椭圆的对称性-3.1 椭圆知识点教师选题进阶选择题自测题答案-贵州省等高一数学选择必修,平均正确率50.0%

1、['椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '特殊角的三角函数值']

正确率60.0%已知 $${{F}}$$$${}_{1} (-3， 0 )$$， $${{F}}$$$${}_{2} ( 3， 0 )$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ($$ $${{a}}$$$${{>}}$$ $${{b}}$$$${{>}{0}{)}}$$两个焦点， $${{P}}$$在椭圆上，$${{∠}}$$ $${{F}}$$$${_{1}}$$ $${{P}{F}}$$$${_{2}{=}}$$ $${{α}}$$，且当 $${{α}}$$$$= \frac{2 \pi} {3}$$时，$${{△}}$$ $${{F}}$$$${_{1}}$$ $${{P}{F}}$$$${_{2}}$$的面积最大，则椭圆的标准方程为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {3}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {1 4}+\frac{y^{2}} {5}=1$$

C.$$\frac{x^{2}} {1 5}+\frac{y^{2}} {6}=1$$

D.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {7}=1$$

2、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '三角形的面积（公式）'， '直线和圆相切']

正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{1}}$$作垂直于$${{x}}$$轴的直线交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$的内切圆半径为$$\frac{3} {8} a，$$则椭圆的离心率$${{e}{=}{(}{)}}$$
$${}$$

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {2}$$或$$\frac{\sqrt{1 3}-1} {4}$$

C.$$\frac{\sqrt{5}-1} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt{1 3}-1} {4}$$

3、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '椭圆的对称性']

正确率60.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {2}=1$$的内接矩形面积的最大值为（）

A.$${{4}{\sqrt {2}}}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{2}}$$

4、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']

正确率60.0%设椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， F_{2}，$$过$${{F}_{2}}$$的直线与$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{△}{A}{B}{{F}_{1}}}$$为等边三角形，则$${{C}}$$的离心率为（）

A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt2} 3$$

D.$$\frac{1} {2}$$

5、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率60.0%已知点$${{P}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \mathrm{~} a > b > 0 )$$上一点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为其左$${、}$$右焦点，且$$P F_{1} \perp P F_{2}， \， \， \， \angle P F_{1} F_{2}=6 0^{\circ}$$．则$${{e}{=}{（}}$$）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$

D.$$\sqrt3-1$$

6、['平面解析几何的新定义问题'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%我们把由半椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$$$( x \geqslant0 )$$与半椭圆$$\frac{y^{2}} {b^{2}}+\frac{x^{2}} {c^{2}}=1$$$$( x \leqslant0 )$$合成的曲线称作$${{“}}$$果圆$${{”}}$$，其中$$a^{2}=b^{2}+c^{2}， \， \， \， a > 0， \， \， \， b > c > 0$$.如图，设点$$F_{0}， ~ F_{1}， ~ F_{2}$$是相应椭圆的焦点，$${{A}_{1}{，}{{A}_{2}}}$$和$${{B}_{1}{，}{{B}_{2}}}$$是$${{“}}$$果圆$${{”}}$$与$${{x}{，}{y}}$$轴的交点，若$${{Δ}{{F}_{0}}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$是边长为$${{1}}$$的等边三角形，则$$a^{2}+b^{2}=($$$${{)}}$$．

A.$${{3}}$$

B.$$\frac{1 1} {4}$$

C.$$\frac{5} {2}$$

D.$$\frac{9} {4}$$

7、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用']

正确率60.0%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，离心率为$$\frac{1} {2}，$$过$${{F}_{2}}$$的直线与椭圆$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点．若$${{△}{{F}_{1}}{A}{B}}$$的周长为$${{8}}$$，则椭圆方程为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {1 2}=1$$

C.$$\frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$

D.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {2}=1$$

8、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性']

正确率40.0%已知$${{F}}$$是椭圆$$E : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左焦点，经过原点的直线$${{l}}$$与椭圆$${{E}}$$交于$${{P}{，}{Q}}$$两点，若 $\text{[math]}$ ，且$$\angle P F Q \!=\! 1 2 0^{\circ} \，，$$则椭圆$${{E}}$$的离心率为

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

9、['圆的定义与标准方程'， '椭圆的对称性'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的其他性质']

正确率40.0%已知椭圆$$C : ~ \frac{x^{2}} {m}+y^{2}=1 ( m > 1 )$$的左，右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，左，右顶点为$${{M}{，}{N}}$$，以线段$${{F}_{1}{{F}_{2}}}$$为直径的圆与椭圆$${{C}}$$有$${{4}}$$个公共点$$P_{i} ( i=1， 2， 3， 4 )$$，则$$\frac{\sum_{i=1}^{4} ( k_{p_{i} M} \cdot k_{P_{i} N} )} {m}$$的取值范围是（）

A.$$(-\frac{4} {2 5}， 0 )$$

B.$$(-1， 0 )$$

C.$$( 0， \frac{4} {2 5} )$$

D.$$( 0， 1 )$$

10、['椭圆的离心率'， '圆的一般方程'， '椭圆的对称性']

正确率40.0%椭圆$$x^{2}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( 0 < b < 1 )$$的左焦点为$${{F}}$$，上顶点为$${{A}}$$，右顶点为$${{B}}$$，若$${{Δ}{F}{A}{B}}$$的外接圆圆心$$P \， ( m， n )$$在直线$${{y}{=}{−}{x}}$$的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）

