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正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，点$${{P}}$$在椭圆上，且线段$${{P}{{F}_{1}}}$$与$${{y}}$$轴的交点为$${{Q}{，}{O}}$$为坐标原点，若$${{△}{{F}_{1}}{O}{Q}}$$与四边形$${{O}{{F}_{2}}{P}{Q}}$$的面积之比为$${{1}{:}{2}}$$，则该椭圆的离心率等于 （）
C
A.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}{−}{3}}$$
C.$$\sqrt3-1$$
D.$${{4}{−}{2}{\sqrt {3}}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1， ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，椭圆上有一点$${{P}}$$，若$${{Δ}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为等腰三角形，且$$\angle P F_{2} \， F_{1}=1 2 0^{\circ}$$，则椭圆的离心率为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$
C.$$\frac{2-\sqrt{3}} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
3、['余弦定理及其应用'， '椭圆的离心率'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知椭圆$$C \colon\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}} \allowbreak=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$$M ( x_{1}， y_{1} )， N (-x_{1}，-y_{1} )$$在椭圆$${{C}}$$上，若$$2 | M F_{1} | |=3 | N F_{1} |$$，且$$\angle M F_{1} N=1 2 0^{\circ}，$$则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{7}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {7}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {7}$$
4、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义']正确率60.0%设椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}，$$点$$E ( 0， ~ t ) ( 0 < t < b )$$.已知动点$${{P}}$$在椭圆上，且$$P， ~ E， ~ F_{2}$$三点不共线，若$${{△}{P}{E}{{F}_{2}}}$$的周长的最小值为$${{3}{b}{，}}$$则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
5、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '点与椭圆的位置关系'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%已知椭圆$$C_{!} \， \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > b > 0 )$$的左焦点为$${{F}_{1}}$$，离心率为$$\frac{1} {2}， ~ P$$是椭圆$${{C}}$$上的动点，若点$$Q ~ ( 1， \mathrm{\bf~ 1} )$$在椭圆$${{C}}$$内部，且$$| P F_{1} |+| P Q |$$的最小值为$${{3}}$$，则椭圆$${{C}}$$的标准方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {4} \!+\! \frac{y^{2}} {3}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {6}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {9}=1$$
6、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$${{C}}$$的两个焦点，$${{P}}$$是$${{C}}$$上的一点，若$$P F_{1} \perp P F_{2}$$，且$$\angle P F_{2} F_{1}=6 0^{\circ}，$$则$${{C}}$$的离心率为（）
C
A.$$1-\frac{\sqrt{3}} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$
C.$$\sqrt3-1$$
D.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
7、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%设$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$是椭圆$${{E}}$$的两个焦点，$${{P}}$$为椭圆$${{E}}$$上的点，以$${{P}{{F}_{1}}}$$为直径的圆经过$${{F}_{2}}$$，若$$\operatorname{t a n} \angle P F_{1} F_{2}=1，$$则椭圆$${{E}}$$的离心率为（）
A
A.$$\sqrt{2}-1$$
B.$$\sqrt3-\sqrt2$$
C.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\sqrt{5}-2$$
8、['平面解析几何的新定义问题'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%svg异常
B
A.$$\frac{\sqrt{5}-1} {2}$$
B.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {2}+1$$
D.$$\sqrt{5}-1$$
9、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知椭圆$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {4}=1 ( a > 2 )$$，直线$$l \colon~ y=x-2$$过$${{C}}$$的一个焦点，则$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
