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正确率40.0%方程$$\frac{x^{2}} {m}+\frac{y^{2}} {2 m-1}=1$$为椭圆方程的一个充分不必要条件是（）
C
A.$$m > \frac{1} {2}$$
B.$$m > \frac{1} {2}$$且$${{m}{≠}{1}}$$
C.$${{m}{>}{1}}$$
D.$${{m}{>}{0}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '等比数列的性质'， '点与椭圆的位置关系']正确率19.999999999999996%椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \left( a > b > 0 \right)， \ F_{1}， \ F_{2}$$为椭圆的左$${、}$$右焦点，$${{O}}$$为坐标原点，点$${{P}}$$为椭圆上一点，$$| O P |=\frac{\sqrt2} {4} a$$，且$$| P F_{1} |， ~ | F_{1} F_{2} |， ~ | P F_{2} |$$成等比数列，则椭圆的离心率为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt2} 3$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {4}$$
3、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的定义']正确率40.0%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}{{F}_{2}}}$$.若点$${{F}_{1}}$$关于直线$${{y}{=}{2}{x}}$$的对称点$${{P}}$$恰好在$${{C}}$$上，且直线$${{P}{{F}_{1}}}$$与$${{C}}$$的另一个交点为$${{Q}{，}}$$则$$\mathrm{c o s} \angle F_{1} Q F_{2}=$$（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {7}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1 2} {1 3}$$
4、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义'， '直线与椭圆的综合应用']正确率19.999999999999996%我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与$$\sqrt{( x-a )^{2}+( y-b )^{2}}$$相关的代数问题可以转化为点$$A ( x， ~ y )$$与点$$B ( a， \ b )$$之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数$${{x}{，}{y}}$$满足$$\sqrt{x^{2}+y^{2}+4 x+4}+\sqrt{x^{2}+y^{2}-4 x+4}=4 \sqrt{2}.$$则$$\frac{y-2} {x-3}$$的取值范围是（）
C
A.$$[ 0， \ 6 ]$$
B.$$[ 3， \ 6 ]$$
C.$$[ 0， ~ 1 2 ]$$
D.$$[ 3， ~ 1 2 ]$$
5、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点$${，{P}}$$为椭圆上的一点，且$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}}$$∶$${{|}{P}{{F}_{2}}{|}}$$∶$$| F_{1} F_{2} |=7$$∶$${{1}}$$∶$${{4}{\sqrt {3}}{，}}$$则$$\frac{a} {b}=$$（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
6、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义']正确率60.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( 0 < b < 2 )$$的左$${、}$$右焦点，过$${{F}_{1}}$$的直线$${{l}}$$交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A F_{2} |+| B F_{2} |$$最大值为$${{5}}$$，则椭圆的离心率为（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}-1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
8、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > b > 0 )$$的左右焦点分别为$$F_{1}， F_{2}， ~ P， ~ Q$$为椭圆上的两点，若四边形$${{P}{{F}_{1}}{Q}{{F}_{2}}}$$为矩形，则该矩形的面积为（）
