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正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}，$$若椭圆上存在点$${{P}}$$满足$$| P F_{1} |=2 | P F_{2} |，$$则该椭圆的离心率的取值范围是（）
D
A.$$\left( 0， \enspace\frac{1} {3} \right)$$
B.$$\left( \frac{1} {3}， \， 1 \right)$$
C.$$\left( 0， \enspace\frac{1} {3} \right]$$
D.$$\left[ \frac{1} {3}， \， 1 \right)$$
2、['椭圆的其他性质']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的左、右焦点$${，{P}}$$是椭圆$${{C}}$$在第一象限内的一点，若$$P F_{1} \perp P F_{2}，$$则$$\operatorname{t a n} \angle P F_{1} F_{2}=$$（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
3、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%已知椭圆的标准方程为$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1， ~ F_{1}， F_{2}$$为椭圆的左右焦点，$${{O}}$$为原点，$${{P}}$$是椭圆在第一象限的点，则$$\frac{| P F_{1} |-| P F_{2} |} {| P O |}$$的取值范围（）
C
A.$$\left( 0， \frac{1} {2} \right)$$
B.$$\left( 0， \frac{\sqrt{3}} {3} \right)$$
C.$$( 0， 1 )$$
D.$$\left( 0， \frac{2 \sqrt{3}} {3} \right)$$
4、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的其他性质']正确率60.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 a > b > 0$$的焦点分别为$$1. ~ F 2 F 1 F 2$$为边作正三角，若椭圆恰好平分正三形另两条，则椭的离心率（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\sqrt3-1$$
D.$${{4}{−}{2}{\sqrt {3}}}$$
5、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%已知椭圆$${{C}}$$的方程为$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )， \ F_{1}， \ F_{2}$$为其左$${、}$$右焦点，$${{e}}$$为离心率，$${{P}}$$为椭圆上一动点，则有如下说法：
$${①}$$当$$0 < e < \frac{\sqrt2} 2$$时，使$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为直角三角形的点$${{P}}$$有且只有$${{4}}$$个；
$${②}$$当$$e=\frac{\sqrt2} {2}$$时，使$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为直角三角形的点$${{P}}$$有且只有$${{6}}$$个；
$${③}$$当$$\frac{\sqrt{2}} {2} < e < 1$$时，使$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为直角三角形的点$${{P}}$$有且只有$${{8}}$$个；
以上说法中正确的个数是（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
6、['椭圆的标准方程'， '椭圆的其他性质'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%椭圆$$x^{2}+2 y^{2}=4$$的以$$( 1， \ 1 )$$为中点的弦所在直线的方程是（）
D
A.$$x-4 y+3=0$$
B.$$x+4 y-5=0$$
C.$$x-2 y+1=0$$
D.$$x+2 y-3=0$$
7、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的左$${、}$$右焦点，过$${{F}_{1}}$$的直线$${{l}}$$交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A F_{2} |+| B F_{2} |$$最大值为$${{1}{0}}$$，则椭圆的离心率为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}-1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
8、['椭圆的其他性质'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%若直线$$y=x+2$$与椭圆$$m x^{2}+y^{2}=1$$相切，则椭圆的离心率为（）
C
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{7}} {3}$$
9、['椭圆的对称性'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%若$${{A}{B}}$$过椭圆$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$中心的弦，$${{F}_{1}}$$为椭圆的焦点，则$${{△}{{F}_{1}}{A}{B}}$$面积的最大值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{6}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{4}{8}}$$
10、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的其他性质']正确率60.0%已知点$$P ( x_{1}， y_{1} )$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$上的一点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是其左$${、}$$右焦点，当$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$最大时，$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{1 6 \sqrt{3}} {3}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$$1 6 ( 2+\sqrt{3} )$$
D.$$1 6 ( 2-\sqrt{3} )$$
### 第一题解析我们需要找到椭圆离心率 $$e$$ 的范围，使得存在点 $$P$$ 满足 $$|PF_1| = 2|PF_2|$$。
根据椭圆定义，$$|PF_1| + |PF_2| = 2a$$。结合条件 $$|PF_1| = 2|PF_2|$$，可得：
$$2|PF_2| + |PF_2| = 2a \Rightarrow |PF_2| = \frac{2a}{3}, \quad |PF_1| = \frac{4a}{3}$$
由于 $$P$$ 在椭圆上，必须满足 $$|PF_1| - |PF_2| \leq 2c$$（三角形不等式）：
$$\frac{4a}{3} - \frac{2a}{3} \leq 2c \Rightarrow \frac{2a}{3} \leq 2c \Rightarrow \frac{a}{3} \leq c$$
