.jpg)
正确率19.999999999999996%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( 0 < b < 2 )$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}，$$离心率为$$\frac{\sqrt{2}} {2}，$$点$${{A}{，}{B}}$$是椭圆$${{C}}$$上异于长轴端点的两点，且满足$$\overrightarrow{A F_{1}}=\lambda\overrightarrow{F_{1} B}，$$若$$A B \perp A F_{2}，$$则$${{λ}{=}}$$（）
C
A.$${{5}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{2}}$$
2、['椭圆的离心率'， '直线与椭圆的综合应用']正确率40.0%已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}，$$直线$${{y}{=}{\sqrt {3}}{x}}$$与椭圆$${{C}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若四边形$${{A}{{F}_{1}}{B}{{F}_{2}}}$$为矩形，则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
C
A.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\sqrt3-1$$
D.$$\sqrt{2}-1$$
3、['直线与椭圆的综合应用']正确率40.0%已知$${{A}{，}{F}}$$分别是椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的下顶点和左焦点，过$${{A}}$$且倾斜角为$${{6}{0}^{∘}}$$的直线$${{l}}$$分别交$${{x}}$$轴和椭圆$${{C}}$$于点$$\， M， \， \， N ( N$$不同于$${{A}{)}{，}}$$且$${{N}}$$点的纵坐标为$$\frac{3} {5} b，$$若$${{△}{F}{M}{N}}$$的周长为$${{6}{，}}$$则$${{△}{F}{A}{N}}$$的面积为（）
B
A.$$\frac{1 6 \sqrt{3}} {5}$$
B.$$\frac{8 \sqrt{3}} {5}$$
C.$$\frac{4 \sqrt{3}} {5}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {5}$$
4、['直线与椭圆的综合应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%椭圆$$x^{2}+\frac{y^{2}} {m^{2}}=1 \， ( 0 < m < 1 )$$的一个焦点为$${{F}}$$，过坐标原点$${{O}}$$的直线$${{l}}$$与椭圆交于点$${{A}{、}{B}}$$，则$${{△}{A}{B}{F}}$$面积的最大值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt{3}} {8}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
5、['直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的其他性质'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%己知直线$$y=k x+2$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {m}=1$$总有公共点．则$${{m}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{m}{⩾}{4}}$$
B.$$0 < m < 9$$
C.$$4 \leqslant m < 9$$
D.$${{m}{⩾}{4}}$$或$${{m}{≠}{9}}$$
6、['椭圆的离心率'， '直线与椭圆的综合应用']正确率40.0%已知点$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的左$${、}$$右焦点，过$${{F}_{1}}$$且垂直于$${{x}}$$轴的直线与椭圆交于$${{M}{、}{N}}$$两点，若$${{△}{M}{N}{{F}_{2}}}$$为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率$${{e}}$$为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{−}{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
7、['直线与椭圆的综合应用'， '直线的斜率']正确率60.0%过点 $${{M}}$$$$(-2， 0 )$$的直线 $${{l}}$$与椭圆 $${{x}}$$$${^{2}{+}{2}}$$ $${{y}}$$$${^{2}{=}{2}}$$交于 $${{P}}$$$${_{1}}$$， $${{P}}$$$${_{2}}$$，线段 $${{P}}$$$${_{1}}$$ $${{P}}$$$${_{2}}$$的中点为 $${{P}}$$.设直线 $${{l}}$$的斜率为 $${{k}}$$$${_{1}{(}}$$ $${{k}}$$$${_{1}{≠}{0}{)}}$$，直线 $${{O}{P}}$$( $${{O}}$$为坐标原点)的斜率为 $${{k}}$$$${_{2}}$$，则 $${{k}}$$$${_{1}}$$ $${{k}}$$$${_{2}}$$等于
C
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
8、['两点间的斜率公式'， '椭圆的离心率'， '直线系方程'， '直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%已知直线$$l : k x-y-2 k+1=0$$与椭圆$$C_{1} : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$交于$${{A}{、}{B}}$$两点，与圆$$C_{2} : \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-1 \right)^{2}=1$$交于$${{C}{、}{D}}$$两点．若存在$$k \in[-2，-1 ]$$，使得$$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{D B}，$$则椭圆$${{C}_{1}}$$的离心率的取值范围是
C
A.$$( 0， \frac{1} {2} ]$$
B.$$[ \frac{1} {2}， 1 )$$
C.$$( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
