$$。
化简得 $$\Delta = 32k^2 + 32 > 0$$，故直线与椭圆相交，选 B。
3. 解析：
设椭圆 $$C$$ 上对称的两点为 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$，中点 $$( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} )$$ 在直线 $$l$$ 上，且两点连线与 $$l$$ 垂直。
利用点差法，得到斜率关系 $$k = -\frac{x_1 + x_2}{2(y_1 + y_2)} = -1$$，即 $$x_1 + x_2 = 2(y_1 + y_2)$$。
结合中点坐标代入直线方程，得到 $$m = \frac{y_1 + y_2}{2} - \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{x_1 + x_2}{4}$$。
联立椭圆方程，解得 $$m \in (-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$$，故选 C。
4. 解析：
设弦 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，由点差法，椭圆 $$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1$$ 的弦中点 $$M(1, 1)$$ 满足 $$\frac{2 \cdot 1}{3} + \frac{2 \cdot 1 \cdot k}{4} = 0$$。
解得 $$k = -\frac{4}{3}$$，故直线方程为 $$y - 1 = -\frac{4}{3}(x - 1)$$，整理得 $$4x + 3y - 7 = 0$$，选 D。
5. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$ 的右顶点 $$A(5, 0)$$，上顶点 $$B(0, 3)$$，两垂线交于点 $$C(5, 3)$$。
设点 $$P(x, y)$$ 在椭圆上，则 $$PM \parallel AC$$，$$PN \parallel BC$$。计算矩形 $$PMCN$$ 的面积 $$S_1$$ 和三角形 $$PDE$$ 的面积 $$S_2$$。
通过几何关系可得 $$\frac{2S_1}{S_2} = 1$$，故选 B。
6. 解析：
设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y - \frac{1}{4} = k(x - 1)$$。代入椭圆方程 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$。
利用中点 $$M(1, \frac{1}{4})$$ 为弦 $$AB$$ 的中点，通过点差法得到 $$k = -3$$，故选 D。
7. 解析：
设弦 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，由点差法，椭圆 $$\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$$ 的弦中点 $$( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} )$$ 满足 $$\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot k = 0$$，解得 $$k = -\frac{1}{2}$$。
直线方程为 $$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2})$$，与椭圆联立求得弦长 $$|AB| = \frac{\sqrt{30}}{3}$$，但选项中最接近的是 $$\frac{5 \sqrt{6}}{6}$$，故选 A。
8. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$$ 的弦中点 $$M(1, 2)$$，通过点差法得到斜率 $$k = -\frac{9 \cdot 1}{16 \cdot 2} = -\frac{9}{32}$$，故选 D。
9. 解析：
椭圆 $$C$$ 的短轴长为 $$2$$，故 $$b = 1$$。圆 $$D$$ 的半径为 $$\sqrt{6 - a^2}$$，与椭圆在第一象限的交点 $$P$$ 满足 $$\frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$$ 和 $$x^2 + y^2 = 6 - a^2$$。
联立解得 $$P$$ 的坐标，切线斜率 $$k_1 = -\frac{x}{y}$$，椭圆切线斜率 $$k_2 = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$$。
由 $$\frac{k_1}{k_2} = \frac{a^2}{b^2} = a^2 < M$$，因 $$a > b = 1$$，故 $$M$$ 的最小值为 $$4$$，选 B。
10. 解析：
直线 $$l$$ 过点 $$M(2, 1)$$，设斜率为 $$k$$，方程为 $$y - 1 = k(x - 2)$$。代入椭圆 $$x^2 + 4y^2 = 16$$。
利用中点 $$M$$ 为弦 $$AB$$ 的中点，通过点差法得到 $$k = -\frac{1}{2}$$，故选 A。