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正确率40.0%设椭圆$$C_{!} \， \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}} {=} 1 ( a > b > 0 )$$的右焦点为$${{F}}$$，椭圆$${{C}}$$上的两点$${{A}{、}{B}}$$关于原点对称，且满足$$\overrightarrow{F A}. \overrightarrow{F B}=0， \; \; | F B | \leqslant| F A | \leqslant2 | F B |，$$则椭圆$${{C}}$$的离心率的取值范围是（）
A
A.$$[ \frac{\sqrt2} {2}， \frac{\sqrt5} {3} ]$$
B.$$( \frac{\sqrt{5}} {3}， 1 )$$
C.$$[ \frac{\sqrt2} 2， \sqrt3-1 ]$$
D.$$[ \sqrt{3}-1， 1 )$$
2、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '椭圆的对称性']正确率60.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {2}=1$$的内接矩形面积的最大值为 （）
A
A.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}}$$
3、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的定义']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的右焦点为$${{F}{，}}$$椭圆上的$${{A}{，}{B}}$$两点关于原点对称，$$| A F |=2 | B F |，$$且$$\overrightarrow{F A} \cdot\overrightarrow{F B} \leq\frac{4} {9} a^{2}，$$则该椭圆的离心率$${{e}}$$的取值范围是（）
B
A.$$\left( 0， ~ ~ \frac{\sqrt{5}} {3} \right]$$
B.$$\left( 0， ~ ~ \frac{\sqrt{7}} {3} \right]$$
C.$$[ \frac{\sqrt{5}} {3}， ~ 1 )$$
D.$$\left[ \frac{\sqrt{7}} {3}， \， 1 \right)$$
5、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '点与椭圆的位置关系']正确率80.0%若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于$${{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
6、['椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知点$${{P}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {8}=1$$上非顶点的动点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆的左$${、}$$右焦点，$${{O}}$$为坐标原点，若$${{M}}$$为$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的平分线上一点，且$$\overrightarrow{F_{1} M} \cdot\overrightarrow{M P}=0，$$则$$\left| \overrightarrow{O M} \right|$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
D
A.$$( 0， 3 ]$$
B.$$( 0， 2 \sqrt{2} ]$$
C.$$( 0， 3 )$$
D.$$( 0， 2 \sqrt{2} )$$
7、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( b > 0 )$$的上$${、}$$下顶点分别为$${{A}{，}{B}}$$，左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，且四边形$${{A}{{F}_{1}}{B}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{4}}$$，则该椭圆的离心率为（）
C
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
8、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$内切于长，宽分别为$${{6}{，}{4}}$$的矩形$$A B C D， \ F_{1}， \ F_{2}$$分别为其焦点，若点$${{P}}$$在椭圆上运动，则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$面积的最大值为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
以下是各题的详细解析：
1. 椭圆离心率范围
设椭圆右焦点为 $$F(c,0)$$，点 $$A(x,y)$$ 在椭圆上，则 $$B(-x,-y)$$。由 $$\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} = 0$$，可得 $$(x-c)(-x-c) + y(-y) = 0$$，即 $$x^2 + y^2 = c^2$$。结合椭圆方程 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，解得 $$x^2 = \frac{a^2(c^2 - b^2)}{a^2 - b^2}$$。
由 $$|FB| \leq |FA| \leq 2|FB|$$，可得 $$1 \leq \frac{|FA|}{|FB|} \leq 2$$。计算距离比并代入条件，最终得到离心率 $$e \in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right]$$，故选 A。
2. 椭圆内接矩形最大面积
设矩形顶点为 $$(x,y)$$，$$(x,-y)$$，$$(-x,y)$$，$$(-x,-y)$$。面积为 $$4xy$$。由椭圆方程 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$$，用参数法设 $$x = 2\cos\theta$$，$$y = \sqrt{2}\sin\theta$$，则面积 $$S = 4 \cdot 2\cos\theta \cdot \sqrt{2}\sin\theta = 4\sqrt{2}\sin 2\theta$$。最大值为 $$4\sqrt{2}$$，故选 A。
3. 椭圆离心率范围
类似第1题，设 $$A(x,y)$$，$$B(-x,-y)$$，由 $$|AF| = 2|BF|$$ 可得 $$(x-c)^2 + y^2 = 4[(x+c)^2 + y^2]$$，解得 $$x = -\frac{5c}{3}$$。代入椭圆方程和点积条件 $$\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} \leq \frac{4}{9}a^2$$，最终得到 $$e \in \left(0, \frac{\sqrt{5}}{3}\right]$$，故选 A。
5. 椭圆离心率
设椭圆短轴顶点为 $$(0,b)$$ 和 $$(0,-b)$$，焦点为 $$(c,0)$$。由垂直条件得斜率积为 $$-1$$，即 $$\frac{b}{c} \cdot \left(-\frac{b}{c}\right) = -1$$，解得 $$c^2 = b^2$$。结合椭圆关系 $$a^2 = b^2 + c^2 = 2c^2$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，故选 D。
6. 距离范围
由椭圆方程 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$$，得 $$a=4$$，$$b=2\sqrt{2}$$，$$c=2\sqrt{2}$$。设 $$P(4\cos\theta, 2\sqrt{2}\sin\theta)$$，角平分线条件结合向量点积为零，可得 $$M$$ 为 $$F_1P$$ 的中点或延长线上的点。计算 $$|OM|$$ 的范围为 $$(0,2\sqrt{2})$$，故选 D。
7. 椭圆离心率
椭圆上顶点 $$A(0,b)$$，下顶点 $$B(0,-b)$$，焦点 $$F_1(-c,0)$$，$$F_2(c,0)$$。四边形面积为 $$4$$，即 $$\frac{1}{2} \cdot 2c \cdot 2b = 4$$，得 $$bc = 2$$。由椭圆方程 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，得 $$c^2 = 4 - b^2$$。联立解得 $$b = \sqrt{2}$$，$$c = \sqrt{2}$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，故选 C。
8. 三角形面积最大值
椭圆内切于 $$6 \times 4$$ 矩形，故 $$2a = 6$$，$$2b = 4$$，即 $$a=3$$，$$b=2$$，$$c = \sqrt{5}$$。三角形 $$PF_1F_2$$ 的面积为 $$\frac{1}{2} \cdot 2c \cdot |y_P| = c|y_P|$$。最大值为 $$c \cdot b = \sqrt{5} \cdot 2 = 2\sqrt{5}$$，故选 D。