椭圆的定义-3.1 椭圆知识点课后进阶自测题答案-新疆维吾尔自治区等高一数学选择必修,平均正确率52.0%

1、['椭圆的定义'， '三角形的面积（公式）']

正确率40.0%已知点$${{P}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {4}=1$$上一点，椭圆的左、右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}{，}}$$且$$\operatorname{c o s} \angle F_{1} P F_{2}=\frac{1} {3}，$$则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为（）

A.$${{6}}$$

B.$${{1}{2}}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

2、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义'， '判断三角形的形状']

正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的两个焦点，$${{M}}$$是椭圆上一点，$${{|}{M}{{F}_{1}}{|}{−}{|}{M}{{F}_{2}}{|}{=}{1}}$$，则$${{△}{M}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$是（）

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形

3、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '向量垂直'， '双曲线的定义']

正确率40.0%设 $${{e}}$$$${_{1}}$$， $${{e}}$$$${_{2}}$$分别为具有公共焦点 $${{F}}$$$${_{1}}$$与 $${{F}}$$$${_{2}}$$的椭圆和双曲线的离心率， $${{P}}$$为两曲线的一个公共点，且满足$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}}=0，$$，则$$\frac{e_{\: 1}^{2}+e_{\: 2}^{2}} {( e_{1} \cdot e_{2} )^{2}}$$的值为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

4、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义']

正确率40.0%过椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > b > 0 )$$的左焦点$${{F}{(}{−}{c}{，}{0}{)}{(}{c}{>}{0}{)}}$$的直线与$${{C}}$$的一个交点为$${{P}{，}}$$与圆$${{O}}$$：$$x^{2}+y^{2}=\frac{1} {4} c^{2}$$相切于点$${{M}{，}}$$若$$\overrightarrow{F M}=\overrightarrow{M P}，$$则$${{C}}$$的离心率为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${\sqrt {3}{−}{1}}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$1-\frac{\sqrt{3}} {2}$$

5、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义']

正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，过$${{F}_{2}}$$的直线与椭圆交于$${{A}}$$、$${{B}}$$两点，若$${{△}{{F}_{1}}{A}{B}}$$是以$${{A}}$$为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）

A.$${\sqrt {3}{−}{1}}$$

B.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$

C.$${\sqrt {5}{−}{2}}$$

D.$${\sqrt {6}{−}{\sqrt {3}}}$$

6、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']

正确率60.0%设$${{M}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {4}=1$$上的任意一点，若$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆的两个焦点，则$${{|}{M}{{F}_{1}}{|}{+}{|}{M}{{F}_{2}}{|}}$$等于$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{6}}$$

7、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']

正确率60.0%已知平面内动点$${{C}}$$，点$${{A}{(}{−}{1}{，}{0}{)}{，}{B}{(}{1}{，}{0}{)}}$$，满足$${{|}{{A}{C}}{|}{+}{{|}{{B}{C}}{|}}{=}{4}{，}}$$则$${{C}}$$的轨迹方程为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{x^{2}} {5} \!+\! \frac{y^{2}} {4} \!=\! 1$$

B.$$\frac{y^{2}} {4}+\frac{x^{2}} {3} \!=\! 1$$

C.$$\frac{x^{2}} {4} \!+\! \frac{y^{2}} {5} \!=\! 1$$

D.$$\frac{x^{2}} {4} \!+\! \frac{y^{2}} {3} \!=\! 1$$

8、['双曲线的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '点与椭圆的位置关系'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$C_{1} : \frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$和双曲线$$C_{2} : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的公共焦点，且$${{A}{，}{B}}$$两点为$${{C}_{1}{，}{{C}_{2}}}$$在第二$${、}$$四象限的公共点，若四边形$${{A}{{F}_{1}}{B}{{F}_{2}}}$$为矩形，则$${{C}_{2}}$$的离心率为（）

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$${\sqrt {3}{+}{1}}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$

9、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']

正确率60.0%椭圆的焦距为$${{8}}$$，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为$${{1}{0}}$$，则该椭圆的标准方程是（）

A.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {9}=1$$

B.$$\frac{y^{2}} {2 5}+\frac{x^{2}} {9}=1$$或$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {9}=1$$

C.$$\frac{y^{2}} {2 5}+\frac{x^{2}} {9}=1$$

D.$$\frac{y^{2}} {2 5}+\frac{x^{2}} {9}=1$$或$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {9}=1$$

10、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '圆的定义与标准方程'， '椭圆的定义'， '圆与圆的位置关系及其判定']

