.jpg)
正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的右焦点为$${{F}{，}}$$椭圆上的$${{A}{，}{B}}$$两点关于原点对称，$${{|}{A}{F}{|}{=}{2}{|}{B}{F}{|}{，}}$$且$$\overrightarrow{F A} \cdot\overrightarrow{F B} \leq\frac{4} {9} a^{2}，$$则该椭圆的离心率$${{e}}$$的取值范围是（）
B
A.$$\left( 0， ~ ~ \frac{\sqrt{5}} {3} \right]$$
B.$$\left( 0， ~ ~ \frac{\sqrt{7}} {3} \right]$$
C.$$[ \frac{\sqrt{5}} {3}， ~ 1 )$$
D.$$\left[ \frac{\sqrt{7}} {3}， \， 1 \right)$$
2、['椭圆的对称性'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '点与椭圆的位置关系']正确率60.0%已知$${{P}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {9}=1$$上一点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为椭圆的两个焦点，且$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{=}{3}}$$，则$${{|}{P}{{F}_{2}}{|}{=}{（}}$$）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{8}}$$
4、['圆的定义与标准方程'， '椭圆的对称性'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，焦距为$${{4}}$$，若以原点为圆心，$${{F}_{1}{{F}_{2}}}$$为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆方程为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {3 2}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
5、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '直线和圆相切']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，过点$${{F}_{1}}$$的直线与椭圆交于$${{P}{，}{Q}}$$两点．若$${{△}{P}{{F}_{2}}{Q}}$$的内切圆与线段$${{P}{{F}_{2}}}$$在其中点处相切，与$${{P}{Q}}$$相切于点$${{F}_{1}}$$，则椭圆的离心率为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 3$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
6、['椭圆的对称性'， '椭圆的定义']正确率60.0%设椭圆$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$的左焦点为$${{F}}$$，直线$${{l}{：}{y}{=}{k}{x}{（}{k}{≠}{0}{）}}$$与椭圆$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$${{|}{A}{F}{|}{+}{|}{B}{F}{|}}$$的值是（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
7、['椭圆的对称性'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']正确率40.0%椭圆$$C_{!} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+y^{2}=1 ( a > 1 )$$的左$${、}$$右焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{1}}$$的直线$${{l}}$$交$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$的周长为$${{8}}$$，则$${{a}}$$为（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{4}}$$
8、['椭圆的对称性'， '直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '点与椭圆的位置关系']正确率60.0%直线$${{x}{=}{−}{1}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {9} \!+\! \frac{y^{2}} {8} \!=\! 1$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$${{|}{A}{B}{|}}$$等于（）
A
A.$$\frac{1 6} {3}$$
B.$$\frac{8} {2}$$
C.$$\frac{9 \sqrt2} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\underset{\frac{9} {8}}} \\ \end{array}$$
9、['椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {9}=1$$的两个焦点，过点$${{F}_{2}}$$的直线交椭圆于点$${{A}{，}{B}}$$，若$${{|}{A}{B}{|}{=}{6}}$$，则$${{|}{A}{{F}_{1}}{|}{+}{|}{B}{{F}_{1}}{|}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{1}{2}}$$
10、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '点与椭圆的位置关系']正确率40.0%设椭圆$$C \colon~ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )， ~ O$$为坐标原点，若椭圆$${{C}}$$上存在两个关于$${{x}}$$轴对称的点$${{A}{，}{B}}$$，使得$${{|}{A}{B}{|}{=}{b}}$$，且$${{△}{A}{O}{B}}$$的重心为椭圆$${{C}}$$的一个焦点，则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
B
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
1. 设椭圆的右焦点为 $$F(c,0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$。由于点 $$A$$ 和 $$B$$ 关于原点对称，设 $$A(x,y)$$，则 $$B(-x,-y)$$。根据题意 $$|AF| = 2|BF|$$，代入距离公式得：
平方后化简得到 $$3x^2 + 3y^2 + 10c x + 3c^2 = 0$$。结合椭圆方程 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，消去 $$y^2$$ 得：
利用向量点积条件 $$\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} \leq \frac{4}{9}a^2$$，代入坐标计算得：
结合椭圆方程和上述结果，最终得到离心率 $$e = \frac{c}{a}$$ 的范围为 $$\left(0, \frac{\sqrt{5}}{3}\right]$$。因此答案为 A。
2. 椭圆 $$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$ 的半长轴 $$a = 5$$。根据椭圆性质，任意一点 $$P$$ 到两个焦点的距离之和为 $$2a = 10$$。已知 $$|PF_1| = 3$$，则 $$|PF_2| = 10 - 3 = 7$$。答案为 C。
4. 焦距为 $$4$$，故 $$2c = 4$$，即 $$c = 2$$。以原点为圆心、$$F_1F_2$$ 为直径的圆方程为 $$x^2 + y^2 = c^2 = 4$$。该圆与椭圆恰好有两个公共点，说明圆与椭圆相切于短轴顶点，即 $$b = c = 2$$。代入 $$a^2 = b^2 + c^2 = 8$$，椭圆方程为 $$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$$。答案为 A。
5. 设椭圆焦点为 $$F_1(-c,0)$$ 和 $$F_2(c,0)$$。根据题意，内切圆与 $$PF_2$$ 在中点相切且与 $$PQ$$ 切于 $$F_1$$，说明 $$PF_2 = 2a - PF_1$$ 且 $$PQ = PF_1 + QF_1$$。进一步推导可得 $$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。答案为 A。
6. 椭圆 $$C: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$$ 的左焦点为 $$F(-\sqrt{3},0)$$。直线 $$y = kx$$ 与椭圆交于 $$A$$ 和 $$B$$，由对称性知 $$|AF| + |BF| = 2a = 4$$。答案为 C。
7. 椭圆 $$C: \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$$ 的周长为 $$8$$，说明 $$4a = 8$$，即 $$a = 2$$。答案为 B。
8. 将 $$x = -1$$ 代入椭圆方程 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1$$，解得 $$y = \pm \frac{8}{3}$$，故 $$|AB| = \frac{16}{3}$$。答案为 A。
9. 椭圆 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$$ 的 $$2a = 8$$。根据椭圆性质，$$|AF_1| + |AF_2| = 8$$ 和 $$|BF_1| + |BF_2| = 8$$。已知 $$|AB| = 6$$，即 $$|AF_2| + |BF_2| = 6$$，故 $$|AF_1| + |BF_1| = 10$$。答案为 B。
10. 设点 $$A(x,y)$$ 和 $$B(x,-y)$$，由 $$|AB| = b$$ 得 $$2|y| = b$$。重心为焦点 $$(c,0)$$，故 $$\frac{2x}{3} = c$$。代入椭圆方程并化简得 $$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。答案为 A。
题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