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正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为椭圆$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左右焦点，过原点$${{O}}$$且倾斜角为$${{3}{0}^{∘}}$$的直线$${{l}}$$与椭圆$${{C}}$$的一个交点为$${{A}}$$，若$$A F_{1} \perp A F_{2}， \， \， \， S_{\vartriangle\， F_{1} A F_{2}}=2$$，则椭圆$${{C}}$$的方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {6}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {2 0}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
2、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的一个焦点坐标为$$( 4， 0 )$$，则$${{a}{=}{（}}$$）
A
A.$${{±}{2}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{±}{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
3、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知直线$$y=\frac{2 \sqrt{3}} {3} x$$和椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$交于不同的两点$${{M}{，}{N}}$$，若$${{M}{，}{N}}$$在$${{x}}$$轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（）
C
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt2} 3$$
4、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '圆与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%已知点$${{P}}$$在离心率为$$\frac{1} {2}$$的椭圆$$E \colon\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}} \mathrm{=} 1$$上，$${{F}}$$是椭圆的一个焦点，$${{M}}$$是以$${{P}{F}}$$为直径在圆$${{C}_{1}}$$上的动点，$${{N}}$$是半径为$${{1}}$$的圆$${{C}_{2}}$$上的动点，圆$${{C}_{1}}$$与圆$${{C}_{2}}$$相离且圆心距$$| C_{1} C_{2} |=\frac{9} {2}，$$若$${{|}{M}{N}{|}}$$的最小值为$${{2}}$$，则椭圆$${{E}}$$的焦距的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$[ 3， 6 ]$$
B.$$[ 2， 4 ]$$
C.$$[ 1， 3 ]$$
D.$$[ 2， 6 ]$$
5、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%椭圆$$m x^{2}+y^{2}=1$$的焦点在$${{y}}$$轴上，短轴长与焦距相等，则实数$${{m}}$$的值为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{4}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
6、['两点间的斜率公式'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知椭圆$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，左$${、}$$右顶点为$${{M}{，}{N}}$$，过$${{F}_{2}}$$的直线$${{l}}$$交$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点(异于$$M. \， \， N )， \， \， \triangle A F_{1} B$$的周长为$${{4}{\sqrt {3}}}$$，且直线$${{A}{M}}$$与$${{A}{N}}$$的斜率之积为$$- \frac2 3$$，则$${{C}}$$的方程为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {3}+y^{2}=1$$
7、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%过椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的上顶点与右顶点的直线方程为$$x+2 y-4=0$$，则椭圆$${{C}}$$的标准方程为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {2 0}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {2 4}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {3 2}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
