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正确率60.0%设$$\alpha\in( 0， \frac{\pi} {2} )，$$方程$$\frac{x^{2}} {\operatorname{s i n} \alpha}+\frac{y^{2}} {\operatorname{c o s} \alpha}=1$$表示焦点在$${{x}}$$轴上的椭圆，则$${{α}{∈}{(}{)}}$$
B
A.$$( 0， \frac{\pi} {4} ]$$
B.$$( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} )$$
C.$$( 0， \frac{\pi} {4} )$$
D.$$[ \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} )$$
2、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆$$\frac{x^{2}} {4 9}+\frac{y^{2}} {2 4}=1$$的左，右焦点，$${{P}}$$是椭圆上一点，且$$| P F_{1} | : | P F_{2} |=4 : 3，$$则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为（）
A
A.$${{2}{4}}$$
B.$${{2}{5}}$$
C.$${{3}{0}}$$
D.$${{4}{0}}$$
3、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '点与椭圆的位置关系'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的一条渐近线截椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$所得弦长为$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}，$$则此双曲线的离心率等于（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
D.$${\sqrt {6}}$$
4、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%椭圆$$C_{!} \， \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}} {=} 1 ( a > b > 0 )$$的左，右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{P}}$$在椭圆$${{C}}$$上，且$${{△}{P}{O}{{F}_{2}}}$$为等边三角形，则$${{C}}$$的离心率$${{e}{=}{（}}$$）
A
A.$$\sqrt3 \!-\! 1$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
5、['椭圆的标准方程'， '一元二次不等式的解法']正确率40.0%若椭圆$$\frac{x^{2}} {a+6}+\frac{y^{2}} {a^{2}}=1$$的焦点在$${{x}}$$轴上，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{a}{>}{3}}$$
B.$${{a}{<}{−}{2}}$$
C.$${{a}{>}{3}}$$或$${{a}{<}{−}{2}}$$
D.$$- 2 < a < 3$$
6、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知圆$$C_{\colon} \ ( x+1 )^{2}+y^{2}=3 6$$及点$$A ( 1， 0 )$$，设$${{P}}$$是圆$${{C}}$$上任意一点，线段$${{A}{P}}$$的垂直平分线与半径$${{C}{P}}$$相交于点$${{Q}}$$，当点$${{P}}$$运动时，点$${{Q}}$$的轨迹方程是（）
B
A.$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {8}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {8}-\frac{y^{2}} {9}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {9}=1$$
7、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率60.0%已知椭圆的一个焦点与抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点重合，且椭圆的离心率为$$\frac{\sqrt{2}} {2}，$$该椭圆的方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
C.$$\frac{y^{2}} {2}+x^{2}=1$$
D.$$\frac{y^{2}} {4}+\frac{x^{2}} {2}=1$$
8、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程']正确率60.0%若椭圆$${{M}}$$与双曲线$$N : x^{2}-y^{2}=1$$的离心率互为倒数，则$${{M}}$$的方程不可能为
D
A.$$x^{2}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {6}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {5}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
9、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程']正确率60.0%焦点在$${{y}}$$轴上的椭圆$$m x^{2}+y^{2}=1$$的离心率为$$\frac{\sqrt3} {2}$$，则$${{m}}$$的值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['椭圆的标准方程'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$$$( a > b > 0 )$$，过$${{M}}$$的右焦点$$F ( 3， \ 0 )$$作直线交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{A}{B}}$$中点坐标为$$( 2， 1 )$$，则椭圆$${{M}}$$的方程为（）
C
A.$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {6}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {1 8}+\frac{y^{2}} {9}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {3}=1$$
1. 对于方程 $$\frac{x^{2}}{\sin \alpha} + \frac{y^{2}}{\cos \alpha} = 1$$ 表示焦点在 $$x$$ 轴上的椭圆，需满足 $$\sin \alpha > \cos \alpha > 0$$。因为 $$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$，所以 $$\alpha \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$$。答案为 B。
2. 椭圆 $$\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$$ 的半长轴 $$a = 7$$，半短轴 $$b = 2\sqrt{6}$$，焦距 $$c = \sqrt{49 - 24} = 5$$。设 $$|PF_1| = 4k$$，$$|PF_2| = 3k$$，由椭圆性质 $$4k + 3k = 2a = 14$$，解得 $$k = 2$$。因此 $$|PF_1| = 8$$，$$|PF_2| = 6$$。利用余弦定理求出 $$\cos \theta = \frac{8^2 + 6^2 - 10^2}{2 \times 8 \times 6} = 0$$，故 $$\theta = 90^\circ$$，面积为 $$\frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$$。答案为 A。
3. 双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。取 $$y = \frac{b}{a}x$$ 代入椭圆方程 $$\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$$，解得交点 $$x = \pm \frac{2a}{\sqrt{a^2 + 4b^2}}$$，弦长为 $$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$，通过计算可得 $$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$。双曲线的离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$。答案为 C。
4. 设 $$P$$ 为椭圆上点，$$\triangle POF_2$$ 为等边三角形，则 $$|PF_2| = c$$，$$P$$ 的坐标为 $$\left(\frac{c}{2}, \frac{\sqrt{3}c}{2}\right)$$。代入椭圆方程 $$\frac{c^2}{4a^2} + \frac{3c^2}{4b^2} = 1$$，结合 $$b^2 = a^2 - c^2$$，解得 $$e = \sqrt{3} - 1$$。答案为 A。
5. 椭圆 $$\frac{x^{2}}{a+6} + \frac{y^{2}}{a^2} = 1$$ 的焦点在 $$x$$ 轴上，需满足 $$a + 6 > a^2$$ 且 $$a^2 > 0$$，解得 $$a > 3$$ 或 $$a < -2$$。答案为 C。
6. 点 $$Q$$ 满足 $$|AQ| + |CQ| = |CP| = 6$$，故 $$Q$$ 的轨迹是以 $$A(1, 0)$$ 和 $$C(-1, 0)$$ 为焦点的椭圆，半长轴 $$a = 3$$，半短轴 $$b = 2\sqrt{2}$$，方程为 $$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$$。答案为 B。
7. 抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$(1, 0)$$，椭圆的离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，故 $$a = \sqrt{2}$$，$$b = 1$$，椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{2} + y^2 = 1$$。答案为 A。
8. 双曲线 $$N: x^2 - y^2 = 1$$ 的离心率 $$e_N = \sqrt{2}$$，故椭圆 $$M$$ 的离心率 $$e_M = \frac{1}{\sqrt{2}}$$。选项 D 的离心率为 $$\sqrt{\frac{1}{5}} \neq \frac{1}{\sqrt{2}}$$，不符合条件。答案为 D。
9. 椭圆 $$mx^2 + y^2 = 1$$ 的离心率 $$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，故 $$\frac{\sqrt{1 - m}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，解得 $$m = \frac{1}{4}$$。但题目选项无此值，可能题目描述有误。若椭圆为 $$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{m} = 1$$，则 $$m = 4$$。答案为 D。
10. 设椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$，右焦点 $$F(3, 0)$$，故 $$c = 3$$。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，中点 $$(2, 1)$$，利用点差法得 $$\frac{4}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$$，结合 $$a^2 - b^2 = 9$$，解得 $$a^2 = 18$$，$$b^2 = 9$$，椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$$。答案为 C。