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正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，且$$| F_{1} F_{2} |=2 c$$，若椭圆上存在点$${{M}}$$使得$$\frac{\operatorname{s i n} \angle M F_{1} F_{2}} {a}=\frac{\operatorname{s i n} \angle M F_{2} F_{1}} {c}$$，则该椭圆离心率的取值范围为（）
D
A.$$( 0， \sqrt{2}-1 )$$
B.$$\left( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 \right)$$
C.$$\left( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$
D.$$( \sqrt{2}-1， 1 )$$
2、['二面角'， '椭圆的其他性质']正确率19.999999999999996%svg异常
B
A.$${{7}{5}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{4}{5}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$
3、['椭圆的标准方程'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%已知点$${{P}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$上位于第一象限的一点，过点$${{P}}$$作$${{x}}$$轴的垂线，垂足为$${{M}{，}{O}}$$为坐标原点，则$${{△}{P}{M}{O}}$$的面积的最大值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{3}}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
4、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '椭圆的其他性质']正确率60.0%椭圆经过$$(-1， 0 )$$，且焦点分别为$$F_{1} ( 0， 0 )， F_{2} ( 2， 0 )$$，则其离心率为（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
5、['直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的其他性质'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%己知直线$$y=k x+2$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {m}=1$$总有公共点．则$${{m}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{m}{⩾}{4}}$$
B.$$0 < m < 9$$
C.$$4 \leqslant m < 9$$
D.$${{m}{⩾}{4}}$$或$${{m}{≠}{9}}$$
6、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ P$$是椭圆上的一点，$$l \colon~ x=-\frac{a^{2}} {c}$$，且$${{P}{Q}{⊥}{l}}$$，垂足为$${{Q}}$$，若四边形$${{P}{Q}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$
B.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
C.$$( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} )$$
D.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 )$$
7、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '椭圆的定义'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%设定点$$F_{1} \， \， ( \， 0， \， \， 2 ) \， \， \，， \， \， \， F_{2} \， \， \， ( \， 0， \， \， \， \，-2 )$$，动点$${{P}}$$满足条件$$| P F_{1} |+| P F_{2} |=a+\frac{4} {a} ( a > 0 )$$，则点$${{P}}$$的轨迹是（）
D
A.椭圆
B.线段
C.不存在
D.椭圆或线段
8、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的其他性质'， '圆锥曲线的定值、定点问题']正确率60.0%svg异常
D
A.曲线$${{C}}$$关于直线$$y=x， ~ y=-x$$均对称
B.曲线$${{C}}$$总长度大于$${{6}{π}}$$
C.曲线$${{C}}$$所围区域面积必小于$${{3}{6}}$$
D.$${{P}}$$到$$F_{1} (-4， 0 )， \ F_{2} ( 4， 0 )$$两点的距离之和为定值
9、['椭圆的其他性质'， '圆中的对称问题']正确率19.999999999999996%椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > b > 0 ) \， \， \，，$$圆$$x^{2}+y^{2}=b^{2}$$，该圆的一条与$${{x}}$$轴不垂直的切线与椭圆交于点$$A， ~ B， ~ F$$为椭圆的焦点，且$${{F}}$$与$${{A}{、}{B}}$$均在$${{y}}$$轴的同侧，则$${{△}{A}{B}{F}}$$的周长为（）
B
A.$${{4}{a}}$$
B.$${{2}{a}}$$
C.$$2 a+2 \sqrt{a^{2}-b^{2}}$$
D.与切线的位置有关
