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正确率40.0%已知椭圆$$C_{:} \ x^{2}+\frac{y^{2}} {4}=1$$和抛物线$$E_{\colon} \ x^{2}=4 y$$，则椭圆$${{C}}$$上一动点$${{P}}$$与抛物线$${{E}}$$的焦点$${{F}}$$的距离$${{|}{P}{F}{|}}$$的最小值是
A
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
2、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%已知椭圆$$o_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的离心率为$${{e}_{1}}$$，动$${{△}{A}{B}{C}}$$是其内接三角形，且$$\overrightarrow{O C}=\frac{3} {5} \overrightarrow{O A}+\frac{4} {5} \overrightarrow{O B}.$$若$${{A}{B}}$$的中点为$${{D}{，}{D}}$$的轨迹$${{E}}$$的离心率为$${{e}_{2}}$$，则$${{(}{)}}$$
A
A.$${{e}_{1}{=}{{e}_{2}}}$$
B.$${{e}_{1}{<}{{e}_{2}}}$$
C.$${{e}_{1}{>}{{e}_{2}}}$$
D.$$e_{1} e_{2}=1$$
3、['点与椭圆的位置关系']正确率60.0%已知点$$( \textit{m}， \ \textit{n} )$$在椭圆$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {8}=1$$上，则$${\sqrt {3}{m}}$$的取值范围是（）
A
A.$$[-3， ~ 3 ]$$
B.$$( \mathbf{\alpha}-\mathbf{3}， \mathbf{\alpha} 3 )$$
C.$$[-\sqrt{3}， ~ \sqrt{3} ]$$
D.$$(-\sqrt{3}， ~ \sqrt{3} )$$
4、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '点与椭圆的位置关系']正确率60.0%svg异常
A
A.$$\sqrt3-1$$
B.$$\sqrt{5}-1$$
C.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$
D.$$\frac{{\sqrt5}-1} {2}$$
5、['椭圆的离心率'， '点与椭圆的位置关系']正确率60.0%已知$$F 1， ~ F 2$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \mathrm{~} a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，$${{p}}$$是椭圆上一点（异于左$${、}$$右顶点），点$${{E}}$$是$$\triangle P F 1 F 2$$的内心，若$$3 \mathrm{\ensuremath{P E}} \mathrm{\ensuremath{~ \Sigma~}}^{2}=| P F_{1} | \cdot| P F_{2} |$$，则椭圆的离心率为（）
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {7}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
6、['椭圆的标准方程'， '点与椭圆的位置关系'， '直线与椭圆的交点个数']正确率40.0%已知对$${{k}{∈}{R}}$$，直线$$y-k x-1=0$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {m}=1$$恒有公共点，则实数$${{m}}$$的取值范围（）
C
A.$${{(}{{1}{，}{4}{]}}}$$
B.$$[ 1， ~ 4 )$$
C.$$[ 1， ~ 4 ) \cup( 4， ~+\infty)$$
D.$${{(}{{4}{，}{+}{∞}}{)}}$$
7、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为椭圆$$C \colon~ \frac{x^{2}} {3 6}+\frac{y^{2}} {2 0}=1$$的两个焦点，$${{M}}$$为$${{C}}$$上一点且在第一象限，若$${{△}{M}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为等腰三角形，则$${{△}{M}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为（）
D
A.$${{5}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{1}{0}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {{1}{5}}}}$$
D.$${{4}{\sqrt {{1}{5}}}}$$
8、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%椭圆$$C_{!} \， \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}} {=} 1 ( a > b > 0 )$$的左，右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{P}}$$在椭圆$${{C}}$$上，且$${{△}{P}{O}{{F}_{2}}}$$为等边三角形，则$${{C}}$$的离心率$${{e}{=}{（}}$$）
A
A.$$\sqrt3 \!-\! 1$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
9、['两点间的斜率公式'， '平面上中点坐标公式'， '直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '直线的一般式方程及应用'， '点与椭圆的位置关系'， '直线的斜率']正确率40.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {3 6}+\frac{y^{2}} {9}=1$$的弦被点$$( 4， 2 )$$平分，则此弦所在的直线方程是$${{(}{)}}$$
D
A.$$x-2 y=0$$
B.$$x+2 y=4$$
C.$$2 x+3 y=1 4$$
D.$$x+2 y=8$$
10、['椭圆的对称性'， '点与椭圆的位置关系']正确率60.0%已知点$$( 3， \ 2 )$$在椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$上，则（）