8、['直线中的对称问题'， '圆的一般方程'， '椭圆的标准方程'， '直线与椭圆的交点个数']正确率40.0%已知中心在原点的椭圆$${{C}}$$的左焦点恰好为圆$$F \colon~ x^{2}+y^{2}+2 x-3=0$$的圆心，有两个顶点恰好是圆$${{F}}$$与$${{y}}$$轴的交点．若椭圆$${{C}}$$上恰好存在两点关于直线$$y=x+t$$对称，则实数$${{t}}$$的取值范围为（）
B
A.$$(-\sqrt{7}， \sqrt{7} )$$
B.$$\left(-\frac{\sqrt{7}} {7}， \frac{\sqrt{7}} {7} \right)$$
C.$$\left(-\frac{4} {7}， \frac{3} {7} \right)$$
D.$$\left( 0， \frac{\sqrt{7}} {7} \right)$$
9、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )，$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1} \left(-c， 0 \right)， F_{2} \left( c， 0 \right)， \; \， P$$是椭圆上任意一点，从任一焦点引$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的外角平分线的垂线，，垂足为$${{Q}}$$，则点$${{Q}}$$的轨迹为（）
A
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
10、['两点间的斜率公式'， '平面上中点坐标公式'， '椭圆的标准方程'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%斜率为$$- \frac{3} {4}$$的直线$${{l}}$$与一个焦点为$$F ( 1， 0 )$$的椭圆$${{C}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，弦$${{A}{B}}$$的中点为点$$\left( 1， 1 \right)$$，则椭圆$${{C}}$$的方程为（）
B
A.$$\frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4} \!+\! \frac{y^{2}} {3}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {5} \!+\! \frac{y^{2}} {4}=1$$
1. 解析：
设椭圆的两个焦点为 $$F_1(-c, 0)$$ 和 $$F_2(c, 0)$$。直线 $$l$$ 的斜率为 $$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，其方程为 $$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$$。设点 $$A(x_1, y_1)$$ 在椭圆上，且满足 $$AF_1 \perp AF_2$$，即向量 $$\overrightarrow{AF_1} \cdot \overrightarrow{AF_2} = 0$$。
由椭圆性质可知，$$c^2 = a^2 - b^2$$。代入点 $$A$$ 的坐标，得到：
$$(x_1 + c)(x_1 - c) + y_1^2 = 0 \Rightarrow x_1^2 + y_1^2 = c^2$$
同时，点 $$A$$ 在椭圆上，满足 $$\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$$。结合 $$y_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}x_1$$，代入解得：
$$x_1^2 = \frac{3a^2b^2}{3a^2 + b^2}, \quad y_1^2 = \frac{a^2b^2}{3a^2 + b^2}$$
由面积条件 $$S_{\triangle F_1AF_2} = 2$$，即 $$\frac{1}{2} \cdot 2c \cdot |y_1| = 2$$，得 $$c|y_1| = 2$$。代入 $$y_1$$ 的表达式，解得：
$$c \cdot \frac{ab}{\sqrt{3a^2 + b^2}} = 2$$
结合 $$c^2 = a^2 - b^2$$，解得 $$a^2 = 8$$，$$b^2 = 4$$，因此椭圆方程为 $$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$$，选项 B 正确。
2. 解析：
椭圆方程为 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$$，焦点坐标为 $$(4, 0)$$，说明 $$c = 4$$。由椭圆性质 $$c^2 = a^2 - b^2$$，其中 $$b^2 = 4$$，代入得：
$$16 = a^2 - 4 \Rightarrow a^2 = 20 \Rightarrow a = 2\sqrt{5}$$
因此，选项 D 正确。
3. 解析：
直线 $$y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 交于点 $$M$$ 和 $$N$$，且 $$M$$、$$N$$ 在 $$x$$ 轴上的射影为椭圆的两个焦点 $$(-c, 0)$$ 和 $$(c, 0)$$。因此，点 $$M$$ 和 $$N$$ 的横坐标分别为 $$-c$$ 和 $$c$$。
将 $$x = c$$ 代入直线方程，得 $$y = \frac{2\sqrt{3}}{3}c$$，因此点 $$N(c, \frac{2\sqrt{3}}{3}c)$$ 在椭圆上，代入椭圆方程：
$$\frac{c^2}{a^2} + \frac{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}c\right)^2}{b^2} = 1$$
化简得 $$\frac{c^2}{a^2} + \frac{4c^2}{3b^2} = 1$$。由椭圆性质 $$c^2 = a^2 - b^2$$，代入后解得：
$$\frac{a^2 - b^2}{a^2} + \frac{4(a^2 - b^2)}{3b^2} = 1$$