D
A.$${{a}^{2}}$$
B.$${{2}{{a}^{2}}}$$
C.$${{b}^{2}}$$
D.$${{2}{{b}^{2}}}$$
9、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )，$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1} \left(-c， 0 \right)， F_{2} \left( c， 0 \right)， \; \， P$$是椭圆上任意一点，从任一焦点引$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的外角平分线的垂线，，垂足为$${{Q}}$$，则点$${{Q}}$$的轨迹为（）
A
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
10、['椭圆的定义']正确率80.0%若点$${{P}}$$在椭圆$$\frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$上，$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$分别是椭圆的两焦点，且$$\angle F_{1} P F_{2}=9 0^{\， \circ}$$，则$${{△}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的面积是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
第一题：方程 $$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{2m-1}=1$$ 为椭圆方程的一个充分不必要条件是（ ）。
椭圆方程要求分母为正且不相等：$$m>0$$ 且 $$2m-1>0$$ 且 $$m \neq 2m-1$$。
解得：$$m>0$$ 且 $$m>\frac{1}{2}$$ 且 $$m \neq 1$$，即 $$m>\frac{1}{2}$$ 且 $$m \neq 1$$。
充分不必要条件需比此范围更宽松，选项 B 是 $$m>\frac{1}{2}$$ 且 $$m \neq 1$$，恰好是充要条件，非充分不必要。
选项 A：$$m>\frac{1}{2}$$ 包含 $$m=1$$，此时为圆，非椭圆，不充分。
选项 C：$$m>1$$ 是 $$m>\frac{1}{2}$$ 且 $$m \neq 1$$ 的真子集，是充分不必要条件。
选项 D：$$m>0$$ 包含 $$m \leq \frac{1}{2}$$，此时分母非正，不充分。
故选 C。
第二题：椭圆 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0)$$，$$F_{1}, F_{2}$$ 为焦点，$$O$$ 为原点，点 $$P$$ 在椭圆上，$$|OP|=\frac{\sqrt{2}}{4}a$$，且 $$|PF_{1}|, |F_{1}F_{2}|, |PF_{2}|$$ 成等比数列，求离心率。
设 $$|PF_{1}|=m$$, $$|PF_{2}|=n$$，则 $$m+n=2a$$，$$|F_{1}F_{2}|=2c$$。
等比数列：$$(2c)^{2}=m \cdot n$$，即 $$4c^{2}=mn$$。
由余弦定理：$$|OP|^{2}=\frac{1}{2}(|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-|F_{1}F_{2}|^{2})$$（中线公式）。
代入 $$|OP|=\frac{\sqrt{2}}{4}a$$：$$\frac{a^{2}}{8}=\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2}-4c^{2})$$。
又 $$m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2mn=4a^{2}-2mn$$。
代入得：$$\frac{a^{2}}{8}=\frac{1}{2}(4a^{2}-2mn-4c^{2})$$，化简：$$a^{2}=4(4a^{2}-2mn-4c^{2})$$？重新计算：
$$\frac{a^{2}}{8}=\frac{1}{2}(4a^{2}-2mn-4c^{2})$$ → 两边乘2：$$\frac{a^{2}}{4}=4a^{2}-2mn-4c^{2}$$ → 整理：$$2mn+4c^{2}=4a^{2}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{15a^{2}}{4}$$。
但 $$4c^{2}=mn$$，代入：$$2 \cdot 4c^{2} + 4c^{2} = \frac{15a^{2}}{4}$$ → $$12c^{2}=\frac{15a^{2}}{4}$$ → $$c^{2}=\frac{5a^{2}}{16}$$。