A.$$\left( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 \right)$$

B.$$\left( \frac{1} {2}， 1 \right)$$

C.$$\left( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$

D.$$\left( 0， \frac{1} {2} \right)$$

1. 解析：

已知椭圆的两个焦点为 $$F_1(-3, 0)$$ 和 $$F_2(3, 0)$$，焦距 $$2c = 6$$，故 $$c = 3$$。当 $$\alpha = \frac{2\pi}{3}$$ 时，$$\triangle F_1PF_2$$ 的面积最大，此时点 $$P$$ 在椭圆的短轴端点。设 $$P(0, b)$$，则 $$\cos \alpha = \frac{PF_1^2 + PF_2^2 - F_1F_2^2}{2 \cdot PF_1 \cdot PF_2}$$。计算得 $$PF_1 = PF_2 = \sqrt{9 + b^2}$$，代入得 $$\cos \frac{2\pi}{3} = \frac{2(9 + b^2) - 36}{2(9 + b^2)}$$，解得 $$b^2 = 3$$。由椭圆性质 $$a^2 = b^2 + c^2 = 12$$，故椭圆方程为 $$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{3} = 1$$，答案为 A。

2. 解析：

设椭圆离心率为 $$e$$，焦距 $$2c$$，半长轴 $$a$$。过 $$F_1$$ 的直线 $$x = -c$$ 与椭圆交于 $$A(-c, \frac{b^2}{a})$$ 和 $$B(-c, -\frac{b^2}{a})$$。$$\triangle ABF_2$$ 的周长为 $$4a$$，面积为 $$\frac{1}{2} \cdot 2c \cdot \frac{2b^2}{a} = \frac{2cb^2}{a}$$。内切圆半径 $$r = \frac{3}{8}a = \frac{S}{s}$$，其中 $$s = 2a$$，故 $$\frac{2cb^2}{a} = \frac{3}{8}a \cdot 2a$$，化简得 $$16cb^2 = 3a^3$$。利用 $$b^2 = a^2 - c^2$$ 和 $$e = \frac{c}{a}$$，解得 $$e = \frac{1}{2}$$ 或 $$e = \frac{\sqrt{13} - 1}{4}$$，答案为 B。

3. 解析：

椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$$，设内接矩形顶点为 $$(x, y)$$，则面积为 $$4xy$$。由椭圆方程得 $$y = \sqrt{2(1 - \frac{x^2}{4})}$$，故面积函数为 $$S = 4x\sqrt{2(1 - \frac{x^2}{4})}$$。求导得极值点 $$x = \sqrt{2}$$，此时 $$S = 4\sqrt{2}$$，答案为 A。

4. 解析：

设椭圆焦距为 $$2c$$，半长轴 $$a$$。若 $$\triangle ABF_1$$ 为等边三角形，则 $$AB = AF_1 = BF_1$$。设直线斜率为 $$k$$，利用椭圆性质及等边条件，解得离心率 $$e = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，答案为 A。

5. 解析：

设 $$PF_1 = m$$，$$PF_2 = n$$，由椭圆性质 $$m + n = 2a$$。由 $$PF_1 \perp PF_2$$ 和 $$\angle PF_1F_2 = 60^\circ$$，得 $$m = c$$，$$n = \sqrt{3}c$$，故 $$2a = c + \sqrt{3}c$$。结合 $$c = ae$$，解得 $$e = \sqrt{3} - 1$$，答案为 D。

6. 解析：

由题意，$$F_0F_1 = F_0F_2 = 1$$，故 $$c = \frac{1}{2}$$。半长轴 $$a = \sqrt{b^2 + c^2}$$，由等边三角形条件得 $$a + c = 1$$，解得 $$a = \frac{3}{4}$$，$$b^2 = \frac{5}{16}$$。故 $$a^2 + b^2 = \frac{11}{16} \times 4 = \frac{11}{4}$$，答案为 B。

7. 解析：

椭圆离心率 $$e = \frac{1}{2}$$，故 $$c = \frac{a}{2}$$，$$b = \frac{\sqrt{3}a}{2}$$。$$\triangle F_1AB$$ 的周长为 $$4a = 8$$，故 $$a = 2$$，$$b = \sqrt{3}$$。椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$，答案为 A。

8. 解析：

设椭圆焦距为 $$2c$$，半长轴 $$a$$。由对称性，$$PF = QF$$，且 $$\angle PFQ = 120^\circ$$，故 $$PQ = \sqrt{3}PF$$。利用椭圆性质及距离公式，解得离心率 $$e = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，答案为 C。

9. 解析：

以 $$F_1F_2$$ 为直径的圆与椭圆有 4 个交点，故 $$c > b$$，即 $$m > 2$$。设 $$P_i(x, y)$$，则 $$k_{P_iM} \cdot k_{P_iN} = \frac{y^2}{x^2 - m}$$。由椭圆方程得 $$\frac{y^2}{m} = 1 - \frac{x^2}{m}$$，代入得 $$k_{P_iM} \cdot k_{P_iN} = -\frac{1}{m}$$。故所求值为 $$-\frac{4}{m}$$，范围为 $$(-1, 0)$$，答案为 B。

10. 解析：

椭圆方程为 $$x^2 + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦点 $$F(-c, 0)$$，顶点 $$A(0, b)$$，$$B(1, 0)$$。外接圆圆心 $$P(m, n)$$ 在 $$y = -x$$ 左下方，故 $$m + n < 0$$ 且 $$m < 0$$。利用垂直平分线求圆心坐标，结合离心率 $$e = \sqrt{1 - b^2}$$，解得 $$e \in \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 \right)$$，答案为 A。

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