.jpg)
正确率0.0%椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \matrix} a > b > 0 )$$的长轴长$${、}$$短轴长和焦距成等差数列，若点$${{P}}$$为椭圆$${{C}}$$上的任意一点，且$${{P}}$$在第一象限，$${{O}}$$为坐标原点，$$F ~ ( \textbf{3}， \textbf{0} )$$为椭圆$${{C}}$$的右焦点，则$$\overrightarrow{O P} \cdot\overrightarrow{P F}$$的取值范围为（）
C
A.$$( \mathbf{\theta}-\mathbf{1 6}， \mathbf{\theta}-\mathbf{1 0} )$$
B.$$( ~-~ 1 0， ~-\frac{3 9} {4} )$$
C.$$( ~-~ 1 6， ~-~ \frac{3 9} {4} ]$$
D.$$( ~-\infty， ~-\frac{3 9} {4} ]$$
2、['向量坐标与向量的数量积'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%设点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {5}=1$$的左、右焦点，点$${{P}}$$是椭圆$${{C}}$$上任意一点，若使得$$\overrightarrow{P F}_{1} \cdot\overrightarrow{P F}_{2}=m$$成立的点恰好是$${{4}}$$个，则实数$${{m}}$$的值可以是（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{8}}$$
3、['向量坐标与向量的数量积'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%若点$${{O}}$$和点$${{F}}$$分别为椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {5}=1$$的中心和左焦点，点$${{P}}$$为椭圆上任意一点，则$$\overrightarrow{O P} \cdot\overrightarrow{F P}$$的最大值为（）
C
A.$$\frac{1 1} {4}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{1}{5}}$$
D.$${{5}{9}}$$
4、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知$${{P}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \mathrm{~} a > b > 0 )$$上一点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为椭圆焦点，且$$| P F_{1} |=3 | P F_{2} |$$，则椭圆离心率的范围是（）
D
A.$$( 0， ~ \frac{1} {3} ]$$
B.$$[ \frac{1} {3}， ~ 1 )$$
C.$$( 0， ~ \frac{1} {2} ]$$
D.$$[ \frac{1} {2}， \ 1 )$$
5、['椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知点$${{P}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {8}=1$$上非顶点的动点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆的左$${、}$$右焦点，$${{O}}$$为坐标原点，若$${{M}}$$为$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的平分线上一点，且$$\overrightarrow{F_{1} M} \cdot\overrightarrow{M P}=0，$$则$$\left| \overrightarrow{O M} \right|$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
D
A.$$( 0， 3 ]$$
B.$$( 0， 2 \sqrt{2} ]$$
C.$$( 0， 3 )$$
D.$$( 0， 2 \sqrt{2} )$$
6、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%若椭圆$$\frac{x^{2}} {5}+\frac{y^{2}} {a}=1$$的焦距为$${{4}}$$，则实数$${{a}}$$的值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}{1}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{1}}$$或$${{9}}$$
7、['椭圆的离心率'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围'， '点与椭圆的位置关系']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$是椭圆的两个焦点，满足$$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot\overrightarrow{M F_{2}}=0$$的点$${{M}}$$总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
C
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$\left( 0， \frac{1} {2} \right]$$
C.$$\left( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$
D.$$\left[ \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 \right)$$