C
A.点$$(-3， ~-2 )$$不在椭圆上
B.点$$( 3， ~-2 )$$不在椭圆上
C.点$$(-3， \， \， 2 )$$在椭圆上
D.无法判断点$$(-3， ~-2 )， ~ ( 3， ~-2 )， ~ (-3， ~ 2 )$$是否在椭圆上
1. 椭圆 $$C: x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$$ 的参数方程为 $$P(\cos \theta, 2 \sin \theta)$$。抛物线 $$E: x^{2}=4y$$ 的焦点为 $$F(0,1)$$。距离 $$|PF|$$ 的平方为： $$|PF|^{2} = \cos^{2}\theta + (2 \sin \theta - 1)^{2} = \cos^{2}\theta + 4 \sin^{2}\theta - 4 \sin \theta + 1$$ 利用 $$\cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\theta$$，化简得： $$|PF|^{2} = 3 \sin^{2}\theta - 4 \sin \theta + 2$$ 这是一个关于 $$\sin \theta$$ 的二次函数，最小值在 $$\sin \theta = \frac{2}{3}$$ 时取得： $$|PF|^{2}_{\text{min}} = 3 \left(\frac{2}{3}\right)^{2} - 4 \left(\frac{2}{3}\right) + 2 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 2 = \frac{2}{3}$$ 因此 $$|PF|_{\text{min}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$，答案为 A。
2. 设 $$A(a \cos \alpha, b \sin \alpha)$$，$$B(a \cos \beta, b \sin \beta)$$，则根据题意： $$\overrightarrow{OC} = \frac{3}{5} \overrightarrow{OA} + \frac{4}{5} \overrightarrow{OB} = \left(\frac{3}{5}a \cos \alpha + \frac{4}{5}a \cos \beta, \frac{3}{5}b \sin \alpha + \frac{4}{5}b \sin \beta\right)$$ 因为 $$C$$ 在椭圆上，代入椭圆方程： $$\left(\frac{3}{5} \cos \alpha + \frac{4}{5} \cos \beta\right)^{2} + \left(\frac{3}{5} \sin \alpha + \frac{4}{5} \sin \beta\right)^{2} = 1$$ 展开后利用 $$\cos^{2} + \sin^{2} = 1$$ 和 $$\cos(\alpha - \beta)$$ 的关系，可以证明 $$e_{1} = e_{2}$$，答案为 A。
3. 椭圆 $$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{8} = 1$$ 的参数范围为 $$x \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$$，因此 $$\sqrt{3}m \in [-3, 3]$$，答案为 A。
4. 题目不完整，无法解析。
5. 设椭圆的半焦距为 $$c$$，由内心性质及给定条件 $$3|PE|^{2} = |PF_{1}| \cdot |PF_{2}|$$，结合椭圆定义 $$|PF_{1}| + |PF_{2}| = 2a$$，可以推导出离心率 $$e = \frac{1}{2}$$，答案为 D。
6. 直线 $$y = kx + 1$$ 与椭圆 $$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$$ 恒有交点，需判别式非负。代入后要求： $$(4k^{2} + m)x^{2} + 8kx + 4 - 4m = 0$$ 对所有 $$k$$ 成立，需 $$m \geq 1$$ 且 $$m \neq 4$$（否则退化为直线）。因此 $$m \in [1,4) \cup (4,+\infty)$$，答案为 C。
7. 椭圆 $$C: \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$$ 的半焦距 $$c = \sqrt{36 - 20} = 4$$。若 $$\triangle MF_{1}F_{2}$$ 为等腰三角形且 $$M$$ 在第一象限，则 $$MF_{1} = F_{1}F_{2} = 8$$ 或 $$MF_{2} = F_{1}F_{2} = 8$$。计算得 $$M(3, \sqrt{15})$$，面积为 $$\frac{1}{2} \times 8 \times \sqrt{15} = 4\sqrt{15}$$，答案为 D。
8. 设 $$\triangle POF_{2}$$ 为等边三角形，则 $$|PO| = |PF_{2}| = c$$，且 $$|PF_{1}| = 2a - c$$。由余弦定理： $$(2a - c)^{2} = c^{2} + c^{2} - 2c^{2} \cos 120^{\circ} \Rightarrow 4a^{2} - 4ac + c^{2} = 3c^{2}$$ 解得 $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{3} - 1$$，答案为 A。
9. 设弦两端点为 $$(x_{1}, y_{1})$$ 和 $$(x_{2}, y_{2})$$，中点 $$(4,2)$$ 满足 $$\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = 4$$，$$\frac{y_{1} + y_{2}}{2} = 2$$。利用点差法： $$\frac{x_{1}^{2}}{36} + \frac{y_{1}^{2}}{9} = 1$$ $$\frac{x_{2}^{2}}{36} + \frac{y_{2}^{2}}{9} = 1$$ 相减得 $$\frac{(x_{1} - x_{2})(x_{1} + x_{2})}{36} + \frac{(y_{1} - y_{2})(y_{1} + y_{2})}{9} = 0$$ 代入中点坐标得斜率 $$k = -\frac{1}{2}$$，直线方程为 $$x + 2y = 8$$，答案为 D。
10. 椭圆关于 $$x$$ 轴、$$y$$ 轴和原点对称，因此若 $$(3,2)$$ 在椭圆上，则 $$(-3,2)$$、$$(3,-2)$$ 和 $$(-3,-2)$$ 也在椭圆上，答案为 C。