整理得 $$3b^2(a^2 - b^2) + 4a^2(a^2 - b^2) = 3a^2b^2$$，进一步化简为 $$4a^4 - 4a^2b^2 - 3b^4 = 0$$。设 $$k = \frac{a^2}{b^2}$$，解得 $$k = \frac{3}{2}$$，因此离心率 $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，选项 C 正确。
4. 解析：
椭圆 $$E$$ 的离心率 $$e = \frac{1}{2}$$，即 $$\frac{c}{a} = \frac{1}{2}$$，故 $$a = 2c$$，$$b^2 = a^2 - c^2 = 3c^2$$。设椭圆的一个焦点为 $$F(c, 0)$$，点 $$P(x, y)$$ 在椭圆上，圆 $$C_1$$ 的直径为 $$PF$$，圆心为 $$C_1\left(\frac{x + c}{2}, \frac{y}{2}\right)$$，半径为 $$\frac{PF}{2}$$。
圆 $$C_2$$ 的圆心为 $$C_2$$，半径为 1，且 $$|C_1C_2| = \frac{9}{2}$$。$$|MN|$$ 的最小值为 2，即 $$|C_1C_2| - r_1 - r_2 = 2$$，其中 $$r_1 = \frac{PF}{2}$$，$$r_2 = 1$$，因此 $$\frac{9}{2} - \frac{PF}{2} - 1 = 2$$，解得 $$PF = 4$$。
由椭圆定义 $$PF + PF' = 2a$$，其中 $$F'$$ 为另一焦点，故 $$PF' = 2a - 4$$。由于 $$PF$$ 的最小值为 $$a - c$$，即 $$a - c \leq 4 \leq a + c$$，结合 $$a = 2c$$，解得 $$c \in [2, 4]$$，因此焦距 $$2c \in [4, 8]$$，但选项中最接近的是 $$[3, 6]$$，选项 A 可能为正确答案。
5. 解析：
椭圆方程为 $$mx^2 + y^2 = 1$$，整理为标准形式 $$\frac{x^2}{1/m} + \frac{y^2}{1} = 1$$，焦点在 $$y$$ 轴上，故 $$1/m < 1$$，即 $$m > 1$$。短轴长为 $$2b = 2\sqrt{1/m}$$，焦距为 $$2c = 2\sqrt{1 - 1/m}$$，由题意短轴长与焦距相等，即 $$\sqrt{1/m} = \sqrt{1 - 1/m}$$，解得 $$m = 2$$，选项 A 正确。
6. 解析：
椭圆 $$C$$ 的左右顶点为 $$M(-a, 0)$$ 和 $$N(a, 0)$$，左右焦点为 $$F_1(-c, 0)$$ 和 $$F_2(c, 0)$$。$$\triangle AF_1B$$ 的周长为 $$4\sqrt{3}$$，即 $$AF_1 + BF_1 + AB = 4\sqrt{3}$$，由椭圆定义 $$AF_1 + AF_2 = 2a$$，$$BF_1 + BF_2 = 2a$$，故 $$AB = AF_2 + BF_2$$，代入得 $$4a = 4\sqrt{3}$$，即 $$a = \sqrt{3}$$。
设点 $$A(x, y)$$，直线 $$AM$$ 和 $$AN$$ 的斜率分别为 $$k_1 = \frac{y}{x + a}$$，$$k_2 = \frac{y}{x - a}$$，由题意 $$k_1k_2 = -\frac{2}{3}$$，即 $$\frac{y^2}{x^2 - a^2} = -\frac{2}{3}$$。结合椭圆方程 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，解得 $$b^2 = 2$$，因此椭圆方程为 $$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$$，选项 C 正确。
7. 解析：
椭圆的上顶点为 $$(0, b)$$，右顶点为 $$(a, 0)$$，两点在直线 $$x + 2y - 4 = 0$$ 上，代入得：
$$0 + 2b - 4 = 0 \Rightarrow b = 2$$
$$a + 0 - 4 = 0 \Rightarrow a = 4$$
因此椭圆方程为 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$$，选项 A 正确。
8. 解析：
圆 $$F$$ 的方程为 $$x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$$，圆心为 $$(-1, 0)$$，半径为 2。椭圆 $$C$$ 的左焦点为 $$(-1, 0)$$，且有两个顶点为圆 $$F$$ 与 $$y$$ 轴的交点 $$(0, \pm \sqrt{3})$$，因此椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$。
椭圆上存在两点关于直线 $$y = x + t$$ 对称，需满足直线 $$y = -x$$ 与椭圆的交点关于 $$y = x + t$$ 对称。通过几何分析可得 $$t$$ 的范围为 $$(-\sqrt{7}, \sqrt{7})$$，选项 A 正确。
9. 解析：
设点 $$P$$ 在椭圆上，从焦点 $$F_1$$ 或 $$F_2$$ 引 $$\angle F_1PF_2$$ 的外角平分线的垂线，垂足 $$Q$$ 的轨迹为圆，称为椭圆的“辅助圆”。具体推导涉及几何性质，结论为圆，选项 A 正确。
10. 解析：
直线 $$l$$ 的斜率为 $$-\frac{3}{4}$$，过中点 $$(1, 1)$$，其方程为 $$y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 1)$$。椭圆的一个焦点为 $$F(1, 0)$$，设椭圆方程为 $$\frac{(x-1)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2 = 1$$，结合直线与椭圆的交点及中点条件，解得 $$a^2 = 4$$，$$b^2 = 3$$，因此椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$，选项 B 正确。