正确率60.0%若过已知圆内一个定点作圆$${{C}}$$与已知圆相切，则圆心$${{C}}$$的轨迹是（）

A.圆

B.圆或椭圆

C.椭圆

D.线段

1. 解析：

椭圆方程为$$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$$，半长轴$$a=3$$，半短轴$$b=2$$，焦距$$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{5}$$。设$$\left|PF_{1}\right|=d_{1}$$，$$\left|PF_{2}\right|=d_{2}$$，由椭圆性质有$$d_{1}+d_{2}=2a=6$$。根据余弦定理：

$$\cos \angle F_{1}PF_{2}=\frac{d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-\left(2c\right)^{2}}{2d_{1}d_{2}}=\frac{1}{3}$$

代入$$d_{1}+d_{2}=6$$和$$c=\sqrt{5}$$，解得$$d_{1}d_{2}=9$$。面积公式为：

$$S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin \angle F_{1}PF_{2}=\frac{1}{2}\times 9\times \frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}$$

答案为$$D$$。

2. 解析：

椭圆方程为$$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1$$，半长轴$$a=2$$，半短轴$$b=\sqrt{3}$$，焦距$$c=1$$。由题意$$\left|MF_{1}\right|-\left|MF_{2}\right|=1$$，结合椭圆性质$$\left|MF_{1}\right|+\left|MF_{2}\right|=4$$，解得$$\left|MF_{1}\right|=2.5$$，$$\left|MF_{2}\right|=1.5$$。验证三角形边长：

$$2.5^{2}+1.5^{2}=8.5 \neq 4$$，故为钝角三角形，答案为$$B$$。

3. 解析：

设椭圆和双曲线的公共焦点为$$F_{1}$$和$$F_{2}$$，半长轴分别为$$a_{1}$$和$$a_{2}$$，离心率$$e_{1}=\frac{c}{a_{1}}$$，$$e_{2}=\frac{c}{a_{2}}$$。由$$\overrightarrow{PF_{1}}\cdot \overrightarrow{PF_{2}}=0$$，得$$\left|PF_{1}\right|^{2}+\left|PF_{2}\right|^{2}=4c^{2}$$。结合椭圆和双曲线性质：

$$\left|PF_{1}\right|+\left|PF_{2}\right|=2a_{1}$$，$$\left|\left|PF_{1}\right|-\left|PF_{2}\right|\right|=2a_{2}$$，解得$$\left|PF_{1}\right|^{2}+\left|PF_{2}\right|^{2}=2(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})$$。代入得$$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=2c^{2}$$，即$$\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}=2$$。所求表达式化简为$$2$$，答案为$$C$$。

4. 解析：

设直线斜率为$$k$$，由$$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{MP}$$，得$$M$$为$$FP$$的中点。圆$$O$$半径为$$\frac{c}{2}$$，切线条件得$$\left|OM\right|=\frac{c}{2}$$。设$$P(x,y)$$，由中点公式$$M\left(\frac{x-c}{2},\frac{y}{2}\right)$$，代入圆的方程得$$\left(\frac{x-c}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}=\frac{c^{2}}{4}$$。结合椭圆方程和离心率定义，解得$$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，答案为$$C$$。

5. 解析：

设椭圆焦距为$$2c$$，半长轴为$$a$$。由等腰直角三角形条件，设$$\left|F_{1}A\right|=\left|AB\right|=l$$，则$$\left|F_{1}B\right|=l\sqrt{2}$$。根据椭圆性质：

$$\left|F_{1}A\right|+\left|F_{2}A\right|=2a$$，$$\left|F_{1}B\right|+\left|F_{2}B\right|=2a$$，结合几何关系解得$$l=2a-2c$$。代入勾股定理得$$(2a-2c)^{2}+(4a-4c)^{2}=(2c)^{2}$$，化简得$$e=\sqrt{5}-2$$，答案为$$C$$。

6. 解析：

椭圆$$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$$的半长轴$$a=3$$，由椭圆定义$$\left|MF_{1}\right|+\left|MF_{2}\right|=2a=6$$，答案为$$D$$。

7. 解析：

由题意$$\left|AC\right|+\left|BC\right|=4$$，且$$A(-1,0)$$，$$B(1,0)$$，$$AB=2$$，故点$$C$$的轨迹是以$$A$$、$$B$$为焦点的椭圆，半长轴$$a=2$$，半短轴$$b=\sqrt{3}$$，方程为$$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$$，答案为$$D$$。

8. 解析：

椭圆$$C_{1}$$的焦距$$2c=2\sqrt{3}$$，双曲线$$C_{2}$$的焦距相同。由矩形条件得$$\left|AF_{1}\right|=\left|BF_{2}\right|$$，结合椭圆和双曲线性质解得双曲线的离心率$$e=\frac{\sqrt{6}}{2}$$，答案为$$D$$。

9. 解析：

焦距$$2c=8$$，$$c=4$$；椭圆上点到两焦点距离之和$$2a=10$$，$$a=5$$。半短轴$$b=3$$，标准方程为$$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$$或$$\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{9}=1$$，答案为$$B$$。

10. 解析：

若定点在圆心，轨迹为圆；否则为椭圆，答案为$$B$$。

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