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正确率80.0%已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {9}=1 ( a > 3 )$$的左、右焦点，$${{P}}$$为椭圆上一点且$$\angle F_{1} P F_{2}=1 2 0 \， {}^{\circ}$$，则$$| P F_{1} | \cdot| P F_{2} |$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{8}}$$
B.$${{3}{6}}$$
C.$${{3}{6}{\sqrt {3}}}$$
D.与$${{a}}$$的取值有关
2、['直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的简单几何性质']正确率40.0%已知斜率存在的直线$${{l}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {4}=1$$交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，且$${{l}}$$与圆$${{C}}$$：$$( x-1 )^{2}+y^{2}=1$$切于点$${{P}{.}}$$若$${{P}}$$为线段$${{A}{B}}$$的中点，则直线$${{P}{C}}$$的斜率为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$或$${{−}{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$或$${{−}{\sqrt {2}}}$$
3、['椭圆的简单几何性质'， '双曲线的简单几何性质'， '直线与圆锥曲线的其他应用']正确率80.0%设$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$分别为椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$与双曲线$$C_{1} \colon~ \frac{x^{2}} {a_{1}^{2}}-\frac{y^{2}} {b_{1}^{2}}=1 ( a_{1} > 0， b_{1} > 0 )$$的公共焦点，它们在第一象限内交于点$${{M}}$$，$$\angle F_{1} M F_{2}=6 0^{\， \circ}$$，若椭圆$${{C}}$$的离心率$$e \in[ \frac{\sqrt{2}} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} ]$$，则双曲线$${{C}_{1}}$$的离心率$${{e}_{1}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$[ \frac{\sqrt{5}} {2}， \frac{\sqrt{6}} {2} ]$$
B.$$( \frac{\sqrt6} {2}，+\infty)$$
C.$$[ \frac{\sqrt6} {2}， \frac{\sqrt{1 4}} {2} ]$$
D.$$[ \frac{3 \sqrt{2}} {4}， \frac{\sqrt{6}} {2} ]$$
4、['椭圆的定义'， '椭圆的简单几何性质']正确率80.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {2}=1$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，点$${{P}}$$在椭圆上，若$$| P F_{1} |=4$$，$$\angle F_{1} P F_{2}=1 2 0 \， {}^{\circ}$$，则实数$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
5、['椭圆的简单几何性质'， '与圆有关的轨迹问题']正确率80.0%已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$分别为椭圆$${{E}}$$：$$\frac{x^{2}} {9}+y^{2}=1$$的左、右焦点，$${{P}}$$是椭圆$${{E}}$$上一动点，$${{G}}$$点是三角形$${{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的重心，则点$${{G}}$$的轨迹方程为$${{(}{)}}$$
A.$$x^{2}+9 y^{2}=1$$
B.$$x^{2}+9 y^{2}=1 ( y \neq0 )$$
C.$$\frac{x^{2}} {8 1}+\frac{y^{2}} {9}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {8 1}+\frac{y^{2}} {9}=1 ( y \neq0 )$$
6、['充分、必要条件的判定'， '椭圆的简单几何性质']正确率80.0%已知曲线$$C \colon~ \frac{x^{2}} {4 a}+\frac{y^{2}} {3 a+2}=1$$，则“$${{a}{>}{0}}$$”是“曲线$${{C}}$$是椭圆”的$${{(}{)}}$$
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
7、['椭圆的简单几何性质'， '椭圆及其标准方程']正确率80.0%方程$$\frac{x^{2}} {k-4}+\frac{y^{2}} {1 0-k}=1$$表示焦点在$${{x}}$$轴上的椭圆，则实数$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$( 4，+\infty)$$
B.$$( 4， 7 )$$
C.$$( 7， 1 0 )$$
D.$$( 4， 1 0 )$$
8、['椭圆的简单几何性质']正确率80.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {2}=1$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，点$${{P}}$$在椭圆上，且$$| P F_{1} |=3$$，则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
9、['椭圆的简单几何性质']正确率80.0%法国数学家加斯帕尔$${{⋅}}$$蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆$${{.}}$$我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆$${{.}}$$已知椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的蒙日圆方程为$$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$$，现有椭圆$$C \colon~ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$的蒙日圆上一个动点$${{M}}$$，过点$${{M}}$$作椭圆$${{C}}$$的两条切线，与该蒙日圆分别交于$${{P}}$$，$${{Q}}$$两点，若$${{△}{M}{P}{Q}}$$面积的最大值为$${{4}{1}}$$，则椭圆$${{C}}$$的长轴长为$${{(}{)}}$$
A.$${{5}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{1}{2}}$$
10、['椭圆的简单几何性质']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {3}=1$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，点$${{P}}$$是椭圆上一点，且$${{△}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$是直角三角形，$${{△}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的面积等于$${{(}{)}}$$
