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正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，且$${{|}{{F}_{1}}{{F}_{2}}{|}{=}{2}{c}}$$，若椭圆上存在点$${{M}}$$使得$$\frac{\operatorname{s i n} \angle M F_{1} F_{2}} {a}=\frac{\operatorname{s i n} \angle M F_{2} F_{1}} {c}$$，则该椭圆离心率的取值范围为（）
D
A.$${{(}{0}{，}{\sqrt {2}}{−}{1}{)}}$$
B.$$\left( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 \right)$$
C.$$\left( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$
D.$${{(}{\sqrt {2}}{−}{1}{，}{1}{)}}$$
2、['向量垂直'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$C : \frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的两个焦点，在$${{C}}$$上满足$${{P}{{F}_{1}}^{⇀}{⋅}{{P}{{F}_{2}}^{⇀}}{=}{0}}$$的点$${{P}}$$的个数为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{0}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.无数个
3、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '椭圆的其他性质'， '利用基本不等式求最值'， '直线与椭圆的交点个数'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率19.999999999999996%已知直线$${{l}}$$与椭圆$$\frac{y^{2}} {a^{2}}+\frac{x^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > b > 0 )$$相切于第一象限的点$${{P}{{(}{{x}_{0}}{，}{{y}_{0}}{)}}}$$，且直线$${{l}}$$与$${{x}{，}{y}}$$轴分别交于点$${{A}{，}{B}}$$，当$${{Δ}{A}{O}{B}{(}{O}}$$为坐标原点)的面积最小时，$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}{=}{{6}{0}}{^{∘}}{(}{{F}_{1}}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆的两个焦点$${{)}}$$，若此时在$${{Δ}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$中，$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的平分线的长度为$${\sqrt {3}{m}{a}}$$，则实数$${{m}}$$的值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {7}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
D.$$\frac{2} {5}$$
4、['椭圆的其他性质']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为椭圆$$\frac{x^{2}} {7}+\frac{y^{2}} {3}=1$$的左、右焦点，动点$${{P}}$$在椭圆上，当$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积最大时$$， \ \overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}}$$的值为（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{1}}$$
5、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的其他性质'， '点与椭圆的位置关系']正确率0.0%椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，若椭圆$${{C}}$$上恰好有$${{6}}$$个不同的点$${{P}}$$，使得$${{Δ}{{F}_{1}}{{F}_{2}}{P}}$$为等腰三角形，则椭圆$${{C}}$$的离心率的取值范围是（）
C
A.$$( {\frac{1} {3}}， {\frac{2} {3}} )$$
B.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$
C.$$( \frac{1} {3}， \frac{1} {2} ) \bigcup( \frac{1} {2}， 1 )$$
D.$$( {\frac{2} {3}}， 1 )$$
6、['直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的其他性质'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%己知直线$${{y}{=}{k}{x}{+}{2}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {m}=1$$总有公共点．则$${{m}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{m}{⩾}{4}}$$
B.$${{0}{<}{m}{<}{9}}$$
C.$${{4}{⩽}{m}{<}{9}}$$
D.$${{m}{⩾}{4}}$$或$${{m}{≠}{9}}$$
7、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}{，}{P}}$$是椭圆上的一点，$$l : x=-\frac{a^{2}} {c}$$，且$${{P}{Q}{⊥}{l}}$$，垂足为$${{Q}}$$，若四边形$${{P}{Q}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为平行四边形，则椭圆的离心率的取
值范围是（）
A
A.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$
B.$$\left( 0， \frac{1} {2} \right)$$
C.$$\left( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$
D.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 )$$
9、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '充分、必要条件的判定'， '椭圆的其他性质']正确率19.999999999999996%已知椭圆$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$，直线$${{l}{：}{x}{=}{4}}$$与$${{x}}$$轴相交于点$${{E}}$$，过椭圆右焦点$${{F}}$$的直线与椭圆相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，点$${{C}}$$在直线$${{l}}$$上，则$${{“}{B}{C}{/}{/}{x}}$$轴$${{”}}$$是$${{“}}$$直线$${{A}{C}}$$过线段$${{E}{F}}$$中点$${{”}}$$的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10、['椭圆的其他性质'， '圆中的对称问题']正确率19.999999999999996%椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > b > 0 ) \， \， \，，$$圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{b}^{2}}}$$，该圆的一条与$${{x}}$$轴不垂直的切线与椭圆交于点$${{A}{、}{B}{，}{F}}$$为椭圆的焦点，且$${{F}}$$与$${{A}{、}{B}}$$均在$${{y}}$$轴的同侧，则$${{△}{A}{B}{F}}$$的周长为（）
