椭圆的其他性质-3.1 椭圆知识点月考进阶单选题自测题解析-云南省等高一数学选择必修,平均正确率48.0%

1、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '三角形的面积（公式）'， '椭圆的其他性质']

正确率40.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {4}=1$$上的一点$${{A}}$$关于原点的对称点为$$B， \， \， \Delta A B C$$为它的右焦点，若$${{A}{B}{=}{2}}$$，则$$\operatorname{c o s} B=\frac{1} {3}$$的面积是（）

A.$${{4}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

2、['椭圆的其他性质']

正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+y^{2}=1 ( a > 1 )$$的两个焦点$${，{P}}$$为椭圆$${{C}}$$上一点，若$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的周长为$${{4}{，}}$$则$${{a}{=}}$$（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{5} {4}$$

3、['椭圆的定义'， '椭圆的其他性质']

正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {m}=1$$的左、右焦点，若该椭圆上存在点$${{P}}$$满足$$\angle F_{1} P F_{2}=6 0^{\circ}，$$则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$( 0， ~ 9 ]$$

B.$$( 0， \ 6 ]$$

C.$$( 0， \ 3 ]$$

D.$$[ 3， \ 6 ]$$

4、['椭圆的离心率'， '椭圆的其他性质']

正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}，$$若椭圆上存在点$${{P}}$$满足$$| P F_{1} |=2 | P F_{2} |，$$则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A.$$\left( 0， \enspace\frac{1} {3} \right)$$

B.$$\left( \frac{1} {3}， \， 1 \right)$$

C.$$\left( 0， \enspace\frac{1} {3} \right]$$

D.$$\left[ \frac{1} {3}， \， 1 \right)$$

5、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的其他性质']

正确率60.0%古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆$${{C}}$$的中心为原点，焦点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$均在$${{x}}$$轴上，椭圆$${{C}}$$的面积为$${{2}{\sqrt {3}}{π}{，}}$$且短轴长为$${{2}{\sqrt {3}}{，}}$$则椭圆$${{C}}$$的标准方程为（）

A.$$\frac{x^{2}} {1 2}+y^{2}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$

C.$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {4}=1$$

D.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {3}=1$$

6、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的其他性质']

正确率60.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {2}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，两条准线与$${{x}}$$轴的交点分别为$${{M}{、}{N}}$$，若$$| M N | \leqslant2 \left| F_{1} F_{2} \right|，$$则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {2}+\frac{y^{2}} {3}=1$$

C.$$\frac{x^{2}} {2}+\frac{y^{2}} {\sqrt{2}}=1$$

D.$$\frac{x^{2}} {2}+\frac{y^{2}} {\sqrt{3}}=1$$

7、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的其他性质'， '双曲线的其他性质']

正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆和双曲线的公共焦点，过右焦点$${{F}_{2}}$$作以双曲线实轴为直径的圆的一条切线，切点为$${{P}}$$，若$${{P}}$$在椭圆上，且双曲线离心率为$${{3}}$$，则椭圆的离心率为（）

A.$$3 ( \sqrt3-\sqrt2 )$$

B.$$3 ( \sqrt{5}-\sqrt{3} )$$

C.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$

D.$$\sqrt{5}-\sqrt{3}$$

8、['点到直线的距离'， '椭圆的其他性质'， '直线与椭圆的交点个数']

正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {6}+\frac{y^{2}} {2}=1$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，直线$$l \colon~ y=k x+m$$与椭圆相切，记$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$到直线$${{l}}$$的距离分别为$${{d}_{1}{，}{{d}_{2}}}$$，则$${{d}_{1}{{d}_{2}}}$$的值是（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

9、['椭圆的定义'， '椭圆的其他性质']

正确率60.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆的两个焦点，点$${{P}}$$在椭圆上，且$$| F_{1} F_{2} |=8， ~ ~ | P F_{1} |+| P F_{2} |=1 0，$$则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$面积的最大值为

A.$${{6}}$$

B.$${{1}{2}}$$

C.$${{1}{5}}$$

D.$${{2}{0}}$$

10、['圆的定义与标准方程'， '椭圆的对称性'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的其他性质']

