点与椭圆的位置关系-3.1 椭圆知识点课后进阶单选题自测题解析-安徽省等高一数学选择必修,平均正确率46.0%

1、['椭圆的标准方程'， '点与椭圆的位置关系']

正确率60.0%直线$${{x}{=}{m}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( b > 0 )$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点$$. \， \triangle O A B ( O$$为原点)是面积为$${{3}}$$的等腰直角三角形，则$${{b}}$$等于（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

2、['椭圆的其他性质'， '点与椭圆的位置关系']

正确率40.0%已知点$$P ( 0， 1 )，$$椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=m ( m > 1 )$$上两点$${{A}{，}{B}}$$满足$$\overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{P B}，$$则当点$${{B}}$$横坐标的绝对值最大时，$${{m}{=}}$$（）

A.$${{5}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{2}}$$

3、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '点与椭圆的位置关系']

正确率60.0%$${{M}}$$是椭圆上一动点，$${{F}_{1}}$$和$${{F}_{2}}$$是左右焦点，由$${{F}_{2}}$$向$${{∠}{{F}_{1}}{M}{{F}_{2}}}$$的外角平分线作垂线，垂足为$${{N}}$$，则$${{N}}$$点的轨迹为$${{(}{)}}$$

A.直线

B.圆

C.双曲线

D.抛物线

4、['两点间的斜率公式'， '平面上中点坐标公式'， '直线与椭圆的综合应用'， '点与椭圆的位置关系']

正确率40.0%椭圆$$m x^{2}+n y^{2}=1$$与直线$$x+y-1=0$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，过$${{A}{B}}$$中点$${{M}}$$与坐标原点的直线的斜率为$$\frac{\sqrt{2}} {2}，$$则$$\frac{m} {n}$$的值为（）

A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{2}}$$

5、['椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '点与椭圆的位置关系']

正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {9}=1$$的两个焦点，过点$${{F}_{2}}$$的直线交椭圆于点$${{A}{，}{B}}$$，若$$| A B |=6$$，则$$| A F_{1} |+| B F_{1} |=( \textit{} )$$

A.$${{9}}$$

B.$${{1}{0}}$$

C.$${{1}{1}}$$

D.$${{1}{2}}$$

6、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '点与椭圆的位置关系'， '直线的斜率']

正确率40.0%点$${{F}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的右焦点，若椭圆上存在点$${{A}}$$使得$${{△}{A}{O}{F}}$$为正三角形，那么椭圆的离心率为（）

A.$$\sqrt3-1$$

B.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$

C.$$\sqrt{6}-\sqrt{3}$$

D.$$\frac{\sqrt6-\sqrt3} {2}$$

7、['两点间的斜率公式'， '点与椭圆的位置关系'， '利用基本不等式求最值'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']

正确率40.0%若点$$( m， n )$$在椭圆$$9 x^{2}+y^{2}=9$$上，则$$\frac{n} {m-3}$$的最小值为（）

A.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$

B.$$- \frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

C.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$- \frac{3 \sqrt2} {4}$$

8、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '点与椭圆的位置关系']

正确率40.0%若椭圆$$C_{\colon} \ m x^{2}+y^{2}=8$$经过点$$P ( \sqrt{2}， 2 )$$，则椭圆$${{C}}$$的短轴长为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{8}}$$

9、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '椭圆的其他性质'， '点与椭圆的位置关系']

正确率40.0%椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$上一点$$A ~ ( \mathrm{2}， \mathrm{\boldmath~ 1 ~} )$$到两焦点的距离之和为$${{4}{\sqrt {2}}}$$．若以$$M \left( \begin{matrix} {0} & {-1} \\ \end{matrix} \right)$$为圆心的圆经过点$${{A}}$$，则圆$${{M}}$$与$${{C}}$$的四个交点围成的四边形的面积为（）

A.$$\frac{2 0+8 \sqrt{1 7}} {9}$$

B.$$\frac{2 0+4 \sqrt{1 7}} {9}$$

C.$$\frac{2 4+4 \sqrt{1 7}} {9}$$

D.$$\frac{2 4+8 \sqrt{1 7}} {9}$$

10、['点与椭圆的位置关系'， '直线与椭圆的交点个数']

正确率60.0%已知直线$${{l}}$$过点$$( \ 0， \ -1 )$$，椭圆$$C \colon~ \frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {3 6}=1$$，则直线$${{l}}$$与椭圆$${{C}}$$的交点个数为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{1}}$$或$${{2}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{0}}$$