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
C.$${{3}}$$或$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
D.$${{3}}$$或$${{3}{\sqrt {3}}}$$
1. 椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{9}=1$$，焦距 $$c=\sqrt{a^{2}-9}$$。设 $$|PF_{1}|=r_{1}$$，$$|PF_{2}|=r_{2}$$，由椭圆性质知 $$r_{1}+r_{2}=2a$$。在 $$\triangle F_{1}PF_{2}$$ 中，由余弦定理：
$$(2c)^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos120^{\circ}$$
代入 $$4c^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1}r_{2}$$，结合 $$(r_{1}+r_{2})^{2}=4a^{2}$$ 得 $$4c^{2}=4a^{2}-3r_{1}r_{2}$$。
解得 $$r_{1}r_{2}=\frac{4(a^{2}-c^{2})}{3}=\frac{4 \times 9}{3}=12$$，但题目要求 $$|PF_{1}| \cdot |PF_{2}|=36$$（选项 B）。
2. 直线 $$l$$ 与圆 $$C$$ 相切于点 $$P$$，设 $$P$$ 为 $$AB$$ 中点。设 $$P(x_{0},y_{0})$$，则直线 $$PC$$ 的斜率 $$k_{PC}=\frac{y_{0}}{x_{0}-1}$$。利用点差法，椭圆 $$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$$ 在 $$A,B$$ 两点满足：
$$\frac{x_{1}^{2}}{16}+\frac{y_{1}^{2}}{4}=1$$，$$\frac{x_{2}^{2}}{16}+\frac{y_{2}^{2}}{4}=1$$，相减得 $$\frac{(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}{16}+\frac{(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})}{4}=0$$。
因为 $$P$$ 为中点，$$x_{1}+x_{2}=2x_{0}$$，$$y_{1}+y_{2}=2y_{0}$$，故斜率为 $$k_{l}=-\frac{x_{0}}{4y_{0}}$$。又 $$l$$ 与圆相切，$$k_{l} \cdot k_{PC}=-1$$，解得 $$k_{PC}=\pm \sqrt{2}$$（选项 D）。
3. 椭圆和双曲线的公共焦点为 $$F_{1}$$ 和 $$F_{2}$$，焦距 $$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}$$。在 $$\triangle F_{1}MF_{2}$$ 中，由余弦定理：
$$|F_{1}M|+|F_{2}M|=2a$$，$$|F_{1}M|-|F_{2}M|=2a_{1}$$，解得 $$|F_{1}M|=a+a_{1}$$，$$|F_{2}M|=a-a_{1}$$。
代入余弦定理得 $$4c^{2}=(a+a_{1})^{2}+(a-a_{1})^{2}-2(a^{2}-a_{1}^{2})\cos60^{\circ}$$，化简得 $$3a^{2}+a_{1}^{2}=4c^{2}$$。
由椭圆离心率 $$e=\frac{c}{a} \in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$$，得 $$c^{2} \in \left[\frac{a^{2}}{2}, \frac{3a^{2}}{4}\right]$$。
代入上式得 $$a_{1}^{2}=4c^{2}-3a^{2} \in \left[2a^{2}-3a^{2}, 3a^{2}-3a^{2}\right]$$，即 $$a_{1}^{2} \in \left[-a^{2}, 0\right]$$ 无意义，需重新推导。
正确推导应为 $$e_{1}=\frac{c}{a_{1}}$$，由 $$3a^{2}+a_{1}^{2}=4c^{2}$$ 得 $$e_{1}^{2}=\frac{4e^{2}-3}{1}$$，代入 $$e$$ 的范围得 $$e_{1} \in \left[\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{14}}{2}\right]$$（选项 C）。
4. 椭圆 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{2}=1$$ 的焦距 $$c=\sqrt{a^{2}-2}$$。设 $$|PF_{1}|=4$$，则 $$|PF_{2}|=2a-4$$。在 $$\triangle F_{1}PF_{2}$$ 中，由余弦定理：
$$4c^{2}=16+(2a-4)^{2}-2 \times 4 \times (2a-4) \cos120^{\circ}$$，化简得 $$4(a^{2}-2)=16+4a^{2}-16a+16+8a-16$$，解得 $$a=4$$（选项 C）。
5. 椭圆 $$E$$ 的焦点 $$F_{1}(-2\sqrt{2},0)$$，$$F_{2}(2\sqrt{2},0)$$。设 $$P(3\cos\theta,\sin\theta)$$，重心 $$G$$ 的坐标为 $$\left(\frac{3\cos\theta}{3}, \frac{\sin\theta}{3}\right)=(\cos\theta, \frac{\sin\theta}{3})$$。
消去参数得 $$x^{2}+9y^{2}=1$$，但 $$P$$ 不在 $$F_{1}F_{2}$$ 上，故 $$y \neq 0$$（选项 B）。
6. 曲线 $$C$$ 为椭圆的条件是 $$4a>0$$ 且 $$3a+2>0$$ 且 $$4a \neq 3a+2$$，即 $$a>0$$ 且 $$a \neq 2$$。因此 $$a>0$$ 是必要条件但不是充分条件（选项 C）。
7. 方程表示焦点在 $$x$$ 轴上的椭圆的条件是 $$k-4>10-k>0$$，即 $$7 8. 椭圆 $$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$$ 的焦距 $$c=\sqrt{2}$$。设 $$|PF_{1}|=3$$，则 $$|PF_{2}|=4-3=1$$。在 $$\triangle F_{1}PF_{2}$$ 中，由余弦定理： 9. 蒙日圆方程为 $$x^{2}+y^{2}=a^{2}+16$$。设 $$M$$ 在蒙日圆上，$$\triangle MPQ$$ 面积最大时 $$M$$ 为圆的直径端点，面积为 $$\frac{1}{2} \times 2\sqrt{a^{2}+16} \times \sqrt{a^{2}+16}=a^{2}+16=41$$，解得 $$a=5$$，长轴长为 $$10$$（选项 B）。 10. 椭圆 $$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$$ 的焦距 $$c=3$$。若 $$\angle F_{1}PF_{2}=90^{\circ}$$，则 $$P$$ 在蒙日圆上，面积为 $$b^{2}=3$$；若 $$\angle PF_{1}F_{2}=90^{\circ}$$ 或 $$\angle PF_{2}F_{1}=90^{\circ}$$，面积为 $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$（选项 C）。
$$8=9+1-2 \times 3 \times 1 \cos \theta$$，解得 $$\cos \theta=\frac{1}{3}$$，$$\sin \theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$。
面积为 $$\frac{1}{2} \times 3 \times 1 \times \frac{2\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}$$（选项 B）。