椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围-椭圆知识点专题进阶自测题解析-湖南省等高一数学选择必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['向量坐标与向量的数量积'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%已知$${{A}{，}{B}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {4} \!+\! \frac{y^{2}} {3} \!=\! 1$$上的两个动点，$${{M}{(}{-}{1}{，}{0}{)}}$$，且满足$${{M}{A}{⊥}{M}{B}}$$，则$$\overrightarrow{M A} \cdot\overrightarrow{B A}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$${{[}{3}{，}{4}{]}}$$

B.$$\left[ \frac{9} {4}， 9 \right]$$

C.$${{[}{1}{，}{9}{]}}$$

D.$$\left[ \frac{9} {4}， 4 \right]$$

2、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围'， '两条直线垂直']

正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的上下顶点分别为$${{A}{，}{B}}$$，右顶点为$${{C}}$$，右焦点为$${{F}}$$，若$${{A}{C}{⊥}{B}{F}}$$ ，则该椭圆的离心率为 $${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\sqrt2-1} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{{\sqrt5}-1} {2}$$

4、['椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率19.999999999999996%已知随圆$$E_{:} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \matrix} a > b > 0 )$$与过原点的直线交于$${{A}{、}{B}}$$两点，右焦点为$${{F}{，}{∠}{A}{F}{B}{=}{{1}{2}{0}^{∘}}}$$，若$${{△}{A}{F}{B}}$$的面积为$${{4}{\sqrt {3}}}$$，则椭圆$${{E}}$$的焦距的取值范围是（）

A.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$

B.$${{[}{4}{，}{+}{∞}{）}}$$

C.$${{[}{2}{\sqrt {3}}{，}{+}{∞}{）}}$$

D.$${{[}{4}{\sqrt {3}}{，}{+}{∞}{）}}$$

5、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%已知$${{P}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \mathrm{~} a > b > 0 )$$上一点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为椭圆焦点，且$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{=}{3}{|}{P}{{F}_{2}}{|}}$$，则椭圆离心率的范围是（）

A.$$( 0， ~ \frac{1} {3} ]$$

B.$$[ \frac{1} {3}， ~ 1 )$$

C.$$( 0， ~ \frac{1} {2} ]$$

D.$$[ \frac{1} {2}， \ 1 )$$

6、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率60.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {1 2} \!=\! 1$$上一点$${{P}}$$到焦点距离的最大值为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{6}}$$

7、['椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率60.0%过椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ~ ( 0 < b < a )$$中心的直线与椭圆交于$${{A}{、}{B}}$$两点，右焦点为$${{F}_{2}{（}{c}{，}{0}{）}}$$，则$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$的最大面积是（）

A.$${{a}{b}}$$

B.$${{b}{c}}$$

C.$${{a}{c}}$$

D.$${{b}^{2}}$$

8、['椭圆的对称性'， '椭圆的定义'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%已知椭圆的方程为$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {4} \!=\! 1，$$过椭圆中心的直线交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点，$${{F}_{2}}$$是椭圆的右焦点，则$${{△}{{A}{B}}{{F}_{2}}}$$的周长的最小值为（）

A.$${{7}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{1}{0}}$$

9、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围'， '直线与椭圆的交点个数']

正确率60.0%直线$${{y}{=}{a}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {4}=1$$恒有两个不同的交点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{−}{\sqrt {3}}{，}{\sqrt {3}}{)}}$$

B.$${{(}{−}{3}{，}{3}{)}}$$

C.$${{(}{−}{2}{，}{2}{)}}$$

D.$${{(}{−}{4}{，}{4}{)}}$$

1. 解析：

设椭圆参数方程为$$A(2\cos \theta_1, \sqrt{3}\sin \theta_1)$$，$$B(2\cos \theta_2, \sqrt{3}\sin \theta_2)$$。由$$MA \perp MB$$，得$$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$$，即$$(2\cos \theta_1 + 1)(2\cos \theta_2 + 1) + 3\sin \theta_1 \sin \theta_2 = 0$$。化简后得到$$\cos(\theta_1 - \theta_2) = -\frac{1}{4}$$。计算$$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BA} = |\overrightarrow{MA}|^2 - \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$$，利用参数方程和三角恒等式，最终得到取值范围为$$\left[ \frac{9}{4}, 4 \right]$$，故选D。

2. 解析：

椭圆上下顶点为$$A(0,b)$$，$$B(0,-b)$$，右顶点为$$C(a,0)$$，右焦点为$$F(c,0)$$。由$$AC \perp BF$$，得斜率乘积为$$-1$$，即$$\frac{-b}{a} \cdot \frac{b}{c} = -1$$，化简得$$b^2 = ac$$。结合椭圆性质$$b^2 = a^2 - c^2$$，得到$$a^2 - c^2 = ac$$。设离心率$$e = \frac{c}{a}$$，方程化为$$1 - e^2 = e$$，解得$$e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$$，故选D。

4. 解析：

设椭圆与直线交于$$A(x,y)$$，$$B(-x,-y)$$，右焦点为$$F(c,0)$$。由$$∠AFB = 120^\circ$$，利用向量夹角公式得$$\frac{x^2 + y^2 - c^2}{\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \cdot \sqrt{(x+c)^2 + y^2}} = -\frac{1}{2}$$。结合椭圆方程$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$和面积公式$$\frac{1}{2} \cdot 2c \cdot |y| = 4\sqrt{3}$$，解得$$c \geq 2\sqrt{3}$$，故焦距$$2c \geq 4\sqrt{3}$$，选D。

5. 解析：

由椭圆定义$$|PF_1| + |PF_2| = 2a$$，且$$|PF_1| = 3|PF_2|$$，得$$|PF_2| = \frac{a}{2}$$，$$|PF_1| = \frac{3a}{2}$$。根据三角形不等式$$|PF_1| - |PF_2| < 2c$$，即$$a < 2c$$，故离心率$$e = \frac{c}{a} > \frac{1}{2}$$。又$$e < 1$$，所以范围为$$\left[ \frac{1}{2}, 1 \right)$$，选D。

6. 解析：

椭圆$$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$$的半长轴$$a = 4$$，半短轴$$b = 2\sqrt{3}$$。椭圆上点到焦点距离的最大值为$$a + c$$，其中$$c = \sqrt{a^2 - b^2} = 2$$，故最大值为$$6$$，选D。

7. 解析：

设直线过中心，交椭圆于$$A(x,y)$$，$$B(-x,-y)$$。右焦点为$$F_2(c,0)$$，则三角形面积为$$\frac{1}{2} \cdot 2c \cdot |y| = c|y|$$。由椭圆方程$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，得$$|y| \leq b$$，故最大面积为$$bc$$，选B。

8. 解析：

椭圆$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$的半长轴$$a = 3$$，半短轴$$b = 2$$，焦距$$c = \sqrt{5}$$。设直线过中心，交椭圆于$$A(x,y)$$，$$B(-x,-y)$$，右焦点为$$F_2(\sqrt{5},0)$$。三角形周长为$$2a + 2\sqrt{x^2 + y^2}$$，最小值为$$2a + 2b = 10$$，选D。

9. 解析：

椭圆$$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1$$的半长轴$$a = 2$$（y轴方向），半短轴$$b = \sqrt{3}$$。直线$$y = a$$与椭圆有两个不同交点，需满足$$-2 < a < 2$$，选C。

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