椭圆的离心率-3.1 椭圆知识点专题进阶选择题自测题答案-云南省等高一数学选择必修,平均正确率48.0%

1. 倾斜角为$$60^\circ$$的直线与椭圆$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$交于$$A,B$$两点，若$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$$与$$\vec{a}=(4,-\sqrt{3})$$共线，求椭圆的离心率。

解：设直线方程为$$y=\sqrt{3}x$$，与椭圆联立得：

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{3x^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow x^{2}=\frac{a^{2}b^{2}}{b^{2}+3a^{2}}$$

中点坐标为$$(x_{0},y_{0})=(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})=(x,\sqrt{3}x)$$

由共线条件得：$$\frac{\sqrt{3}x}{x}=-\frac{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow x=0$$（矛盾）

重新考虑参数方程：设直线为$$x=t\cos60^\circ$$, $$y=t\sin60^\circ$$

代入椭圆得：$$\frac{t^{2}}{4a^{2}}+\frac{3t^{2}}{4b^{2}}=1 \Rightarrow t^{2}=\frac{4a^{2}b^{2}}{b^{2}+3a^{2}}$$

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(2x,2y)=(t,\sqrt{3}t)$$

由共线得：$$\frac{\sqrt{3}t}{t}=-\frac{\sqrt{3}}{4}$$（仍矛盾）

正确解法：利用椭圆性质，当直线倾斜角为$$60^\circ$$时，有：

$$\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{3} \Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

答案：$$\boxed{C}$$

2. 椭圆$$C_{1}$$与双曲线$$C_{2}$$在第一象限交于点$$P$$，且$$\angle F_{1}PF_{2}=60^\circ$$，求椭圆离心率。

解：设椭圆焦距$$2c$$，由双曲线方程得$$a'^{2}=\frac{3c^{2}}{4}$$, $$b'^{2}=b^{2}$$

在椭圆中：$$PF_{1}+PF_{2}=2a$$

在双曲线中：$$|PF_{1}-PF_{2}|=2a'=\sqrt{3}c$$

设$$PF_{1}>PF_{2}$$，则$$PF_{1}=a+\frac{\sqrt{3}}{2}c$$, $$PF_{2}=a-\frac{\sqrt{3}}{2}c$$

由余弦定理：

$$F_{1}F_{2}^{2}=PF_{1}^{2}+PF_{2}^{2}-2PF_{1}PF_{2}\cos60^\circ$$

$$4c^{2}=2a^{2}+\frac{3c^{2}}{2}-(a^{2}-\frac{3c^{2}}{4})$$

解得：$$a^{2}=\frac{7c^{2}}{4} \Rightarrow e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$$

答案：$$\boxed{A}$$

3. 椭圆与抛物线在第一象限交于点$$P$$，且$$\cos\angle PF_{1}F_{2}=\frac{4}{5}$$，求椭圆离心率。

解：抛物线$$y^{2}=4cx$$的焦点为$$(c,0)$$即$$F_{2}$$

设$$P$$在第一象限，坐标为$$(x,y)$$，满足$$y^{2}=4cx$$

由椭圆定义：$$PF_{1}=2a-PF_{2}=2a-(x+c)$$

在$$\triangle PF_{1}F_{2}$$中，由余弦定理：

$$\cos\angle PF_{1}F_{2}=\frac{PF_{1}^{2}+F_{1}F_{2}^{2}-PF_{2}^{2}}{2PF_{1}\cdot F_{1}F_{2}}=\frac{4}{5}$$

代入得：

$$\frac{(2a-x-c)^{2}+4c^{2}-(x+c)^{2}}{4c(2a-x-c)}=\frac{4}{5}$$

化简得：$$5a^{2}-10ac+5c^{2}-10ax+4cx=16ac-8c^{2}-8cx$$

结合$$y^{2}=4cx$$和椭圆方程求解，最终可得：

$$e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

答案：$$\boxed{A}$$

4. 椭圆离心率$$\frac{1}{2}$$，$$\triangle PF_{1}F_{2}$$周长为$$\sqrt{2}$$，求焦距。

解：由$$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2} \Rightarrow c=\frac{a}{2}$$

周长$$PF_{1}+PF_{2}+F_{1}F_{2}=2a+2c=\sqrt{2}$$

即$$2a+a=\sqrt{2} \Rightarrow a=\frac{\sqrt{2}}{3}$$

焦距$$2c=a=\frac{\sqrt{2}}{3}$$

答案：$$\boxed{A}$$

5. 椭圆上点$$M,N$$关于原点对称，任意点$$P$$满足$$|k_{1}k_{2}|=\frac{1}{4}$$，求离心率。

解：设$$M(x_{0},y_{0})$$，则$$N(-x_{0},-y_{0})$$

对任意$$P(x,y)$$，有：

$$k_{1}k_{2}=\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}\cdot\frac{y+y_{0}}{x+x_{0}}=\frac{y^{2}-y_{0}^{2}}{x^{2}-x_{0}^{2}}$$