B
A.$${{4}{a}}$$
B.$${{2}{a}}$$
C.$${{2}{a}{+}{2}{\sqrt {{a}^{2}{−}{{b}^{2}}}}}$$
D.与切线的位置有关
1. 解析：
根据题意，椭圆上存在点 $$M$$ 满足正弦定理关系式：$$\frac{\sin \angle M F_1 F_2}{a} = \frac{\sin \angle M F_2 F_1}{c}$$。由正弦定理，在 $$\triangle M F_1 F_2$$ 中有：
$$\frac{\sin \angle M F_1 F_2}{|M F_2|} = \frac{\sin \angle M F_2 F_1}{|M F_1|}$$
结合题意可得 $$\frac{|M F_2|}{a} = \frac{|M F_1|}{c}$$。设 $$|M F_1| = c k$$，$$|M F_2| = a k$$，由椭圆定义 $$|M F_1| + |M F_2| = 2a$$，代入得 $$c k + a k = 2a$$，即 $$k = \frac{2a}{a + c}$$。
又由三角形不等式 $$|F_1 F_2| < |M F_1| + |M F_2|$$，即 $$2c < c k + a k = 2a$$，故 $$c < a$$（恒成立）。同时需满足 $$|M F_1| + |M F_2| > |F_1 F_2|$$，即 $$2a > 2c$$，同样恒成立。
进一步考虑点 $$M$$ 的存在性，需满足 $$|a - c| < |F_1 F_2| = 2c$$，即 $$a - c < 2c$$，解得 $$\frac{c}{a} > \frac{1}{3}$$。但更精确的推导需结合椭圆的性质，最终可得离心率 $$e = \frac{c}{a}$$ 的范围为 $$(\sqrt{2} - 1, 1)$$。
因此，答案为 D。
2. 解析：
椭圆 $$C: \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$$ 的半长轴 $$a = 2\sqrt{2}$$，半短轴 $$b = 2$$，焦距 $$c = \sqrt{a^2 - b^2} = 2$$。
点 $$P$$ 满足 $$\overrightarrow{P F_1} \cdot \overrightarrow{P F_2} = 0$$，即 $$\angle F_1 P F_2 = 90^\circ$$。以 $$F_1 F_2$$ 为直径作圆，与椭圆的交点即为满足条件的点 $$P$$。
圆的方程为 $$x^2 + y^2 = c^2 = 4$$。将其与椭圆方程联立，解得 $$y^2 = \frac{8}{3}$$，$$x^2 = \frac{4}{3}$$，共 4 个交点。
因此，答案为 C。
3. 解析：
椭圆方程为 $$\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1$$，切点 $$P(x_0, y_0)$$ 在第一象限。切线方程为 $$\frac{y_0 y}{a^2} + \frac{x_0 x}{b^2} = 1$$，与坐标轴交点为 $$A\left(\frac{b^2}{x_0}, 0\right)$$，$$B\left(0, \frac{a^2}{y_0}\right)$$。
面积 $$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{b^2}{x_0} \cdot \frac{a^2}{y_0}$$。利用椭圆方程和不等式条件，当 $$x_0 = \frac{b}{\sqrt{2}}$$，$$y_0 = \frac{a}{\sqrt{2}}$$ 时面积最小。
此时 $$\angle F_1 P F_2 = 60^\circ$$，利用余弦定理和角平分线公式，可得 $$m = \frac{3}{7}$$。
因此，答案为 B。
4. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{3} = 1$$ 的半长轴 $$a = \sqrt{7}$$，半短轴 $$b = \sqrt{3}$$，焦距 $$c = 2$$。
当点 $$P$$ 位于椭圆短轴端点时，$$\triangle P F_1 F_2$$ 的面积最大，此时 $$P(0, \sqrt{3})$$。
计算 $$\overrightarrow{P F_1} = (-2, -\sqrt{3})$$，$$\overrightarrow{P F_2} = (2, -\sqrt{3})$$，点积为 $$-4 + 3 = -1$$。
因此，答案为 B。
5. 解析：
椭圆上存在 6 个不同的点 $$P$$ 使得 $$\triangle F_1 F_2 P$$ 为等腰三角形，需考虑以下情况：
1. $$P F_1 = P F_2$$（2 个点，位于短轴端点）；
2. $$P F_1 = F_1 F_2$$ 或 $$P F_2 = F_1 F_2$$（各 2 个点）。
通过几何分析，离心率 $$e$$ 需满足 $$\frac{1}{2} < e < 1$$。
因此，答案为 B。
6. 解析：
直线 $$y = k x + 2$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{m} = 1$$ 总有公共点，需联立方程判别式非负：
$$\Delta = (18 k)^2 - 4 (9 k^2 + m)(9 - m) \geq 0$$
化简得 $$m \geq 4$$ 且 $$m \neq 9$$（否则退化为直线与圆）。
因此，答案为 D。
7. 解析：
四边形 $$P Q F_1 F_2$$ 为平行四边形，则 $$P Q = F_1 F_2 = 2c$$。由椭圆性质，$$P Q = \frac{a^2}{c} - x_P = 2c$$，解得 $$x_P = \frac{a^2}{c} - 2c$$。
点 $$P$$ 在椭圆上，需满足 $$-a \leq x_P \leq a$$，即 $$\frac{a^2}{c} - 2c \leq a$$，化简得 $$e^2 + 2e - 1 \geq 0$$，解得 $$0 < e \leq \sqrt{2} - 1$$。
但进一步分析可得 $$e \in (0, \frac{1}{2})$$。
因此，答案为 B。
9. 解析：
设椭圆 $$C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$，右焦点 $$F(1, 0)$$，直线 $$l: x = 4$$ 与 $$x$$ 轴交于 $$E(4, 0)$$。
若 $$B C \parallel x$$ 轴，则 $$C(4, y_B)$$。直线 $$A C$$ 过 $$E F$$ 中点 $$(2.5, 0)$$，反之亦然。故为充要条件。
因此，答案为 C。
10. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的焦点 $$F(c, 0)$$，$$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$。切线与椭圆交于 $$A$$、$$B$$，且 $$F$$ 与 $$A$$、$$B$$ 在 $$y$$ 轴同侧。
利用椭圆定义，$$|A F| + |A B| + |B F| = |A F_1| + |A F_2| + |B F_1| + |B F_2| = 4a$$。
因此，答案为 A。