1、['向量加法的定义及运算法则'， '椭圆的离心率'， '向量的模'， '椭圆的对称性'， '直线与椭圆的综合应用']正确率60.0%已知直线$${{y}{=}{2}{x}}$$与椭圆$$c_{:} \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}$$$${{=}{1}{(}{a}{>}{b}{>}{0}{)}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，点$${{F}}$$是椭圆$${{C}}$$的左焦点，若$$| \overrightarrow{F A} |+| \overrightarrow{F B} |=2 \sqrt{2}，$$$$| \overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B} |=2，$$则椭圆$${{C}}$$的离心率$${{e}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
3、['直线中的对称问题'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的右焦点$${{F}}$$关于直线$${{3}{x}{+}{4}{y}{−}{{1}{2}}{=}{0}}$$的对称点为$${{P}}$$，点$${{O}}$$为$${{C}}$$的对称中心，直线$${{P}{O}}$$的斜率为$$\frac{7 2} {7 9}，$$且$${{C}}$$的长轴不小于$${{4}}$$，则$${{C}}$$的离心率（）
B
A.存在最大值，且最大值为$$\frac{1} {4}$$
B.存在最大值，且最大值为$$\frac{1} {2}$$
C.存在最小值，且最小值为$$\frac{1} {4}$$
D.存在最小值，且最小值为$$\frac{1} {2}$$
5、['椭圆的对称性'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率60.0%顺次连接椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {9}=1$$的四个顶点，得到的四边形面积等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{6}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{4}{8}}$$
6、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '两条直线垂直']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )， \ F_{1}， \ F_{2}$$分别是椭圆的左$${、}$$右焦点，椭圆上总存在点$${{P}}$$使得$${{P}{{F}_{1}}{⊥}{P}{{F}_{2}}}$$，则椭圆的离心率的取值范围为$${{(}{)}}$$
A
A.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 )$$
B.$$\left( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 \right)$$
C.$$\left( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$
D.$$( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
7、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '抛物线的标准方程'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%已知椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{c}{x}{（}{{c}^{2}}{=}{{a}^{2}}{−}{{b}^{2}}{，}{c}{>}{0}{）}}$$与椭圆$${{C}}$$在第一象限的交点为$${{P}}$$，若$$\operatorname{c o s} \angle P F_{1} F_{2}=\frac{4} {5}，$$则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$$\frac{{\sqrt5}-1} {2}$$
B.$$\frac{3-\sqrt{2}} {2}$$或$$\frac{3+\sqrt{2}} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$
D.$$\frac{4-\sqrt{7}} {9}$$或$$\frac{4+\sqrt{7}} {9}$$
8、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {m^{2}}+\frac{y^{2}} {n^{2}}=1 ( m， n > 0$$且$${{m}{≠}{n}{)}}$$的焦距为$${{2}{\sqrt {5}}}$$，且由椭圆的四个顶点围成四边形的面积为$${{1}{2}}$$，则椭圆的离心率为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$或$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
D.$$\frac{5} {3}$$或$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
1. 解析：
设椭圆 $$C$$ 的左焦点为 $$F(-c, 0)$$，直线 $$y=2x$$ 与椭圆交于 $$A$$ 和 $$B$$ 两点。将 $$y=2x$$ 代入椭圆方程得：
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(2x)^2}{b^2} = 1$$
化简得：$$x^2 \left( \frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} \right) = 1$$，解得 $$x = \pm \frac{ab}{\sqrt{b^2 + 4a^2}}$$。
