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正确率19.999999999999996%$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$\operatorname{t a n} A=\frac{1} {3}， \， \， \， B=\frac{\pi} {4}$$，若椭圆$${{M}}$$以$${{A}{B}}$$为长轴，且过点$${{C}}$$，则椭圆$${{M}}$$的离心率等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${\sqrt {3}{+}{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
D.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$
2、['余弦定理及其应用'， '椭圆的离心率'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左，右焦点，若在椭圆$${{C}}$$上或其内部存在一点$${{P}}$$使$${{Δ}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为等腰三角形，且$${{∠}{P}{{F}_{2}}{{F}_{1}}{=}{{1}{2}{0}^{∘}}{，}}$$记$${{e}}$$为椭圆$${{C}}$$的离心率，则$${{e}^{2}}$$的最大值为
D
A.$$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt3-\sqrt2} {2}$$
C.$$1-\frac{\sqrt{2}} {2}$$
D.$$1-\frac{\sqrt{3}} {2}$$
3、['椭圆的定义'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}{，}}$$点$${{A}{(}{−}{2}{，}{2}{)}}$$为椭圆$${{C}}$$内一点，点$${{Q}{(}{a}{，}{b}{)}}$$在双曲线$${{E}}$$：$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {4}=1$$上，若椭圆上存在一点$${{P}{，}}$$使得$${{|}{P}{A}{|}{+}{|}{P}{{F}_{2}}{|}{=}{8}{，}}$$则$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{(}{\sqrt {5}}{+}{1}{，}{5}{]}}$$
B.$${{[}{3}{，}{5}{]}}$$
C.$${{(}{\sqrt {5}}{+}{1}{，}{2}{\sqrt {5}}{]}}$$
D.$${{[}{\sqrt {3}}{，}{\sqrt {5}}{]}}$$
4、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%已知$${{A}{，}{B}}$$分别是椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$的右顶点和上顶点$${，{P}}$$为椭圆$${{C}}$$上一点，若$${{△}{P}{A}{B}}$$的面积是$${\sqrt {2}{−}{1}{，}}$$则满足条件的点$${{P}}$$的个数为（）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['简单曲线的参数方程'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围'， '点与椭圆的位置关系'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知点$${{M}}$$在椭圆$$\frac{x^{2}} {1 8}+\frac{y^{2}} {9}=1$$上运动，点$${{N}}$$在圆$${{x}^{2}{+}{(}{y}{−}{1}{{)}^{2}}{=}{1}}$$上运动，则$${{|}{M}{N}{|}}$$的最大值为（）
B
A.$${{1}{+}{\sqrt {{1}{9}}}}$$
B.$${{1}{+}{2}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{5}}$$
D.$$\frac{1 1} {2}$$
6、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '点与椭圆的位置关系'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%已知椭圆$$C_{!} \， \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > b > 0 )$$的左焦点为$${{F}_{1}}$$，离心率为$$\frac{1} {2}， ~ P$$是椭圆$${{C}}$$上的动点，若点$${{Q}{（}{1}{，}{1}{）}}$$在椭圆$${{C}}$$内部，且$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{+}{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为$${{3}}$$，则椭圆$${{C}}$$的标准方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {4} \!+\! \frac{y^{2}} {3}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {6}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {9}=1$$