1. 解析：

直线 $$x = m$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 交于点 $$A(m, y)$$ 和 $$B(m, -y)$$。由于 $$\triangle OAB$$ 是等腰直角三角形，面积为 3，因此直角边长为 $$\sqrt{6}$$。由对称性，$$m = y$$，且 $$OA = \sqrt{m^2 + y^2} = \sqrt{2}m = \sqrt{6}$$，解得 $$m = \sqrt{3}$$。将 $$A(\sqrt{3}, \sqrt{3})$$ 代入椭圆方程，得到 $$\frac{3}{12} + \frac{3}{b^2} = 1$$，解得 $$b^2 = 4$$，即 $$b = 2$$。答案为 B。

2. 解析：

设 $$B(x, y)$$，由 $$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{PB}$$ 得 $$A(-2x, 3 - 2y)$$。将 $$A$$ 和 $$B$$ 代入椭圆方程 $$\frac{x^2}{4} + y^2 = m$$，得到 $$\frac{4x^2}{4} + (3 - 2y)^2 = m$$ 和 $$\frac{x^2}{4} + y^2 = m$$。联立解得 $$x^2 = \frac{4(9 - 6y)}{5}$$。要使 $$|x|$$ 最大，需 $$y$$ 最小。由椭圆性质，$$y$$ 的最小值为 $$-\sqrt{m}$$，代入得 $$x^2 = \frac{4(9 + 6\sqrt{m})}{5}$$。当 $$m = 5$$ 时，$$x^2$$ 取得最大值。答案为 A。

3. 解析：

设椭圆为 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，$$F_1(-c, 0)$$，$$F_2(c, 0)$$。$$N$$ 是 $$F_2$$ 向外角平分线作垂线的垂足，由几何性质可知 $$N$$ 的轨迹是以 $$O$$ 为中心、半径为 $$a$$ 的圆。答案为 B。

4. 解析：

联立椭圆 $$mx^2 + ny^2 = 1$$ 与直线 $$x + y - 1 = 0$$，设交点 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$。中点 $$M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$。由直线斜率关系，$$\frac{\frac{y_1 + y_2}{2}}{\frac{x_1 + x_2}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，即 $$\frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。联立方程解得 $$\frac{m}{n} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。答案为 A。

5. 解析：

椭圆 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$$ 的 $$a = 4$$，$$b = 3$$，$$c = \sqrt{7}$$。由椭圆性质，$$|AF_1| + |AF_2| = 2a = 8$$，$$|BF_1| + |BF_2| = 8$$。又 $$|AB| = |AF_2| + |BF_2| = 6$$，因此 $$|AF_1| + |BF_1| = 16 - 6 = 10$$。答案为 B。

6. 解析：

设右焦点 $$F(c, 0)$$，点 $$A$$ 在椭圆上且 $$\triangle AOF$$ 为正三角形，则 $$A\left(\frac{c}{2}, \frac{\sqrt{3}c}{2}\right)$$。代入椭圆方程 $$\frac{c^2}{4a^2} + \frac{3c^2}{4b^2} = 1$$。利用 $$b^2 = a^2 - c^2$$ 和离心率 $$e = \frac{c}{a}$$，解得 $$e = \sqrt{3} - 1$$。答案为 A。

7. 解析：

点 $$(m, n)$$ 在椭圆 $$9x^2 + y^2 = 9$$ 上，即 $$\frac{m^2}{1} + \frac{n^2}{9} = 1$$。$$\frac{n}{m - 3}$$ 表示点 $$(m, n)$$ 与 $$(3, 0)$$ 的斜率。利用参数法，设 $$m = \cos\theta$$，$$n = 3\sin\theta$$，则斜率为 $$\frac{3\sin\theta}{\cos\theta - 3}$$。求导得最小值为 $$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$。答案为 A。

8. 解析：

椭圆 $$mx^2 + y^2 = 8$$ 过点 $$P(\sqrt{2}, 2)$$，代入得 $$2m + 4 = 8$$，解得 $$m = 2$$。椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{8} = 1$$，短轴长为 $$2b = 4$$。答案为 B。

9. 解析：

椭圆上点 $$A(2, 1)$$ 到两焦点距离之和为 $$4\sqrt{2}$$，即 $$2a = 4\sqrt{2}$$，$$a = 2\sqrt{2}$$。代入椭圆方程 $$\frac{4}{8} + \frac{1}{b^2} = 1$$，解得 $$b^2 = 2$$。圆 $$M$$ 以 $$(0, -1)$$ 为圆心，半径为 $$MA = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$$。联立圆与椭圆方程，求得四个交点围成的四边形面积为 $$\frac{20 + 8\sqrt{17}}{9}$$。答案为 A。

10. 解析：

直线过 $$(0, -1)$$，斜率为 $$k$$，方程为 $$y = kx - 1$$。代入椭圆 $$\frac{x^2}{25} + \frac{(kx - 1)^2}{36} = 1$$，判别式 $$\Delta = (2k)^2 - 4(25k^2 + 36)(-1) > 0$$，恒成立。因此直线与椭圆有两个交点。答案为 C。

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