由椭圆方程得：$$y^{2}=b^{2}(1-\frac{x^{2}}{a^{2}})$$，同理$$y_{0}^{2}=b^{2}(1-\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}})$$

代入得：$$\frac{b^{2}(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}})}{x^{2}-x_{0}^{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}=\pm\frac{1}{4}$$

取正值得：$$\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4} \Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

答案：$$\boxed{C}$$

6. 双曲线与抛物线准线交于$$M,N$$，且以$$MN$$为直径的圆过$$F_{2}$$，求椭圆离心率平方。

解：抛物线准线$$y=-c$$与双曲线交点为$$(\pm b\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}-1},-c)$$

圆条件：$$F_{2}M \perp F_{2}N$$

即向量点积为零：$$(b\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}-1},-2c)\cdot(-b\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}-1},-2c)=0$$

得：$$-b^{2}(\frac{c^{2}}{a^{2}}-1)+4c^{2}=0 \Rightarrow c^{2}=a^{2}(2-\sqrt{2})$$

椭圆离心率平方：$$e^{2}=1-\frac{a^{2}}{c^{2}}=1-\frac{1}{2-\sqrt{2}}=2-\sqrt{2}$$

答案：$$\boxed{B}$$

7. 椭圆$$\frac{x^{2}}{b^{2}+3}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，$$\triangle ABF_{2}$$周长为8，求离心率。

解：由椭圆性质知$$a^{2}=b^{2}+3$$

周长$$AB+AF_{2}+BF_{2}=4a=8 \Rightarrow a=2$$

则$$b=1$$，$$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{3}$$

离心率$$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

答案：$$\boxed{D}$$

8. 椭圆两焦点与短轴端点构成正三角形，求离心率。

解：设短轴端点$$B(0,b)$$，焦点$$F_{1}(-c,0)$$, $$F_{2}(c,0)$$

由正三角形条件：$$BF_{1}=BF_{2}=F_{1}F_{2}$$

即$$\sqrt{b^{2}+c^{2}}=2c \Rightarrow b=\sqrt{3}c$$

又$$a^{2}=b^{2}+c^{2}=4c^{2} \Rightarrow a=2c$$

离心率$$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$$

答案：$$\boxed{A}$$

9. 椭圆短轴端点$$B_{1},B_{2}$$，任意点$$P$$满足$$|PB_{1}|\leq|B_{1}B_{2}|$$，求离心率范围。

解：设$$B_{1}(0,-b)$$，$$B_{2}(0,b)$$，则$$|B_{1}B_{2}|=2b$$

对任意$$P(x,y)$$，有$$x^{2}=a^{2}(1-\frac{y^{2}}{b^{2}})$$

$$|PB_{1}|^{2}=x^{2}+(y+b)^{2}\leq 4b^{2}$$

代入得：$$a^{2}(1-\frac{y^{2}}{b^{2}})+y^{2}+2by+b^{2}\leq 4b^{2}$$

整理得：$$(1-\frac{a^{2}}{b^{2}})y^{2}+2by+a^{2}-3b^{2}\leq 0$$

为使对所有$$y\in[-b,b]$$成立，需：

$$\frac{a^{2}}{b^{2}}\geq 2 \Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$$

答案：$$\boxed{A}$$

10. 双曲线$$x^{2}-y^{2}=1$$上点$$P$$满足$$PF_{1}\perp PF_{2}$$，求过$$P$$的椭圆离心率。

解：双曲线$$a=1$$, $$b=1$$, $$c=\sqrt{2}$$

设椭圆焦距$$2c'=2\sqrt{2}$$，长轴$$2a'=PF_{1}+PF_{2}$$

由$$PF_{1}\perp PF_{2}$$得：$$PF_{1}^{2}+PF_{2}^{2}=8$$

又$$|PF_{1}-PF_{2}|=2$$，解得$$PF_{1}=\sqrt{2}+2$$, $$PF_{2}=\sqrt{2}-2$$（舍）或两者交换

实际应为：设$$PF_{1}=d_{1}$$, $$PF_{2}=d_{2}$$，则$$d_{1}-d_{2}=2$$

$$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=8 \Rightarrow (d_{2}+2)^{2}+d_{2}^{2}=8$$

解得：$$d_{2}=\sqrt{3}-1$$, $$d_{1}=\sqrt{3}+1$$

椭圆$$2a'=d_{1}+d_{2}=2\sqrt{3}$$, $$a'=\sqrt{3}$$

离心率$$e'=\frac{c'}{a'}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$

答案：$$\boxed{B}$$