7、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '点与椭圆的位置关系']正确率60.0%点$${{P}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {5}+\frac{y^{2}} {4}=1$$上一点，以点$${{P}}$$以及焦点$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$为顶点的三角形的面积为$${{1}}$$，则$${{P}}$$点的坐标为$${{(}{)}}$$
D
A.$$( \pm\frac{\sqrt{1 5}} {2}， 1 )$$
B.$$( {\frac{\sqrt{1 5}} {2}}， \pm1 )$$
C.$$( {\frac{\sqrt{1 5}} {2}}， 1 )$$
D.$$( \pm{\frac{\sqrt{1 5}} {2}}， \pm1 )$$
8、['椭圆的对称性'， '椭圆的其他性质'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$上总有不同的两点关于$${{y}{=}{4}{x}{+}{m}}$$对称，则$${{m}}$$取值范围是（）
A
A.$$(-\frac{2 \sqrt{1 3}} {1 3}， \frac{2 \sqrt{1 3}} {1 3} )$$
B.$$(-\frac{2 \sqrt{1 3}} {1 5}， \frac{2 \sqrt{1 3}} {1 5} )$$
C.$$(-\frac{2 \sqrt{1 5}} {1 3}， \frac{2 \sqrt{1 5}} {1 3} )$$
D.$$(-\frac{2 \sqrt{3}} {3}， \frac{2 \sqrt{3}} {3} )$$
9、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '抛物线的标准方程'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%已知椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{c}{x}{（}{{c}^{2}}{=}{{a}^{2}}{−}{{b}^{2}}{，}{c}{>}{0}{）}}$$与椭圆$${{C}}$$在第一象限的交点为$${{P}}$$，若$$\operatorname{c o s} \angle P F_{1} F_{2}=\frac{4} {5}，$$则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$$\frac{{\sqrt5}-1} {2}$$
B.$$\frac{3-\sqrt{2}} {2}$$或$$\frac{3+\sqrt{2}} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$
D.$$\frac{4-\sqrt{7}} {9}$$或$$\frac{4+\sqrt{7}} {9}$$
10、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围'， '椭圆的其他性质'， '点与椭圆的位置关系']正确率60.0%若所有满足$${{a}{|}{x}{|}{+}{b}{|}{y}{|}{=}{1}{(}{a}{>}{0}{，}{b}{>}{0}{)}}$$的实数$${{x}{，}{y}}$$均满足$${\sqrt {{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{+}{2}{y}{+}{1}}{+}{\sqrt {{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{y}{+}{1}}}{⩽}{2}{\sqrt {2}}}$$，则$${{a}{+}{\sqrt {2}}{b}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{[}{1}{，}{2}{]}}$$
C.$${{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{0}{，}{2}{]}}$$
1. 在三角形$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，已知$$\operatorname{t a n} A=\frac{1} {3}$$，$$B=\frac{\pi} {4}$$。设$$AB$$为长轴，椭圆过点$$C$$。首先利用正切和角度关系求出$$C$$点坐标，再根据椭圆定义求出离心率。
解析步骤：
（1）由$$\tan A = \frac{1}{3}$$，得$$\sin A = \frac{1}{\sqrt{10}}$$，$$\cos A = \frac{3}{\sqrt{10}}$$。
（2）利用正弦定理求边长关系：$$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$。
（3）由角度关系$$C = \pi - A - B = \pi - A - \frac{\pi}{4}$$，计算$$\sin C$$。
（4）设椭圆长轴$$2a = AB$$，根据椭圆定义$$CA + CB = 2a$$，结合几何关系求出离心率$$e = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
答案：$$C$$。
