椭圆的定义-3.1 椭圆知识点课后进阶自测题解析-湖南省等高一数学选择必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']

正确率40.0%若椭圆上存在点$${{P}{，}}$$使得点$${{P}}$$到椭圆的两个焦点的距离之比为$${{2}}$$∶$${{1}{，}}$$则称该椭圆为“倍径椭圆”，则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（）

A.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {1 5}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {9}=5$$

C.$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {2 4}=1$$

D.$$\frac{x^{2}} {3 3}+\frac{y^{2}} {3 6}=1$$

2、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']

正确率60.0%$${{P}}$$是椭圆$$x^{2}+4 y^{2}=1 6$$上一点，且$$| P F_{1} |=7，$$则$$| P F_{2} |=$$（）

A.$${{1}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{9}}$$

3、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '椭圆的定义'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%已知椭圆$${{C}_{1}}$$与双曲线$${{C}_{2}}$$的中心都在原点$${、}$$焦点都在$${{x}}$$轴上，$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$是椭圆$${{C}_{1}}$$的左$${、}$$右两个焦点，椭圆$${{C}_{1}}$$与双曲线$${{C}_{2}}$$的一条渐近线交于点$${{P}}$$，且$$F_{1} P \perp F_{2} P$$，若椭圆的离心率$$e=\frac{\sqrt{6}} {3}$$，则双曲线的离心率等于（）

A.$$\frac{4} {3}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

D.$${{2}}$$

4、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']

正确率60.0%方程$$\sqrt{( x-4 )^{2}+y^{2}}+\sqrt{( x+4 )^{2}+y^{2}}=1 0$$化简的结果是（）

A.$$\frac{x^{2}} {5}+\frac{y^{2}} {3}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {5}=1$$

C.$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {9}=1$$

D.$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {2 5}=1$$

5、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']

正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的两个焦点，以线段$${{F}_{1}{{F}_{2}}}$$为边作正三角形$${{A}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$，若边$${{A}{{F}_{1}}}$$的中点在椭圆$${{C}}$$上，则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$$\sqrt3-1$$

D.$${{4}{−}{2}{\sqrt {3}}}$$

7、['椭圆的定义'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率60.0%若椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$的焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，弦$${{A}{B}}$$过点$${{F}_{1}}$$，则$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$的周长为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

8、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '平面上中点坐标公式'， '椭圆的定义'， '与圆有关的轨迹问题']

正确率40.0%已知$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的左$${、}$$右焦点，$${{P}}$$为双曲线上一点，过$${{F}_{1}}$$作$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的平分线的垂线，垂足为$${{H}}$$，则点$${{H}}$$的轨迹为$${{(}{)}}$$

A.椭圆

B.双曲线

C.圆

D.抛物线

9、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']

正确率60.0%已知焦点在$${{x}}$$轴上的椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$的两个焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，且$$| F_{1} F_{2} |=6$$，弦$${{A}{B}}$$过焦点$${{F}_{1}}$$，则$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$的周长为（）

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{2}{0}}$$

C.$${{2}{\sqrt {7}}}$$

D.$${{4}{\sqrt {7}}}$$

10、['椭圆的定义']

正确率80.0%已知方程$$\frac{x^{2}} {9-k}+\frac{y^{2}} {k-4}=1$$表示的曲线是焦点在$${{y}}$$轴上的椭圆，则实数$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$4 < k < 9$$

B.$$4 < k < \frac{1 3} {2}$$

C.$$\frac{1 3} {2} < k < 9$$

D.$$4 < k < 9$$且$$k \neq\frac{1 3} {2}$$

1. 解析：

设椭圆方程为 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦点为 $$F_1(-c, 0)$$ 和 $$F_2(c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$。点 $$P$$ 满足 $$PF_1 : PF_2 = 2 : 1$$，即 $$PF_1 = 2PF_2$$。根据椭圆性质，$$PF_1 + PF_2 = 2a$$，联立得 $$PF_2 = \frac{2a}{3}$$，$$PF_1 = \frac{4a}{3}$$。代入距离公式并化简，得到 $$a^2 = 4c^2$$，即 $$a = 2c$$。进一步有 $$3a^2 = 4b^2$$。验证选项：

- A: $$a=4$$, $$b=\sqrt{15}$$, $$c=1$$，不满足 $$a=2c$$。

- B: 方程应为 $$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{9} = 1$$，$$a=3$$, $$b=2\sqrt{2}$$, $$c=1$$，不满足 $$a=2c$$。

- C: $$a=5$$, $$b=\sqrt{24}$$, $$c=1$$，不满足 $$a=2c$$。

- D: $$a=6$$, $$b=\sqrt{33}$$, $$c=\sqrt{3}$$，满足 $$a=2c$$。故选 D。

2. 解析：

椭圆方程为 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$$，故 $$a=4$$。由椭圆性质，$$PF_1 + PF_2 = 2a = 8$$。已知 $$PF_1 = 7$$，则 $$PF_2 = 1$$。故选 A。

3. 解析：

设椭圆 $$C_1$$ 为 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，双曲线 $$C_2$$ 为 $$\frac{x^2}{m^2} - \frac{y^2}{n^2} = 1$$。由椭圆离心率 $$e = \frac{\sqrt{6}}{3}$$，得 $$c = a e = \frac{a\sqrt{6}}{3}$$，$$b^2 = a^2 - c^2 = \frac{a^2}{3}$$。双曲线渐近线为 $$y = \pm \frac{n}{m}x$$。点 $$P$$ 在渐近线上且满足 $$F_1P \perp F_2P$$，利用向量垂直条件解得双曲线离心率为 $$\sqrt{2}$$。故选 B。

4. 解析：

方程表示点 $$(x, y)$$ 到 $$(4, 0)$$ 和 $$(-4, 0)$$ 的距离之和为 10，符合椭圆定义。焦距 $$2c = 8$$，$$c=4$$；$$2a=10$$，$$a=5$$；$$b^2 = a^2 - c^2 = 9$$。故椭圆方程为 $$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$。故选 C。

5. 解析：

设椭圆焦距为 $$2c$$，正三角形边长为 $$2c$$。取 $$AF_1$$ 中点 $$M$$ 在椭圆上，利用几何关系解得 $$c = \sqrt{3}a - a$$，即离心率 $$e = \sqrt{3} - 1$$。故选 C。

7. 解析：

椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$$，$$a=2$$，$$b=1$$，$$c=\sqrt{3}$$。由椭圆定义，$$AF_1 + AF_2 = 2a = 4$$，$$BF_1 + BF_2 = 4$$，故 $$△ABF_2$$ 周长为 $$AB + AF_2 + BF_2 = (AF_1 + BF_1) + AF_2 + BF_2 = 8$$。故选 C。

8. 解析：

利用角平分线性质及几何关系，点 $$H$$ 的轨迹为圆。故选 C。

9. 解析：

椭圆方程为 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{16} = 1$$，$$c=3$$，$$a=5$$。由椭圆定义，$$AF_1 + AF_2 = 2a = 10$$，$$BF_1 + BF_2 = 10$$，故 $$△ABF_2$$ 周长为 $$AB + AF_2 + BF_2 = (AF_1 + BF_1) + AF_2 + BF_2 = 20$$。故选 B。

10. 解析：

曲线为椭圆需满足 $$9-k > 0$$ 且 $$k-4 > 0$$，即 $$4 < k < 9$$。焦点在 $$y$$ 轴上需 $$k-4 > 9-k$$，即 $$k > \frac{13}{2}$$。综上，$$\frac{13}{2} < k < 9$$。故选 C。

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