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正确率40.0%设椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \mathrm{~} a > b > 0 )$$长轴的两个顶点分别为$${{A}{、}{B}}$$，点$${{C}}$$为椭圆上不同于$${{A}{、}{B}}$$的任一点，若将$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个内角记作$$A. ~ B. ~ C$$，且满足$$3 \operatorname{t a n} A+3 \operatorname{t a n} B+\operatorname{t a n} C=0$$，则椭圆的离心率为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
2、['椭圆的离心率'， '直线与椭圆的综合应用']正确率40.0%已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$，以$${{F}_{2}}$$为圆心的圆与$${{x}}$$轴交于$${{F}_{1}}$$，$${{B}}$$两点，与$${{y}}$$轴正半轴交于点$${{A}}$$，线段$${{A}{{F}_{1}}}$$与$${{C}}$$交于点$${{M}}$$$${{.}}$$若$${{|}{B}{M}{|}}$$与$${{C}}$$的焦距的比值为$$\frac{\sqrt{3 1}} {3}$$，则$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}+1} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{7}-1} {2}$$
3、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程']正确率60.0%中心在原点的椭圆的右焦点为$$\boldsymbol{F} \ {( \mathbf{1}， \ \mathbf{0} )}$$，离心率等于$$\frac{1} {3}，$$则该椭圆的方程是（）
B
A.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {6}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
4、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%设$${{e}_{1}{、}{{e}_{2}}}$$分别为具有公共焦点$${{F}_{1}}$$与$${{F}_{2}}$$的椭圆与双曲线的离心率，$${{P}}$$是两曲线的一个公共点，且满足$$P F_{1} \perp P F_{2}$$，则$$\frac{e_{1}^{2}+e_{2}^{2}} {\left( e_{1} \cdot e_{2} \right)^{2}}$$的值是（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
5、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%已知椭圆$${{C}}$$的方程为$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )， \ F_{1}， \ F_{2}$$为其左$${、}$$右焦点，$${{e}}$$为离心率，$${{P}}$$为椭圆上一动点，则有如下说法：
$${①}$$当$$0 < e < \frac{\sqrt2} 2$$时，使$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为直角三角形的点$${{P}}$$有且只有$${{4}}$$个；
$${②}$$当$$e=\frac{\sqrt2} {2}$$时，使$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为直角三角形的点$${{P}}$$有且只有$${{6}}$$个；
$${③}$$当$$\frac{\sqrt{2}} {2} < e < 1$$时，使$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为直角三角形的点$${{P}}$$有且只有$${{8}}$$个；
以上说法中正确的个数是（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
6、['椭圆的离心率']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左顶点为$${{A}}$$，右焦点为$${{F}}$$，上顶点为$${{B}}$$，下顶点为$${{C}}$$，若直线$${{A}{B}}$$与直线$${{C}{F}}$$交点的横坐标是$${{3}{a}}$$，则椭圆的离心率为
A
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
7、['椭圆的离心率'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知$$a > b > 0， \， \， \， e_{1}， \， \， \， e_{2}$$分别为圆锥曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$和$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的离心率，则$$\operatorname{l g} e_{1}+\operatorname{l g} e_{2}$$的值为
B
A.正数
B.负数
C.零
D.不确定
8、['椭圆的离心率'， '直线与椭圆的综合应用'， '双曲线的定义']正确率60.0%下列说法正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.椭圆的离心率$${{e}}$$越大，椭圆就越圆