因此，点 $$A$$ 和 $$B$$ 的坐标为 $$A\left( \frac{ab}{\sqrt{b^2 + 4a^2}}, \frac{2ab}{\sqrt{b^2 + 4a^2}} \right)$$ 和 $$B\left( -\frac{ab}{\sqrt{b^2 + 4a^2}}, -\frac{2ab}{\sqrt{b^2 + 4a^2}} \right)$$。
计算向量 $$\overrightarrow{FA}$$ 和 $$\overrightarrow{FB}$$ 的长度：
$$|\overrightarrow{FA}| = \sqrt{\left( \frac{ab}{\sqrt{b^2 + 4a^2}} + c \right)^2 + \left( \frac{2ab}{\sqrt{b^2 + 4a^2}} \right)^2}$$
$$|\overrightarrow{FB}| = \sqrt{\left( -\frac{ab}{\sqrt{b^2 + 4a^2}} + c \right)^2 + \left( -\frac{2ab}{\sqrt{b^2 + 4a^2}} \right)^2}$$
由题意 $$|\overrightarrow{FA}| + |\overrightarrow{FB}| = 2\sqrt{2}$$，化简后得到：
$$\sqrt{(x_A + c)^2 + y_A^2} + \sqrt{(x_B + c)^2 + y_B^2} = 2\sqrt{2}$$
由于 $$A$$ 和 $$B$$ 关于原点对称，上式简化为：
$$2\sqrt{(x_A + c)^2 + y_A^2} = 2\sqrt{2}$$，即 $$\sqrt{(x_A + c)^2 + y_A^2} = \sqrt{2}$$。
平方后代入坐标得：
$$\left( \frac{ab}{\sqrt{b^2 + 4a^2}} + c \right)^2 + \left( \frac{2ab}{\sqrt{b^2 + 4a^2}} \right)^2 = 2$$
化简得：$$\frac{(ab + c\sqrt{b^2 + 4a^2})^2 + 4a^2b^2}{b^2 + 4a^2} = 2$$
进一步整理得：$$5a^2b^2 + c^2(b^2 + 4a^2) + 2abc\sqrt{b^2 + 4a^2} = 2(b^2 + 4a^2)$$
由 $$c^2 = a^2 - b^2$$，代入后解得：
$$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，故选 B。
3. 解析：
设椭圆 $$C$$ 的右焦点为 $$F(c, 0)$$，对称点 $$P$$ 关于直线 $$3x + 4y - 12 = 0$$ 对称。
对称点 $$P$$ 的坐标可通过反射公式计算，设 $$P(x, y)$$，则：
$$\frac{x - c}{3} = \frac{y - 0}{4} = \frac{-2(3c + 0 - 12)}{25}$$
解得 $$P$$ 的坐标为 $$\left( \frac{72 - 7c}{25}, \frac{96 - 24c}{25} \right)$$。
直线 $$PO$$ 的斜率为 $$\frac{72}{79}$$，即：
$$\frac{\frac{96 - 24c}{25}}{\frac{72 - 7c}{25}} = \frac{72}{79}$$
化简得 $$79(96 - 24c) = 72(72 - 7c)$$，解得 $$c = 1$$。
由 $$a \geq 2$$ 且 $$c^2 = a^2 - b^2$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} \leq \frac{1}{2}$$，最大值为 $$\frac{1}{2}$$，故选 B。
5. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$$ 的顶点为 $$(4, 0)$$、$$(-4, 0)$$、$$(0, 3)$$ 和 $$(0, -3)$$。
顺次连接四个顶点形成的四边形为菱形，其面积为对角线乘积的一半：
$$S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$$，故选 C。
6. 解析：
设椭圆上点 $$P(x, y)$$ 满足 $$PF_1 \perp PF_2$$，即 $$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = 0$$。
由椭圆性质，存在点 $$P$$ 使得 $$PF_1 \perp PF_2$$ 的条件是离心率 $$e > \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
因此，离心率的取值范围为 $$\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 \right)$$，故选 B。
7. 解析：
抛物线 $$y^2 = 4cx$$ 与椭圆在第一象限的交点为 $$P$$，设 $$P(x, y)$$。
由 $$\cos \angle PF_1F_2 = \frac{4}{5}$$，利用余弦定理和椭圆性质，解得离心率 $$e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$$，故选 A。
8. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{m^2} + \frac{y^2}{n^2} = 1$$ 的焦距为 $$2\sqrt{5}$$，即 $$2\sqrt{m^2 - n^2} = 2\sqrt{5}$$，得 $$m^2 - n^2 = 5$$。
四个顶点围成的四边形面积为 $$12$$，即 $$2m \times 2n = 12$$，得 $$mn = 3$$。
联立解得 $$m = 3$$，$$n = 1$$ 或 $$m = \sqrt{5}$$，$$n = \frac{3}{\sqrt{5}}$$。
对应的离心率分别为 $$e = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$ 或 $$e = \frac{\sqrt{5}}{3}$$，故选 C。
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