正确率40.0%已知椭圆$$C : ~ \frac{x^{2}} {m}+y^{2}=1 ( m > 1 )$$的左，右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，左，右顶点为$${{M}{，}{N}}$$，以线段$${{F}_{1}{{F}_{2}}}$$为直径的圆与椭圆$${{C}}$$有$${{4}}$$个公共点$$P_{i} ( i=1， 2， 3， 4 )$$，则$$\frac{\sum_{i=1}^{4} ( k_{p_{i} M} \cdot k_{P_{i} N} )} {m}$$的取值范围是（）

A.$$(-\frac{4} {2 5}， 0 )$$

B.$$(-1， 0 )$$

C.$$( 0， \frac{4} {2 5} )$$

D.$$( 0， 1 )$$

以下是每道题目的详细解析：

1. 椭圆方程为$$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$$，右焦点为$$(2\sqrt{3},0)$$。设点$$A$$的坐标为$$(x,y)$$，则$$B$$的坐标为$$(-x,-y)$$。由$$AB=2$$可得$$\sqrt{(2x)^2+(2y)^2}=2$$，即$$x^2+y^2=1$$。代入椭圆方程解得$$x^2=\frac{4}{3}$$，$$y^2=\frac{-1}{3}$$（舍去）或$$x^2=\frac{12}{5}$$，$$y^2=\frac{1}{5}$$。利用余弦定理和向量点积可得$$\cos B=\frac{1}{3}$$，进一步计算面积为$$2$$。答案为$$B$$。

2. 椭圆$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1$$的焦距为$$2\sqrt{a^2-1}$$，周长为$$2a+2\sqrt{a^2-1}=4$$。解得$$a=2$$。答案为$$A$$。

3. 椭圆$$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{m}=1$$上存在点$$P$$满足$$\angle F_1PF_2=60^\circ$$，需满足$$b \leq c$$，即$$m \leq 9$$。答案为$$A$$。

4. 椭圆上点$$P$$满足$$|PF_1|=2|PF_2|$$，由椭圆定义得$$|PF_1|+|PF_2|=2a$$，解得$$|PF_2|=\frac{2a}{3}$$。根据椭圆性质，$$a-c \leq \frac{2a}{3} \leq a+c$$，解得$$\frac{1}{3} \leq e < 1$$。答案为$$D$$。

5. 椭圆面积为$$2\sqrt{3}\pi$$，短轴长为$$2\sqrt{3}$$，即$$b=\sqrt{3}$$。由面积公式$$\pi ab=2\sqrt{3}\pi$$得$$a=2$$。标准方程为$$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$$。答案为$$B$$。

6. 椭圆$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$的准线为$$x=\pm \frac{a^2}{c}$$，焦距为$$2c$$。由条件$$|MN| \leq 2|F_1F_2|$$得$$\frac{2a^2}{c} \leq 4c$$，即$$c \geq a$$，矛盾。重新推导得$$b=1$$时离心率最小，方程为$$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$$。答案为$$A$$。

7. 设双曲线实轴为$$2a$$，椭圆焦距为$$2c$$。由双曲线离心率$$e=3$$得$$c=3a$$。切线条件结合椭圆性质解得椭圆离心率为$$\sqrt{5}-\sqrt{3}$$。答案为$$D$$。

8. 椭圆$$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$$的切线条件为$$m^2=6k^2+2$$。焦点到切线的距离乘积为$$d_1d_2=\frac{|m^2-4k^2|}{k^2+1}=2$$。答案为$$B$$。

9. 椭圆焦距$$|F_1F_2|=8$$，即$$c=4$$。由$$|PF_1|+|PF_2|=10$$得$$2a=10$$，即$$a=5$$。最大面积为$$b \times c=3 \times 4=12$$。答案为$$B$$。

10. 椭圆$$\frac{x^{2}}{m}+y^{2}=1$$与圆$$x^2+y^2=m-1$$有4个交点。计算斜率乘积得$$\frac{\sum (k_{P_iM} \cdot k_{P_iN})}{m}=-\frac{4(m-1)}{m^2}$$，范围为$$(-1,0)$$。答案为$$B$$。

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