D.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 )$$
9、['直线与椭圆的综合应用']正确率40.0%已知过椭圆$$\frac{x^{2}} {5}+y^{2}=1$$的右焦点的直线$${{l}}$$，斜率存在且与椭圆交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，若$${{A}{B}}$$的垂直平分线与$${{x}}$$轴交于点$${{M}}$$，则点$${{M}}$$横坐标的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$$[ 0， \frac{8} {5} ]$$
B.$$(-{\frac{8} {5}}， 0 ]$$
C.$$[ 0， \frac{8} {5} )$$
D.$$[-\frac{8} {5}， 0 )$$
10、['两条平行直线间的距离'， '直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%已知$${{P}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$上的动点，则$${{P}}$$点到直线$${{l}}$$：$$x+y-2 \sqrt{5}=0$$的距离的最小值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{2}} {5}$$
以下是各题的详细解析： --- ### 第1题解析椭圆 $$C$$ 的离心率 $$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，由椭圆性质 $$e = \frac{c}{a}$$，已知 $$a = 2$$，故 $$c = \sqrt{2}$$，$$b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{2}$$。
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由 $$\overrightarrow{AF_1} = \lambda \overrightarrow{F_1B}$$，可得 $$F_1$$ 分 $$AB$$ 为 $$\lambda : 1$$，即 $$x_1 + \lambda x_2 = (1 + \lambda)(-c)$$。
由 $$AB \perp AF_2$$，利用斜率关系及椭圆方程，解得 $$\lambda = 3$$。
正确答案：$$\boxed{C}$$
--- ### 第2题解析直线 $$y = \sqrt{3}x$$ 与椭圆交于 $$A$$、$$B$$，四边形 $$AF_1BF_2$$ 为矩形，故对角线 $$AB$$ 与 $$F_1F_2$$ 互相平分且相等。
设 $$A(x, \sqrt{3}x)$$，由矩形性质得 $$2c = \sqrt{x^2 + (\sqrt{3}x)^2} = 2|x|$$，即 $$c = |x|$$。
代入椭圆方程并化简，得到离心率 $$e = \sqrt{3} - 1$$。
正确答案：$$\boxed{C}$$
--- ### 第3题解析椭圆下顶点 $$A(0, -b)$$，左焦点 $$F(-c, 0)$$。直线 $$l$$ 倾斜角为 $$60^\circ$$，方程为 $$y = \sqrt{3}x - b$$，与椭圆联立得 $$N$$ 点纵坐标为 $$\frac{3}{5}b$$。
由 $$\triangle FMN$$ 周长为 6，结合椭圆性质解得 $$a = 2$$，$$b = \sqrt{3}$$，$$c = 1$$。
计算 $$\triangle FAN$$ 面积为 $$\frac{8\sqrt{3}}{5}$$。
正确答案：$$\boxed{B}$$
--- ### 第4题解析椭圆 $$x^2 + \frac{y^2}{m^2} = 1$$ 的焦点 $$F(0, \sqrt{1 - m^2})$$。设直线 $$l$$ 为 $$y = kx$$，与椭圆交于 $$A$$、$$B$$。
利用对称性，面积 $$S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot d(F, l)$$，通过参数优化得最大值为 $$\frac{\sqrt{3}}{4}$$。
正确答案：$$\boxed{B}$$
--- ### 第5题解析直线 $$y = kx + 2$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{m} = 1$$ 总有交点，联立后判别式 $$\Delta \geq 0$$ 对所有 $$k$$ 成立。
解得 $$m \geq 4$$ 且 $$m \neq 9$$（否则为圆）。
正确答案：$$\boxed{D}$$
--- ### 第6题解析过 $$F_1$$ 的垂直线与椭圆交于 $$M$$、$$N$$，若 $$\triangle MNF_2$$ 为等腰直角三角形，则 $$|MN| = 2|F_1F_2|$$。
由椭圆性质得 $$\frac{2b^2}{a} = 4c$$，结合 $$c = ae$$，解得 $$e = \sqrt{2} - 1$$。
正确答案：$$\boxed{B}$$
--- ### 第7题解析设直线 $$l$$ 斜率为 $$k_1$$，与椭圆 $$x^2 + 2y^2 = 2$$ 联立，利用中点 $$P$$ 坐标及斜率 $$k_2$$ 关系，得 $$k_1k_2 = -\frac{1}{2}$$。
正确答案：$$\boxed{C}$$
--- ### 第8题解析直线 $$l$$ 与圆 $$C_2$$ 交于 $$C$$、$$D$$，与椭圆 $$C_1$$ 交于 $$A$$、$$B$$，由 $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}$$ 得 $$AB$$ 中点在圆内。
通过判别式及参数范围，解得离心率 $$e \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$。
正确答案：$$\boxed{C}$$
--- ### 第9题解析椭圆 $$\frac{x^2}{5} + y^2 = 1$$ 的右焦点为 $$(2, 0)$$。设直线 $$l$$ 为 $$y = k(x - 2)$$，联立椭圆方程得中点坐标。
垂直平分线方程与 $$x$$ 轴交点 $$M$$ 的横坐标范围为 $$\left[0, \frac{8}{5}\right)$$。
正确答案：$$\boxed{C}$$
--- ### 第10题解析椭圆 $$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$$ 上点 $$P(2\cos\theta, \sin\theta)$$ 到直线 $$x + y - 2\sqrt{5} = 0$$ 的距离为 $$d = \frac{|2\cos\theta + \sin\theta - 2\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$$。
最小化 $$d$$，利用三角函数极值得最小值为 $$\frac{\sqrt{10}}{2}$$。
正确答案：$$\boxed{A}$$
题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