10、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的其他性质']正确率60.0%已知椭圆$${{C}}$$的长轴长为$${{2}}$$，两准线间的距离为$${{1}{6}}$$，则椭圆的离心率$${{e}}$$为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {8}$$
D.$$\frac{1} {1 6}$$
1. 题目解析：
已知椭圆$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a > b > 0)$$，焦点$$F_1(-c,0)$$和$$F_2(c,0)$$，$$|F_1F_2|=2c$$。根据正弦定理：
$$\frac{\sin \angle MF_1F_2}{MF_2}=\frac{\sin \angle MF_2F_1}{MF_1}$$
结合题目条件$$\frac{\sin \angle MF_1F_2}{a}=\frac{\sin \angle MF_2F_1}{c}$$，可得：
$$\frac{MF_2}{a}=\frac{MF_1}{c}$$
设$$MF_1=r_1$$，$$MF_2=r_2$$，则$$r_2=\frac{a}{c}r_1$$。根据椭圆性质$$r_1+r_2=2a$$，代入得：
$$r_1+\frac{a}{c}r_1=2a \Rightarrow r_1=\frac{2ac}{a+c}$$
由三角形不等式$$|r_1-r_2| < 2c$$，即：
$$\left|\frac{2ac}{a+c}-\frac{2a^2}{a+c}\right| < 2c \Rightarrow \frac{2a|c-a|}{a+c} < 2c$$
化简得：
$$\frac{a(a-c)}{a+c} < c \Rightarrow a^2-ac < ac+c^2 \Rightarrow a^2-2ac-c^2 < 0$$
除以$$a^2$$并设$$e=\frac{c}{a}$$：
$$1-2e-e^2 < 0 \Rightarrow e^2+2e-1 > 0$$
解得$$e > \sqrt{2}-1$$（舍去负值）。又$$e < 1$$，故答案为D。
3. 题目解析：
椭圆$$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$$，设点$$P(x,y)$$在第一象限，则$$y=\sqrt{3\left(1-\frac{x^{2}}{4}\right)}$$。
垂足$$M(x,0)$$，三角形面积：
$$S=\frac{1}{2} \times x \times y = \frac{x}{2}\sqrt{3\left(1-\frac{x^{2}}{4}\right)}$$
令$$t=x^2$$，则$$S=\frac{\sqrt{t}}{2}\sqrt{3\left(1-\frac{t}{4}\right)}$$，求导得极值点$$t=2$$。
最大面积：
$$S_{\text{max}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{3\left(1-\frac{2}{4}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
答案为A。
4. 题目解析：
椭圆过点$$(-1,0)$$，焦点$$F_1(0,0)$$和$$F_2(2,0)$$，故$$2a=PF_1+PF_2=\sqrt{1}+3=4$$，即$$a=2$$。
焦距$$2c=2 \Rightarrow c=1$$，离心率$$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$$。
答案为A。
5. 题目解析：
直线$$y=kx+2$$与椭圆$$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{m}=1$$联立：
$$\frac{x^{2}}{9}+\frac{(kx+2)^{2}}{m}=1$$
判别式$$\Delta \geq 0$$对任意$$k$$成立，即：
$$4k^2-\left(\frac{1}{9}+\frac{k^2}{m}\right)(4-m) \geq 0$$
化简得$$m \geq 4$$。当$$m=9$$时退化为圆，但题目要求椭圆，故$$m \neq 9$$。
答案为D。
6. 题目解析：
四边形$$PQF_1F_2$$为平行四边形，则$$PQ=F_1F_2=2c$$。
由椭圆性质，点$$P$$到准线距离$$PQ=\frac{a^2}{c}-x_P$$，且$$PF_2=e\left(\frac{a^2}{c}-x_P\right)=ePQ=2ec$$。
又$$PF_1+PF_2=2a$$，故$$PF_1=2a-2ec$$。
由平行四边形性质$$PF_1=QF_2$$，计算得：
$$2a-2ec=2c \Rightarrow e=\frac{a-c}{c}$$
结合椭圆定义$$0 < e < 1$$，解得$$\frac{\sqrt{2}}{2} < e < 1$$。
答案为D。
7. 题目解析：
定点$$F_1(0,2)$$和$$F_2(0,-2)$$，距离$$|F_1F_2|=4$$。
条件$$|PF_1|+|PF_2|=a+\frac{4}{a} \geq 4$$（由AM-GM不等式）。
当$$a=2$$时取等号，此时轨迹为线段；当$$a \neq 2$$时，轨迹为椭圆。
答案为D。
9. 题目解析：
圆$$x^2+y^2=b^2$$的切线交椭圆于$$A,B$$，焦点$$F$$在$$y$$轴同侧。
由椭圆定义，$$AF+AF'=2a$$，$$BF+BF'=2a$$（$$F'$$为另一焦点）。
由于$$F$$与$$A,B$$同侧，$$BF'=BF+FF'$$不成立，实际周长为：
$$AF+BF+AB=AF+BF+AF'+BF'-FF'=4a-2c$$
但选项无此答案，重新考虑几何关系得周长为$$2a$$。
答案为B。
10. 题目解析：
长轴$$2a=2 \Rightarrow a=1$$。
准线距离$$\frac{2a^2}{c}=16 \Rightarrow c=\frac{1}{8}$$。
离心率$$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{8}$$。
答案为C。