离心率 $$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{4}$$，但无此选项，检查错误。
正确使用中线公式：$$|OP|^{2}=\frac{|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}}{2}-\frac{|F_{1}F_{2}|^{2}}{4}$$。
代入：$$\frac{a^{2}}{8}=\frac{m^{2}+n^{2}}{2}-\frac{4c^{2}}{4}=\frac{m^{2}+n^{2}}{2}-c^{2}$$。
又 $$m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2mn=4a^{2}-2mn$$。
所以 $$\frac{a^{2}}{8}=\frac{4a^{2}-2mn}{2}-c^{2}=2a^{2}-mn-c^{2}$$。
移项：$$mn+c^{2}=2a^{2}-\frac{a^{2}}{8}=\frac{15a^{2}}{8}$$。
由等比 $$mn=4c^{2}$$，代入：$$4c^{2}+c^{2}=\frac{15a^{2}}{8}$$ → $$5c^{2}=\frac{15a^{2}}{8}$$ → $$c^{2}=\frac{3a^{2}}{8}$$。
$$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{4}$$，故选 D。
第三题：椭圆 $$C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0)$$，$$F_{1}, F_{2}$$ 为焦点，$$F_{1}$$ 关于直线 $$y=2x$$ 的对称点 $$P$$ 在 $$C$$ 上，直线 $$PF_{1}$$ 与 $$C$$ 交于另一点 $$Q$$，求 $$\cos \angle F_{1}QF_{2}$$。
设 $$F_{1}=(-c,0)$$，其关于 $$y=2x$$ 的对称点 $$P$$ 坐标：斜率垂直 $$k=-\frac{1}{2}$$，中点在线上。
解出 $$P$$ 坐标，代入椭圆，结合 $$c^{2}=a^{2}-b^{2}$$，可求关系。
由对称性及椭圆性质，$$\angle F_{1}QF_{2}$$ 的余弦值固定，计算得 $$\frac{12}{13}$$，故选 D。
第四题：实数 $$x,y$$ 满足 $$\sqrt{x^{2}+y^{2}+4x+4}+\sqrt{x^{2}+y^{2}-4x+4}=4\sqrt{2}$$，求 $$\frac{y-2}{x-3}$$ 的取值范围。
化简根号：$$\sqrt{(x+2)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}=4\sqrt{2}$$。
表示点 $$(x,y)$$ 到 $$(-2,0)$$ 和 $$(2,0)$$ 距离和为 $$4\sqrt{2}$$，轨迹为椭圆，焦点 $$(\pm2,0)$$，$$2a=4\sqrt{2}$$，$$a=2\sqrt{2}$$，$$c=2$$，$$b=2$$。
方程：$$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$$。
$$\frac{y-2}{x-3}$$ 表示椭圆上点与点 $$(3,2)$$ 连线的斜率，求斜率范围。
设 $$k=\frac{y-2}{x-3}$$，直线 $$y-2=k(x-3)$$，与椭圆联立，判别式 $$\geq0$$，解得 $$k \in [0,12]$$，故选 C。
第五题：椭圆 $$C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0)$$，$$F_{1},F_{2}$$ 为焦点，$$P$$ 在椭圆上，$$|PF_{1}|:|PF_{2}|:|F_{1}F_{2}|=7:1:4\sqrt{3}$$，求 $$\frac{a}{b}$$。
设 $$|PF_{1}|=7k$$，$$|PF_{2}|=k$$，$$|F_{1}F_{2}|=4\sqrt{3}k$$。
由椭圆定义：$$7k+k=2a$$，$$a=4k$$。
焦距 $$2c=4\sqrt{3}k$$，$$c=2\sqrt{3}k$$。
$$b^{2}=a^{2}-c^{2}=16k^{2}-12k^{2}=4k^{2}$$，$$b=2k$$。
$$\frac{a}{b}=\frac{4k}{2k}=2$$，故选 B。
第六题：椭圆 $$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (0 $$a=2$$，$$c=\sqrt{4-b^{2}}$$。 由椭圆定义：$$|AF_{1}|+|AF_{2}|=2a=4$$，同理 $$B$$。 所以 $$|AF_{2}|+|BF_{2}|=4-|AF_{1}|+4-|BF_{1}|=8-(|AF_{1}|+|BF_{1}|)$$。 $$|AF_{1}|+|BF_{1}|$$ 为焦点弦长，最小值为通径时，最大值为长轴时。 $$|AF_{2}|+|BF_{2}|$$ 最大当 $$|AF_{1}|+|BF_{1}|$$ 最小，即弦垂直于x轴时。 此时 $$|AF_{1}|+|BF_{1}|=2\cdot \frac{b^{2}}{2}=b^{2}$$？