10、['点到直线的距离'， '椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的定义']正确率40.0%已知椭圆$$E : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的右焦点为$${{F}}$$，短轴的一个端点为$${{M}}$$，直线$$l \! : \! 3 x \!-\! 4 y \!=\! 0$$交椭圆$${{E}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点$${{.}}$$若$$| A F |+| B F |=4$$，点$${{M}}$$到直线$${{l}}$$的距离不小于$$\frac{4} {5}$$，则椭圆$${{E}}$$的离心率的取值范围是（）
B
A.$$( 0， \frac{3} {4} ]$$
B.$$( 0， \frac{\sqrt{3}} {2} ]$$
C.$$( \frac{\sqrt{3}} {2}， 1 )$$
D.$$[ \frac{3} {4}， 1 )$$
1. 设椭圆焦点为$$F_1(-c,0)$$和$$F_2(c,0)$$，点$$P(x,y)$$在椭圆上。由于线段$$PF_1$$与$$y$$轴交于点$$Q(0,q)$$，由相似三角形可得$$q = \frac{cy}{x+c}$$。计算面积比：
$$△F_1OQ$$的面积为$$\frac{1}{2}c|q|$$，四边形$$OF_2PQ$$的面积为$$\frac{1}{2}c|y| + \frac{1}{2}c|y-q|$$。根据题意，面积比为$$1:2$$，代入化简后得到$$x = \frac{c}{2}$$。
将$$P\left(\frac{c}{2}, y\right)$$代入椭圆方程，结合$$c^2=a^2-b^2$$，解得离心率$$e=\frac{c}{a}=2\sqrt{3}-3$$。答案为$$B$$。
2. 设$$PF_2 = x$$，则$$PF_1 = 2a - x$$。在$$△PF_1F_2$$中，由余弦定理：
$$(2a-x)^2 = x^2 + (2c)^2 - 2 \cdot x \cdot 2c \cdot \cos 120^\circ$$
化简得$$4a^2 - 4ax = 4c^2 + 2cx$$，解得$$x = \frac{2(a^2 - c^2)}{2a + c}$$。
因为$$△PF_1F_2$$为等腰三角形且$$∠PF_2F_1=120^\circ$$，只能是$$PF_2 = F_1F_2$$，即$$x = 2c$$。代入解得$$e = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$$。答案为$$B$$。
3. 由$$2|MF_1|=3|NF_1|$$和椭圆性质$$|MF_1|+|MF_2|=2a$$，$$|NF_1|+|NF_2|=2a$$，结合$$N(-x_1,-y_1)$$的对称性，解得$$|MF_1|=\frac{6a}{5}$$，$$|MF_2|=\frac{4a}{5}$$。
在$$△MF_1N$$中，由余弦定理：
$$|MN|^2 = \left(\frac{6a}{5}\right)^2 + \left(\frac{6a}{5}\right)^2 - 2 \cdot \frac{6a}{5} \cdot \frac{6a}{5} \cdot \cos 120^\circ = \frac{108a^2}{25}$$
又$$|MN|=2\sqrt{x_1^2 + y_1^2}$$，代入椭圆方程解得$$e=\frac{\sqrt{7}}{5}$$。答案为$$A$$。
4. 由椭圆性质，$$△PEF_2$$的周长为$$|PE| + |PF_2| + |EF_2|$$。最小周长等价于$$|PE| + |PF_2|$$最小，即$$|PE| + (2a - |PF_1|)$$。
当$$P$$在$$F_1$$和$$E$$的连线上时，取得最小值$$2a - |F_1E|$$。由题意：
$$2a - \sqrt{c^2 + t^2} + \sqrt{c^2 + t^2} = 3b$$
化简得$$2a = 3b$$，结合$$c^2 = a^2 - b^2$$，解得$$e = \frac{\sqrt{5}}{3}$$。答案为$$D$$。
5. 由离心率$$e=\frac{1}{2}$$得$$c=\frac{a}{2}$$，$$b=\frac{\sqrt{3}a}{2}$$。点$$Q(1,1)$$在椭圆内部，故$$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} < 1$$。
$$|PF_1| + |PQ|$$的最小值为$$|F_1Q| - c = 3$$，计算$$F_1Q = \sqrt{(1 + c)^2 + 1^2}$$，解得$$a=2$$，$$b=\sqrt{3}$$。椭圆方程为$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$。答案为$$A$$。
6. 设$$|PF_1| = d_1$$，$$|PF_2| = d_2$$，由椭圆性质$$d_1 + d_2 = 2a$$。在直角三角形$$PF_1F_2$$中：
$$d_1^2 + d_2^2 = (2c)^2$$，且$$\angle PF_2F_1 = 60^\circ$$，故$$d_1 = \sqrt{3}d_2$$。
联立解得$$d_2 = \frac{2a}{\sqrt{3} + 1}$$，代入勾股定理得$$e = \sqrt{3} - 1$$。答案为$$C$$。
7. 以$$PF_1$$为直径的圆过$$F_2$$，故$$∠PF_2F_1 = 90^\circ$$。设$$|PF_1| = d_1$$，$$|PF_2| = d_2$$，由椭圆性质$$d_1 + d_2 = 2a$$。
由$$\tan \angle PF_1F_2 = 1$$得$$d_2 = d_1 - 2c$$，代入勾股定理$$d_1^2 = d_2^2 + (2c)^2$$，解得$$d_1 = 2c + 2\sqrt{2}c$$。
结合$$d_1 + d_2 = 2a$$，得$$e = \sqrt{2} - 1$$。答案为$$A$$。
8. 题目不完整，无法解析。
9. 椭圆$$C$$的焦点在$$x$$轴上，直线$$y=x-2$$过焦点，故$$c=2$$。由椭圆方程$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$$得$$b=2$$，$$a=\sqrt{b^2 + c^2} = 2\sqrt{2}$$。
离心率$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。答案为$$C$$。
10. 由$$|AF| + |BF| = 4$$得$$2a = 4$$，即$$a = 2$$。点$$M(0,b)$$到直线$$3x - 4y = 0$$的距离为$$\frac{4b}{5} \geq \frac{4}{5}$$，故$$b \geq 1$$。
离心率$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{4 - b^2}}{2}$$，当$$b \in [1,2)$$时，$$e \in (0, \frac{\sqrt{3}}{2}]$$。答案为$$B$$。