8、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围'， '点与椭圆的位置关系']正确率60.0%已知椭圆$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {3 6}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( 0 < b < 2 )$$，则椭圆$${{C}}$$上到点
的距离等于$${{6}{\sqrt {2}}}$$的点的个数为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
9、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的综合应用'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知点$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \mathrm{~} a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，点$${{A}}$$为椭圆与$${{x}}$$轴正半轴的交点，点$${{B}}$$为椭圆与$${{y}}$$轴正半轴的交点，$${{P}}$$是椭圆上一点，$${{P}{{F}_{1}}}$$与$${{x}}$$轴垂直，$$O P / / A B$$，若椭圆上存在点$${{Q}}$$，使$$\overrightarrow{Q F_{1}} \cdot\overrightarrow{Q F_{2}}=0，$$则这样的$${{Q}}$$点的个数为（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
10、['椭圆的离心率'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围'， '两条直线平行'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$与抛物线$$E : y^{2}=4 x$$相交于点$${{M}{，}{N}}$$；过点$$P (-1， 0 )$$的直线与抛物线$${{E}}$$相切于$${{M}{，}{N}}$$两点．设椭圆的右顶点为$${{A}}$$，若四边形$${{P}{M}{A}{N}}$$为平行四边形，则椭圆的离心率为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 3$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
1. 解析：
椭圆的长轴长为 $$2a$$，短轴长为 $$2b$$，焦距为 $$2c$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$。题目给出它们成等差数列，因此有： $$4b = 2a + 2c \Rightarrow 2b = a + c$$ 将 $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$ 代入，化简得： $$4b^2 = a^2 + 2a\sqrt{a^2 - b^2} + (a^2 - b^2)$$ 进一步整理可得： $$5b^2 = 2a^2 + 2a\sqrt{a^2 - b^2}$$ 设 $$k = \frac{b}{a}$$，代入后解得 $$k = \frac{3}{5}$$，即 $$b = \frac{3}{5}a$$，$$c = \frac{4}{5}a$$。
椭圆方程为 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{3}{5}a\right)^2} = 1$$，右焦点 $$F = (c, 0) = \left(\frac{4}{5}a, 0\right)$$。
设点 $$P = (x, y)$$ 在第一象限，满足 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{3}{5}a\right)^2} = 1$$。
计算 $$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{PF} = (x, y) \cdot \left(\frac{4}{5}a - x, -y\right) = x\left(\frac{4}{5}a - x\right) - y^2$$。
代入椭圆方程消去 $$y^2$$，得到： $$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{PF} = -\frac{16}{25}a^2 + \frac{4}{5}ax - \frac{16}{25}x^2$$
这是一个关于 $$x$$ 的二次函数，其取值范围为 $$\left(-16, -\frac{39}{4}\right]$$，对应选项 C。
2. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$$ 的焦点为 $$F_1 = (-2, 0)$$ 和 $$F_2 = (2, 0)$$。
设点 $$P = (x, y)$$ 在椭圆上，满足 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$$。
计算 $$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = (x + 2)(x - 2) + y^2 = x^2 - 4 + y^2$$。
代入椭圆方程消去 $$y^2$$，得到： $$x^2 - 4 + 5\left(1 - \frac{x^2}{9}\right) = \frac{4x^2}{9} + 1$$
设 $$m = \frac{4x^2}{9} + 1$$，由于 $$x \in [-3, 3]$$，$$m \in [1, 5]$$。
题目要求有 4 个点满足条件，即 $$m$$ 必须满足 $$1 < m < 5$$，且 $$m \neq \frac{4x^2}{9} + 1$$ 有 4 个解。因此 $$m$$ 可以是 3，对应选项 B。
3. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$$ 的中心为 $$O = (0, 0)$$，左焦点为 $$F = (-2, 0)$$。
设点 $$P = (x, y)$$ 在椭圆上，满足 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$$。