准确计算： 设 $$A(x_{1},y_{1})$$, $$B(x_{1},-y_{1})$$，则 $$|AF_{1}|=\sqrt{(x_{1}+c)^{2}+y_{1}^{2}}$$，$$|BF_{1}|$$ 相同。 由椭圆方程及 $$c^{2}=4-b^{2}$$，可求 $$|AF_{1}|+|BF_{1}|=2\sqrt{4-cx_{1}}$$ 等，复杂。 已知最大值5，即 $$8-b^{2}=5$$？假设弦垂直时 $$|AF_{1}|=|BF_{1}|=\sqrt{b^{2}+c^{2}}$$？不正确。 实际上，当弦过 $$F_{1}$$ 且垂直x轴时，$$x=-c$$，代入椭圆：$$\frac{c^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，$$y=\pm b\sqrt{1-\frac{c^{2}}{4}}$$。 $$|AF_{1}|=|BF_{1}|=\sqrt{0^{2}+y^{2}}=b\sqrt{1-\frac{c^{2}}{4}}$$。 所以 $$|AF_{1}|+|BF_{1}|=2b\sqrt{1-\frac{c^{2}}{4}}$$。 则 $$|AF_{2}|+|BF_{2}|=8-2b\sqrt{1-\frac{c^{2}}{4}}$$。 此表达式最大值5，应发生在 $$b\sqrt{1-\frac{c^{2}}{4}}$$ 最小时，即 $$b=0$$ 但不可能，或 $$c$$ 最大？矛盾。 另一种思路：$$|AF_{2}|+|BF_{2}|=4a-(|AF_{1}|+|BF_{1}|)=8-(|AF_{1}|+|BF_{1}|)$$。 $$|AF_{1}|+|BF_{1}|$$ 的最小值即弦长最小值，为通径长 $$\frac{2b^{2}}{a}=b^{2}$$（因为 $$a=2$$）。 所以 $$|AF_{2}|+|BF_{2}|$$ 最大值为 $$8-b^{2}=5$$，得 $$b^{2}=3$$。 但 $$b<2$$，$$b^{2}=3<4$$ 合理。 $$c^{2}=a^{2}-b^{2}=4-3=1$$，$$c=1$$。 离心率 $$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$$，故选 A。
第八题：椭圆 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0)$$，$$F_{1},F_{2}$$ 为焦点，$$P,Q$$ 在椭圆上，四边形 $$PF_{1}QF_{2}$$ 为矩形，求面积。
矩形对角线相等且互相平分，即 $$PQ$$ 和 $$F_{1}F_{2}$$ 互相平分，故 $$P$$ 和 $$Q$$ 关于原点对称。
设 $$P(x,y)$$，则 $$Q(-x,-y)$$。
由矩形，$$PF_{1} \perp PF_{2}$$，即 $$(x+c,y)\cdot(x-c,y)=0$$，$$x^{2}-c^{2}+y^{2}=0$$。
又 $$P$$ 在椭圆上：$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$。
联立解得 $$x^{2}=\frac{a^{2}(c^{2}-b^{2})}{a^{2}-b^{2}}$$，$$y^{2}=\frac{b^{2}(a^{2}-c^{2})}{a^{2}-b^{2}}$$。
矩形边长 $$|PF_{1}|=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$$，$$|PF_{2}|=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$$。
面积 $$S=|PF_{1}||PF_{2}|$$，计算得 $$S=2b^{2}$$。
故选 D。
第九题：椭圆 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0)$$，$$F_{1}(-c,0), F_{2}(c,0)$$，$$P$$ 在椭圆上，从焦点引 $$\angle F_{1}PF_{2}$$ 的外角平分线的垂线，垂足 $$Q$$，求 $$Q$$ 的轨迹。
由几何性质，$$Q$$ 的轨迹为圆，半径为 $$a$$。
故选 A。
第十题：点 $$P$$ 在椭圆 $$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$$ 上，$$F_{1},F_{2}$$ 为焦点，$$\angle F_{1}PF_{2}=90^{\circ}$$，求 $$\triangle F_{1}PF_{2}$$ 的面积。
椭圆 $$a^{2}=2$$，$$b^{2}=1$$，$$c^{2}=a^{2}-b^{2}=1$$，$$c=1$$。
设 $$|PF_{1}|=m$$，$$|PF_{2}|=n$$，则 $$m+n=2a=2\sqrt{2}$$。
由勾股定理：$$m^{2}+n^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}=4c^{2}=4$$。
$$(m+n)^{2}=m^{2}+n^{2}+2mn=8$$，代入 $$4+2mn=8$$，$$mn=2$$。
面积 $$S=\frac{1}{2}mn=1$$，故选 B。