2. 椭圆$$C$$的焦点为$$F_1$$和$$F_2$$，内部存在点$$P$$使得$${{Δ}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为等腰三角形且$$∠P F_2 F_1 = 120°$$。利用椭圆定义和余弦定理求$$e^2$$的最大值。
解析步骤：
（1）设$$PF_2 = F_1 F_2 = 2c$$，利用余弦定理求$$PF_1$$。
（2）根据椭圆定义$$PF_1 + PF_2 = 2a$$，代入得$$2a = 2c + 2c\sqrt{3}$$。
（3）离心率$$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{1 + \sqrt{3}}$$，平方后化简得$$e^2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案：$$D$$。
3. 椭圆$$C$$内点$$A(-2,2)$$，双曲线上点$$Q(a,b)$$，且存在点$$P$$满足$$|PA| + |PF_2| = 8$$。利用椭圆定义和双曲线性质求$$a$$的范围。
解析步骤：
（1）由双曲线$$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$$，得$$Q(a,b)$$满足$$a^2 - b^2 = 4$$。
（2）椭圆定义$$|PF_1| + |PF_2| = 2a$$，结合$$|PA| + |PF_2| = 8$$，得$$|PA| - |PF_1| \leq 2a$$。
（3）利用点$$A$$在椭圆内，得$$a$$的范围为$$(\sqrt{5} + 1, 5]$$。
答案：$$A$$。
4. 椭圆$$C$$的右顶点$$A(2,0)$$和上顶点$$B(0,1)$$，点$$P$$在椭圆上且$${{△}{P}{A}{B}}$$面积为$$\sqrt{2} - 1$$。利用参数方程和距离公式求$$P$$的个数。
解析步骤：
（1）椭圆参数方程$$P(2\cosθ, \sinθ)$$。
（2）计算$$AB$$长度和$$P$$到$$AB$$的距离。
（3）由面积公式得$$\sinθ + \cosθ = \sqrt{2} - 1$$，解得$$θ$$有2个解。
答案：$$B$$。
5. 椭圆$$\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1$$上点$$M$$，圆$$x^2 + (y-1)^2 = 1$$上点$$N$$，求$$|MN|$$的最大值。
解析步骤：
（1）圆心$$(0,1)$$，半径$$1$$。
（2）椭圆参数方程$$M(3\sqrt{2}\cosθ, 3\sinθ)$$。
（3）计算$$|MN|$$的最大值为圆心到椭圆最远点距离加半径，即$$1 + \sqrt{19}$$。
答案：$$A$$。
6. 椭圆$$C$$的左焦点$$F_1$$，离心率$$\frac{1}{2}$$，点$$Q(1,1)$$在椭圆内，且$$|PF_1| + |PQ|$$最小值为$$3$$。利用椭圆定义和几何性质求标准方程。
解析步骤：
（1）由离心率得$$c = \frac{a}{2}$$，$$b = \frac{\sqrt{3}a}{2}$$。
（2）$$|PF_1| + |PQ|$$最小值为$$2a - |QF_1| = 3$$，解得$$a = 2$$。
（3）椭圆方程为$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$。
答案：$$A$$。
7. 椭圆$$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$$上点$$P$$，与焦点$$F_1$$、$$F_2$$构成的三角形面积为$$1$$。利用焦点坐标和面积公式求$$P$$的坐标。
解析步骤：
（1）焦点$$F_1(-1,0)$$，$$F_2(1,0)$$。
（2）设$$P(x,y)$$，由面积公式得$$|y| = 1$$。
（3）代入椭圆方程得$$x = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}$$。
答案：$$D$$。
8. 椭圆$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$上存在两点关于直线$$y = 4x + m$$对称。利用弦中点条件和判别式求$$m$$的范围。
解析步骤：
（1）设对称两点为$$(x_1,y_1)$$和$$(x_2,y_2)$$，中点在直线上。
（2）利用椭圆性质和中点弦条件，得$$m$$的范围为$$(-\frac{2\sqrt{13}}{13}, \frac{2\sqrt{13}}{13})$$。
答案：$$A$$。
9. 椭圆$$C$$与抛物线$$y^2 = 4cx$$在第一象限交于点$$P$$，且$$\cos \angle P F_1 F_2 = \frac{4}{5}$$。利用几何关系和离心率定义求椭圆离心率。
解析步骤：
（1）设$$P$$在抛物线上，得$$P$$坐标$$(c, 2c)$$。
（2）利用余弦定理和椭圆定义，得离心率$$e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$$。
答案：$$A$$。
10. 条件$$a|x| + b|y| = 1$$满足$$\sqrt{x^2 + y^2 + 2y + 1} + \sqrt{x^2 + y^2 - 2y + 1} \leq 2\sqrt{2}$$。利用几何意义和不等式求$$a + \sqrt{2}b$$的范围。
解析步骤：
（1）不等式表示点$$(x,y)$$到$$(0,-1)$$和$$(0,1)$$的距离和不超过$$2\sqrt{2}$$。
（2）结合$$a|x| + b|y| = 1$$，得$$a + \sqrt{2}b \geq 1$$。
（3）进一步分析得$$a + \sqrt{2}b \in [1, 2]$$。
答案：$$B$$。