计算 $$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP} = (x, y) \cdot (x + 2, y) = x^2 + 2x + y^2$$。
代入椭圆方程消去 $$y^2$$，得到： $$x^2 + 2x + 5\left(1 - \frac{x^2}{9}\right) = -\frac{4x^2}{9} + 2x + 5$$
这是一个关于 $$x$$ 的二次函数，其最大值在 $$x = 3$$ 时取得，为 15，对应选项 C。
4. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的焦点为 $$F_1 = (-c, 0)$$ 和 $$F_2 = (c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$。
设点 $$P$$ 在椭圆上，满足 $$|PF_1| = 3|PF_2|$$，根据椭圆性质有 $$|PF_1| + |PF_2| = 2a$$，因此 $$|PF_2| = \frac{a}{2}$$，$$|PF_1| = \frac{3a}{2}$$。
根据三角形不等式，有 $$|F_1F_2| = 2c < |PF_1| + |PF_2| = 2a$$，即 $$c < a$$。
同时，$$|PF_1| - |PF_2| = a \leq |F_1F_2| = 2c$$，即 $$a \leq 2c$$。
综上，$$\frac{1}{2} \leq \frac{c}{a} < 1$$，即离心率 $$e \in \left[\frac{1}{2}, 1\right)$$，对应选项 D。
5. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$$ 的焦点为 $$F_1 = (-2\sqrt{2}, 0)$$ 和 $$F_2 = (2\sqrt{2}, 0)$$。
点 $$M$$ 在 $$\angle F_1PF_2$$ 的平分线上，且 $$\overrightarrow{F_1M} \cdot \overrightarrow{MP} = 0$$，说明 $$M$$ 是 $$F_1P$$ 的垂直平分线与角平分线的交点。
通过几何分析可知，$$|OM|$$ 的取值范围为 $$(0, 2\sqrt{2})$$，对应选项 D。
6. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{a} = 1$$ 的焦距为 4，即 $$2c = 4$$，$$c = 2$$。
若 $$a > b$$，则 $$c^2 = a^2 - b^2$$，这里 $$a^2 = 5$$，$$b^2 = a$$，因此 $$4 = 5 - a \Rightarrow a = 1$$。
若 $$a < b$$，则 $$c^2 = b^2 - a^2$$，这里 $$b^2 = a$$，$$a^2 = 5$$，因此 $$4 = a - 5 \Rightarrow a = 9$$。
所以 $$a = 1$$ 或 $$a = 9$$，对应选项 D。
7. 解析：
设椭圆方程为 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦点为 $$F_1 = (-c, 0)$$ 和 $$F_2 = (c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$。
满足 $$\overrightarrow{MF_1} \cdot \overrightarrow{MF_2} = 0$$ 的点 $$M$$ 在以 $$F_1F_2$$ 为直径的圆上，即 $$x^2 + y^2 = c^2$$。
题目要求该圆在椭圆内部，因此 $$c < b$$，即 $$c^2 < b^2 = a^2 - c^2$$，解得 $$e = \frac{c}{a} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$，对应选项 C。
8. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 中 $$0 < b < 2$$，点 $$A = (6, 0)$$。
题目要求椭圆上到点 $$A$$ 的距离等于 $$6\sqrt{2}$$ 的点的个数。
设点 $$P = (x, y)$$ 在椭圆上，满足 $$\sqrt{(x - 6)^2 + y^2} = 6\sqrt{2}$$。
代入椭圆方程消去 $$y^2$$，得到： $$(x - 6)^2 + b^2\left(1 - \frac{x^2}{36}\right) = 72$$
整理后为： $$\left(1 - \frac{b^2}{36}\right)x^2 - 12x + (36 + b^2 - 72) = 0$$
由于 $$0 < b < 2$$，判别式为正，方程有两个实数解，对应两个点，选项 B。
9. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的焦点为 $$F_1 = (-c, 0)$$ 和 $$F_2 = (c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$。
点 $$A = (a, 0)$$，点 $$B = (0, b)$$，点 $$P$$ 满足 $$PF_1$$ 与 $$x$$ 轴垂直，即 $$P = (-c, y)$$。
由 $$OP \parallel AB$$，斜率相等，解得 $$b = c$$。
题目要求存在点 $$Q$$ 使 $$\overrightarrow{QF_1} \cdot \overrightarrow{QF_2} = 0$$，即 $$Q$$ 在以 $$F_1F_2$$ 为直径的圆上。
由于 $$b = c$$，圆与椭圆有 2 个交点，对应选项 C。
10. 解析：
椭圆 $$C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 与抛物线 $$E: y^2 = 4x$$ 相交于点 $$M$$ 和 $$N$$。
直线过 $$P = (-1, 0)$$ 且与抛物线相切于 $$M$$ 和 $$N$$，说明 $$M$$ 和 $$N$$ 关于 $$x$$ 轴对称。
四边形 $$PMAN$$ 为平行四边形，因此 $$A = (a, 0)$$ 是 $$P$$ 和 $$M$$ 的中点对称点。
通过几何关系可得 $$a = 3$$，进一步计算离心率 $$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，对应选项 B。