又因为 $$c < a$$，所以 $$\frac{1}{3} \leq \frac{c}{a} < 1$$，即离心率 $$e \in \left[ \frac{1}{3}, 1 \right)$$。
正确答案是 D。
--- ### 第二题解析椭圆 $$C$$ 的方程为 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$，焦距 $$c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{5}$$。
设 $$P(x, y)$$ 在第一象限，满足 $$PF_1 \perp PF_2$$。向量法计算：
$$\vec{PF_1} = (x + \sqrt{5}, y), \quad \vec{PF_2} = (x - \sqrt{5}, y)$$
点积为零：
$$(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5}) + y^2 = 0 \Rightarrow x^2 - 5 + y^2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 5$$
结合椭圆方程：
$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \Rightarrow y^2 = 4\left(1 - \frac{x^2}{9}\right)$$
代入得：
$$x^2 + 4\left(1 - \frac{x^2}{9}\right) = 5 \Rightarrow x^2 + 4 - \frac{4x^2}{9} = 5 \Rightarrow \frac{5x^2}{9} = 1 \Rightarrow x = \frac{3\sqrt{5}}{5}$$
$$y^2 = 4\left(1 - \frac{5}{9}\right) = \frac{16}{9} \Rightarrow y = \frac{4}{3}$$
计算 $$\tan \angle PF_1F_2$$：
$$\tan \theta = \frac{|PF_2|}{|F_1F_2|} = \frac{\sqrt{(x - \sqrt{5})^2 + y^2}}{2\sqrt{5}}$$
代入 $$x$$ 和 $$y$$ 的值，化简得 $$\tan \theta = 2$$。
正确答案是 B。
--- ### 第三题解析椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$，焦距 $$c = \sqrt{a^2 - b^2} = 1$$。
设 $$P(x, y)$$ 在第一象限，则 $$|PF_1| - |PF_2| = 2a - 2|PF_2|$$，但更简单的方法是直接计算范围。
由于 $$P$$ 在第一象限，$$|PO| = \sqrt{x^2 + y^2}$$，而 $$|PF_1| - |PF_2| = 2a - 2|PF_2|$$ 的范围为 $$(0, 2c) = (0, 2)$$。
比值 $$\frac{|PF_1| - |PF_2|}{|PO|}$$ 的最大值出现在 $$P$$ 接近短轴端点时：
$$P(0, \sqrt{3}) \Rightarrow |PO| = \sqrt{3}, \quad \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$
但 $$P$$ 不能到达短轴端点，因此范围为 $$\left(0, \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$$。
正确答案是 D。
--- ### 第四题解析题目描述不完整，但根据选项推断，可能是椭圆平分正三角形的另两边。
设正三角形边长为 $$2c$$，椭圆焦距为 $$2c$$。椭圆平分另两边意味着椭圆与正三角形的边相切于中点。
通过几何关系可得离心率 $$e = \sqrt{3} - 1$$。
正确答案是 C。
--- ### 第五题解析对于椭圆上的直角三角形 $$PF_1F_2$$，分三种情况：
1. 当 $$0 < e < \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 时，存在 4 个直角三角形点（两个在短轴，两个在长轴）。
2. 当 $$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 时，存在 6 个点（两个在短轴，四个在长轴）。
3. 当 $$\frac{\sqrt{2}}{2} < e < 1$$ 时，存在 8 个点（四个在短轴，四个在长轴）。
因此，三个说法都正确。
正确答案是 D。
--- ### 第六题解析椭圆方程为 $$x^2 + 2y^2 = 4$$，设弦两端点为 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$，中点为 $$(1, 1)$$。
利用点差法：
$$x_1^2 + 2y_1^2 = 4$$
$$x_2^2 + 2y_2^2 = 4$$
相减得：
$$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) + 2(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 0$$
代入中点坐标：
$$(x_1 - x_2) \cdot 2 + 2(y_1 - y_2) \cdot 2 = 0 \Rightarrow \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = -\frac{1}{2}$$
因此直线斜率为 $$-\frac{1}{2}$$，方程为 $$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$$，即 $$x + 2y - 3 = 0$$。
正确答案是 D。
--- ### 第七题解析椭圆方程为 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦距 $$c = \sqrt{16 - b^2}$$。
$$|AF_2| + |BF_2| = 4a - (|AF_1| + |BF_1|) = 16 - |AB|$$，最大值 $$10$$ 对应 $$|AB|$$ 最小值为 $$6$$。
当 $$AB$$ 垂直于长轴时，$$|AB| = \frac{2b^2}{a} = \frac{2b^2}{4} = \frac{b^2}{2} = 6 \Rightarrow b^2 = 12$$。
因此 $$c = \sqrt{16 - 12} = 2$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$$。
正确答案是 A。
--- ### 第八题解析直线 $$y = x + 2$$ 与椭圆 $$mx^2 + y^2 = 1$$ 相切，联立方程：
$$mx^2 + (x + 2)^2 = 1 \Rightarrow (m + 1)x^2 + 4x + 3 = 0$$
判别式为零：
$$16 - 12(m + 1) = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{3}$$
椭圆离心率 $$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
正确答案是 C。
--- ### 第九题解析椭圆方程为 $$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$，焦距 $$c = \sqrt{25 - 16} = 3$$。
设 $$AB$$ 为过中心的弦，$$F_1 = (-3, 0)$$。面积最大时 $$AB$$ 垂直于长轴，长度为 $$2b = 8$$。
面积为 $$\frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12$$。
正确答案是 B。
--- ### 第十题解析椭圆方程为 $$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$，焦距 $$c = 3$$。
当 $$\angle F_1PF_2$$ 最大时，$$P$$ 在短轴端点，此时面积为 $$\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$$。
正确答案是 B。
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