B.方程$$\frac{x^{2}} {m}-\frac{y^{2}} {n}=1 ( m n > 0 )$$表示焦点在$${{x}}$$轴上的双曲线
C.方程$${{y}{=}{\sqrt {x}}}$$与$${{x}{=}{{y}^{2}}}$$表示同一曲线
D.直线$$y=k x-k+1$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {9} \!+\! \frac{y^{2}} {4} \!=\! 1$$总是相交的
9、['椭圆的离心率']正确率60.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {7}+\frac{y^{2}} {9}=1$$的离心率为
C
A.$$\frac{\sqrt{1 4}} {7}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {7}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 3$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {7}} \\ \end{array}$$
10、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '椭圆的离心率'， '直线和圆的数学文化问题']正确率19.999999999999996%古希腊数学家波罗尼斯(公元前$$2 6 2-1 9 0$$年)的著作$${《}$$圆锥曲线论$${》}$$是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数$$k ( k > 0$$，且$${{k}{≠}{1}{)}}$$的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )， \， \， \， A， \， \， B$$为椭圆的长轴端点，$${{C}{，}{D}}$$为椭圆的短轴端点，动点$${{M}}$$满足$${\frac{| M A |} {| M B |}}=2， \， \， \， \triangle M A B$$面积的最大值为$$8， \， \， \triangle M C D$$面积的最小值为$${{1}}$$，则椭圆的离心率为（）
D
A.$$\frac{\sqrt2} 3$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
以下是各题的详细解析：
设椭圆的长轴顶点为 $$A(-a,0)$$ 和 $$B(a,0)$$，点 $$C(x,y)$$ 在椭圆上。根据题意，三角形 $$ABC$$ 的内角满足 $$3 \tan A + 3 \tan B + \tan C = 0$$。利用三角恒等式和椭圆性质，推导出椭圆的离心率 $$e = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。正确答案为 C。
根据题意，圆以 $$F_2$$ 为圆心，经过 $$F_1$$ 和 $$B$$，且与 $$y$$ 轴正半轴交于点 $$A$$。通过几何关系和椭圆性质，建立方程并求解，得到椭圆的离心率 $$e = \frac{\sqrt{7}-1}{2}$$。正确答案为 D。
椭圆的右焦点为 $$F(1,0)$$，离心率 $$e = \frac{1}{3}$$。根据椭圆的性质 $$c = ae$$ 和 $$b^2 = a^2 - c^2$$，解得椭圆的方程为 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1$$。正确答案为 B。
设椭圆和双曲线的公共焦点为 $$F_1$$ 和 $$F_2$$，点 $$P$$ 满足 $$PF_1 \perp PF_2$$。利用椭圆和双曲线的定义及离心率公式，推导出 $$\frac{e_1^2 + e_2^2}{(e_1 e_2)^2} = 2$$。正确答案为 A。
对于椭圆上的点 $$P$$，使 $$\triangle PF_1F_2$$ 为直角三角形的点 $$P$$ 的数量取决于离心率 $$e$$：
- 当 $$0 < e < \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 时，有 4 个点；
- 当 $$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 时，有 6 个点；
- 当 $$\frac{\sqrt{2}}{2} < e < 1$$ 时，有 8 个点。
因此，三个说法均正确。正确答案为 D。
根据题意，直线 $$AB$$ 和 $$CF$$ 的交点横坐标为 $$3a$$。通过求直线方程和交点坐标，建立方程并求解，得到椭圆的离心率 $$e = \frac{2}{5}$$。正确答案为 C。
椭圆的离心率 $$e_1 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$$，双曲线的离心率 $$e_2 = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$$。因此，$$\lg e_1 + \lg e_2 = \lg(e_1 e_2) = \lg 1 = 0$$。正确答案为 C。
选项分析：
- A 错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁；
- B 正确，方程表示双曲线且焦点在 $$x$$ 轴上；
- C 错误，两方程表示的曲线不同；
- D 正确，直线 $$y = kx - k + 1$$ 恒过定点 $$(1,1)$$，在椭圆内。
正确答案为 B 和 D，但题目要求单选，可能是题目设计问题。
椭圆 $$\frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{9} = 1$$ 的离心率 $$e = \sqrt{1 - \frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$。正确答案为 C。
根据阿波罗尼斯圆的定义和几何性质，结合椭圆的性质，推导出椭圆的离心率 $$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。正确答案为 D。